第4章 相似三角形期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)九上

第4章相似三角形

1.比与比例线段（1）比可以写成a：b=m：n，或写成ab=mn，比a:b中a（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.四条线段a，b，c，d，如果ab=cd,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，（3）如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或ab=bc，那么线段b叫做线段a，2.比例的基本性质（1）基本性质：ab=cd⇔ad=bc（2）推论：a（3）合比性质：ab=cd合分比性质：a（4）等比性质：如果ab=c（5）如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足BCAB=ABAC（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为3.平行线分线段成比例（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（2）示例：如图，所得的对应线段成比例的有ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EF（3）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．如图，若DE∥BC，则有ADAB=AEAC,ADBD=4.相似三角形的定义（1）定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF.特别的：三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.（2）符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；（3）相似三角形对应边的比叫做相似比.相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1k.5.相似常见的基本图形：图①和图②分别为“A”字型图和“8”字型图，条件是DE//BC，基本结论是△ABC∽△ADE；图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.同时图④也是“母子型”图的变式。图⑦图⑧图⑦是“旋转型”图，衍生结论是连结BD与CE后，△ABD∽△ACE；图⑧是“一线三等角”图，条件是∠A=∠BCE=∠D，这里比较特殊，他们都是直角。6.相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．②两角分别相等的两个三角形相似．③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似；7.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比.（4）相似三角形面积比等于相似比的平方.（5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.8.位似图形的性质1)位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似9.位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).一、比与比例线段1.比例与比例线段的性质错误：在根据比例的性质解决问题时不能用合适的推论进行推导。注意：一般的，计算时常用ab=cd⇔例1已知3x=2y，则x【答案】-【分析】本题主要考查比例的性质，对原式进行变形是解题的关键．根据已知条件可得y=【详解】解：∵3∴y∴原式=x故答案为：-12.黄金分割点的分类讨论错误：已知线段长，求黄金分割点时不注意条件，也没有进行分类的讨论。注意：一条线段的黄金分割点有两个，必要时需要进行分类讨论。例2定义：顶角为36°的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=18°，AC=2，点M是边AC上一点，若△MBC是【答案】1或5【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出∠C=72°，当∠MBC为△MBC的顶角时，取AC的中点D，连接BD，则BD=AD=CD=1，可证明△DBC是“黄金三角形”，再证明∠CBM=36°=12∠DBC得到DMCD【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B∴∠C如图所示，当∠MBC为△MBC的顶角时，取AC的中点D，连接∴∠CBM∵在Rt△ABC中，∴BD=∴∠DBC=∠∴∠BDC=180°-∠DBC∴△DBC是“黄金三角形”∵∠CBM∴点M是线段CD的黄金分割点，∴DMCD∴DM=∵∠MDB∴BM=当点M与点D重合时，△MBC也是“黄金三角形”∴此时BM=1综上所述，BM的长为1或5-1故答案为：1或5-1二、相似三角形3.相似三角形对应边成比例错误：在列对应边成比例的等量关系时，没有将对应边列在一起，或在列比例的时候顺序调换。注意：在列比例时，要明确哪个三角形的边在前，哪个三角形的边在后。尤其当涉及相似比时，注意是哪个三角形的边比上哪个三角形的边，不能随意调换顺序。例3如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，D是AB【答案】4【分析】本题考查相似三角形性质，熟记相似三角形中对应线段成比例是解决问题的关键．由△ABC∽△ACD【详解】解：∵△ABC∴AB∵AB=9∴96=故答案为：4．4.两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似错误：在进行三角形相似的判定采用两边一夹角时，用随意的角作为判定依据。注意：用两边一夹角作为三角形相似的判定依据时，必须两边所夹的角相等，而不是旁角。例4如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且A(1)求证：△ABC(2)若∠BCD=150°，求【答案】(1)见解析(2)∠BAC的度数是30°【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识．（1）由AC2=AB•AD，得ACAD=ABAC，由AC平分（2）由相似三角形的性质得∠B=∠ACD，则【详解】（1）证明：∵AC∴ACAD∵AC平分∠BAD∴∠BAC∴△ABC（2）解：∵△ABC∽△ACD∴∠B∴∠B∴∠BAC∴∠BAC的度数是30°5.三角形中的多对相似三角形错误：在三角形中，只关注比较明显的一对相似三角形。注意：相似三角形比全等三角形容易构成，只要满足两个三角形中两组对应角相等即可。尤其在特殊三角形中，简单的结构就能构成多对相似三角形，比如以下：①①CBAD②ABCDEP③ABCDE（1）如图①△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此有△ABC∽△CBD∽△ACD;（2）如图②△ABC中，BD和CE分别是边AC与AB上的高（也可不是高线，只要满足∠ABD=∠ACE，或满足AE:AC=AD:AB即可），相交于点P，因此：△ABD∽△ACE；△EPB∽△DPC；△ADE∽△ABC，△PDE∽△PCB。（3）如图③△ABC中△ADE∽△ABC,连结BD和CE，可得到△ABD∽△ACE.例5【问题背景】（1）已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和【迁移应用】（2）如图3，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=15,AC=5,D、E，①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段CE和BD的始终存在的位置和数量关系：②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE=【创新应用】（3）如图6，AB=AC=AE=25,BC=4,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着点A旋转，连接【答案】（1）△BAD∽△CAE，证明见解析（2）①BD⊥EC，BD=3【分析】（1）根据相似的性质，得到ABAD=ACAE，进而得到（2）①求出AB=3AC，中点推出BD=3EC,AD=3AE，延长BD与CE相交于点F，与AC相交于点H，证明△BAD∽△CAE,（3）过点A作AK⊥BC，过点C作CJ⊥AB，连接FJ，三线合一结合勾股定理求出AK的长，等积法求出CJ的长，进而求出AJ,BJ的长，证明【详解】解：（1）△BAD∵△ABC∴∴又∵∠BAC=∠∴∠∴△BAD（2）①如图，在Rt△ABC中，∠BAC∴AB∵D、E，M分别是AB、∴AD=∴BD如图，延长BD与CE相交于点F，与AC相交于点H，∵∠BAC=∠∴∠BAD又∵AB∴△∴∠ABD∵∠AHB∴△ABH∴∠CFH∴BF⊥EC故答案为：BD=3EC②如图，连接BD，∵∠BAC=∠∴∠BAD又∵AB∴△∴BD∵EC∴BD=3又∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴MN（3）如图，过点A作AK⊥BC，过点C作CJ⊥∵AB=AC∴∴AK又∵∴∴∴∴∴BF∴BJ∴∴△∴∴JF∵CJ∴45∴CF的最小值为456.平行线题境下的相似三角形错误：不熟悉常见的相似三角形的结构，在平行线题境下不能找到相似三角形解决问题。注意：“A”字型和“8”字型模型的基础模型都是建立在平行线上的，因此在三角形中，关于其中一边作平行线，一定会有相似三角形构成。而在平行四边形中，由于对边平行，因此只要在对边内外作两条相交的线段，就能构成相似三角形。①①ABCDE②ABCDE③ABCDEF④ABCFED（1）图①为△ABC中平行线构成的“A”字型相似（DE∥BC），即：△ADE∽△ABC；（2）图②为△ABC中平行线构成的“8”字型相似（CD∥AB），即：△ABE∽△CDE；（3）图③为□ABCD中相交线构成的“8”字型相似（AC与BE相交于点F），即：△ABF∽△CEF；（4）图④为□ABCD中相交线构成的“A”字型相似（AE与BC的延长线相交于点F），即：△FCE∽△FBA；例6▱ABCD中，AE:EB=2:3，DE交(1)求证：△AEF(2)AF=6，求AC【答案】(1)详见解析(2)21【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定：（1）利用平行四边形的性质得到相似；（2）利用相似三角形得到相似比即可算出AC．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC平行于AB∴∠EAF∴△AEF（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∵△AEF∴CF∵AF∴CF∴AC例7▱ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB的延长线于点E，且∠(1)求证：△BDF(2)若AD=9，BD=35【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定；（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，结合（2）证明△BDF∽△BCD得出BF=5，进而△FDC【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A又∵∠EDB∴∠BDF∴△BDF（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=9∵△BDF∴BFBD∴BF3解得：BF=5又∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥∴△FDC∴CDBE∵AB=∴ABBE7.常见的相似三角形的模型错误：不同的题境下有不同的相似三角形结构。不熟悉常见的相似三角形的模型，对于解决问题，甚至找到解题目标都有困难。注意：熟悉常见的相似三角形模型，尤其是旋转型多对相似三角形、母子型相似三角形和一线三等角模型。（其特点见知识清单第5条）例8如图，已知矩形ABCD的边长AB=8，BC=4，若将矩形ABCD绕点C旋转，使点B的对应点B'恰好落在BD上，连接DD'，则【答案】16【分析】过点C作CE⊥BD于点E，先求出CE=855，再由旋转的性质证明【详解】解：如图，过点C作CE⊥BD于点∵矩形ABCD的边长AB=8，BC∴CD=AB∴BD∵S∴CE在Rt△BEC中，由旋转的性质可知，B'C=BC，∴BC∴△BC∴B∵BC=C∴B∴D故答案为：165例9已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，连接(1)求证：△ACH(2)求证：AE⋅【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质、三角形外角的性质：（1）利用∠BAC（2）由（1）得∠ACH=∠ABC，由CE=CD得【详解】（1）证明：∵∠BAC∴△ACH（2）证明：由（1）知△ACH∴∠ACH∵CE=∴∠CED∴∠CAE∴∠CAE∴△CAE∴AEAD即AE⋅例10（1）如图1，在正方形ABCD中，E为BC的中点，作EF⊥AE交CD于点F，连接①求证：△ABE②求证：AF=（2）如图2，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AB=2，①判断AE与EF的数量关系，并说明理由；②求DF的长．【答案】（1）①见解析②见解析（2）①AE=2EF，理由见解析【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．（1）①根据正方形的性质及角的等量代换即可证明△ABE②根据正方形的性质及题意，设BE=CE=a，则BC=AB=2a，证明（2）①证明△BAE②作FH=FC交EC于点H，证明【详解】解：（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∠B∴∠BAE∵EF⊥∴∠AEF∴∠AEB∴∠BAE∴△ABE②∵正方形ABCD中，E为BC的中点，∴设BE=CE=∵△ABE∴ABCE∴EFAE=12=∴△ABE∴∠BAE如图，作EH⊥AF交AF于点∴∠B∴△ABE∴AB=∵BE=∴CE=∵EF=∴Rt△∴CF=∵AF=∴AF=（2）解：①AE=2理由如下：∵∠B+∠BAE+∴∠B∴△BAE∴ABAE∵AB=2，BE∴2AE∴AE=2②如图，作FH=FC交EC于点∴∠C∵在▱ABCD中，∠B∴∠B∵∠ABE∴△ABE∴ABEH∴EH=1∴DF=2-8.通过对应边关系进行相似三角形存在性问题的分类讨论错误：在不确定对应关系的情况下，两个三角形相似时，确定相似三角形种数和求满足相似的线段长时，没有进行探究讨论。注意：在对应边关系不确定的时候（尤其是关于不确定点、动点时），如果两个三角形相似，不同的边对边的对应关系要进行分类的讨论，一般最多讨论3种情况，至少2种情况。例11如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A(1)求过点A,(2)过点B作直线BD，使BD⊥AB，与x轴相交于点D，求点(3)在（2）的条件下，如果点P、Q分别是线段AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ【答案】(1)y(2)13(3)12536或【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识．（1）待定系数法求一次函数解析式即可．（2）过点B作BD⊥AB交x轴于D，则∠ABD=∠ACB=90°，再证明△ADB∽△（3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵A∴AC=4，BC∴AB=设直线AB的解析式为y=∴∴∴直线AB的解析式为y=（2）解：过点B作BD⊥AB交x轴于∴∠ABD∵∠A∴△ADB∴ABAC即AB∵AC=4，AB∴AD∴OD∴点D的坐标为13（3）解：∵AP∴AQ①若△APQ则AB5解得：m=②若△APQ则AB5解得：m=综上所述：符合要求的m的值为12536或25例12如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+mx+1的顶点为D，与y轴相交于点A，过点A作AD的垂线交x(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)分别求点B，E的坐标；(3)在对称轴上找一点P，使得以P，B，E为顶点的三角形与△AOC相似，直接写出点P【答案】(1)y(2)B92(3)当点P的坐标为2,134或2,334时，以P，B，【分析】本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）根据对称轴方程即可求解；（2）由y=x2-4x+1=(x-2)2-3，得到顶点的坐标，与y（3）当BP⊥DE时，△EPB∽△AOC，得到P点的坐标2,134，由勾股定理解出BE的长度，如图2，当PB⊥BE时，△EBP∽△【详解】（1）解：由题意得；-m解得m=-4∴抛物线对应的函数解析式为：y=（2）解：由y=x2-4x如图1，过点D作DF⊥y轴于则DF=2，AF∵AB⊥∴∠CAO∵∠ADF∴∠CAO∴△CAO∴COAF=OA∴CO=2∴C-2,0设直线AC对应的函数解析式为y=kx+1∴k∴直线AC对应的函数解析式为y=∴当x=2时，y∴点E的坐标为2,2，解方程组y=得x1=0y∴B9（3）解：①如图1，当BP⊥DE时，此时P点的坐标2,13∴PB=92∴BE=②如图2，当PB⊥BE时，∴PEAC=BEAO，由∵AC=∴PE5∴PE=∴点P的纵坐标为2+25∴P2,综上所述：当点P的坐标为2,134或2,334时，以P，B，9.结合圆的性质判定圆内的相似三角形错误：在圆中无法根据其性质推断对应角相等，从而无法证明相似三角形。注意：圆的等弧的概念，垂径定理，圆心角的性质和圆周角的性质都能证明圆内角相等，再结合其他已知条件，就能证明两个三角形相似，为求圆内线段长提供列式的依据。例13如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方圆上一点，点C为ACD的中点，连接CA(1)求证：∠BDC(2)连接AD，并且过点C作CE⊥AB交AB于点H，交AD于点E．若OH=5，AD【答案】(1)见解析；(2)39【分析】（1）设∠BDC=α，∠DAC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠（2）连接OC，根据圆心角与圆周角关系得∠COB=2∠CAB，等量代换得∠COB【详解】（1）证明：设∠BDC=则∠CAB∵点C为ACD的中点，∴AC∴∠∴∠BAD∵AB为直径，∴∠BDA∴α+∴β=90°-∴∠ABD∴∠ABD∴∠BDC（2）解：如图，连接OC则∠∵∠∴∠COB∵∠∴△∴OH∵OH∴BD∴AB∴OA∴AH=18∵△∴AHAD=∴AE三、相似三角形的性质1.充分利用相似三角形对应高线之比等于相似比错误：不能只记得边之比等于相似比。注意：相似三角形对应高线之比也等于相似比，常用于当三角形内接矩形时。例14如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=4米，高AD=2米，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．设PN=(1)用含x的代数式表示AE=米，PQ=米，S=平方米，其中x(2)作出该函数的图象．①列表xS②描点，连线(3)观察图象可知，当x=米时，S的最大值为【答案】(1)1(2)见解析(3)2，2【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，画二次函数图象；（1）根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据描点连线画图，即可求解；（3）根据函数图象，即可求解．【详解】（1）解：∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥QM∴△APN∵AD是△ABC∴AD⊥又∵PN∴AE⊥PN，即AE是∴AEAD=∴AE∵PQ∴四边形PQDE是矩形∴PQ∴S∵0<∴0<x故答案为：12（2）①列表x01234S01.521.50②描点，连线（3）观察图象可知，当x=2米时，S的最大值2故答案为：2，2．2.相似三角形实际应用中的反射问题错误：不知道利用反射问题中的入射角=反射角注意：在反射问题中，视线也好，光线也好，物体反弹也好，入射角=反射角，这是构建相似三角形的重要条件。①②①②ABPCD（1）如图①中，射线（光线）EF经过点F反射后为FD，因此有∠EFB=∠CFD，所以△EFB∽DFC；（2）如图②中，人观察到地面上镜子P中经反射后的旗帜，视线构成∠1=∠2，所以△ABP∽DCP.例158月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图测量步骤步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD=3步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF=4米，PD(1)嘉嘉发现当BD=60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．【答案】(1)飞虹塔AB的高度是42m(2)飞虹塔的大致高度为39m【分析】本题考查了相似三角形的应用；（1）根据题意证明△CDQ∽△（2）设BD=xm，依据题意得：QB=(3+x)m,PB【详解】（1）解：∵∴∠∵∠CQD∴△CDQ∴CD∵CD∴2解得：AB=42m答：飞虹塔AB的高度是42m；（2）解：设BD=xm∵∠EFP∴△EFP∴EF∵EF∴∵△CDQ∴CDAB=∴4解得：x=55.5经检验：x=55.5是原方程的解，∴2∴AB答：飞虹塔的大致高度为39m．3.作图构造相似三角形解决实际问题错误：实际问题需要进行数形结合思想和转化思想，将实际问题转化为几何图形问题。不能构造相似三角形，就不能解决求线段长的问题，就不能解决实际问题中的长度问题。注意：在实际问题中，作图构造常见的几何图形，尤其是通过连结、做垂直的方式构造直角三角形，能更好的形成相似的直角三角形。例16在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度．(1)第一小组的同学测得身高1.68米的小明影子长为2.52米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度；(2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树AB的高度，小丽在F处竖立了一根标杆EF，小华从F处走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，FA=16米，点C、【答案】(1)12米(2)8.8米【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据同一时刻，同一水平面，人的身高:人的影子=旗杆的高度:旗杆的影子，即可得出答案；（2）过点D作DP⊥AB，垂足为P，交EF于点N，接着证明△DBP【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意得，x解得x=12答：旗杆的高度为12米．（2）解：如图，过点D作DP⊥AB，垂足为P，交EF于点则∠∴四边形CDNF，四边形CDPA都是矩形，则DN=DP=由题意得，∠BDP∴△DBP∴BPEN∴AB-1.6∴AB=8.8答：树AB的高度为8.8米．四、相似多边形与位似1.多边形相似的判定。错误：混淆判定三角形相似“两个角相等的两个三角形相似”的依据，认为多边形只要全部角对应相等即可。注意：相似多边形不同于相似三角形，相似多边形不但需要每个对应角相等，还需要每条对应边成比例。例17如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（

）A．a=22 B．x=2 C．∠【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解．【详解】解：因为两个图形相似：∴解得：a=22，m=∠α观察四个选项，D选项符合题意；故选：D．2.位似注意分类讨论错误：作已知图形的位似图形，尤其在平面直角坐标系中，只考虑做一种形式的位似。注意：在题目没有明确限制的情况下，作已知图形的位似图形时，在位似中心与各点连结线上或延长线上有位似图形，在其反向延长线上也有位似图形，需两个都考虑到。例18如图，直线y=12x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B'O'C'【答案】-8,-3或4,3【分析】本题要考查了位似图形和图象上的点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点问题，先解得点A和B的坐标，利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y=12x+1与x轴交于点A令x=0可得y=1；令y=0∴点A和B的坐标分别为-2,0，0,1，∵△BOC与△B'O'∴OB∴B'的坐标为-8,-3或1．已知a，b是不等于0的实数，2a=3bA．ab=23 B．a-b【答案】C【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可．【详解】解：A.由ab=23B.由a-bb=13C.由a+b2b=5D.由2a-ba=故选：C．2．如图，已知∠1=∠2，点D在BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABC与A．∠B=∠C．ABAC=AD【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据∠1=∠2【详解】解：A．∵∠1=∴∠1+即∠BAC又∠B=∠B．∵∠2=∴∠E又∠BAC=∠C．∠BAC=∠DAE，D．DE∥AB，∠BAC故选：D．3．下列两个图形一定相似的是（

）A．两个矩形 B．两个菱形C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形【答案】D【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．【详解】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意；因为两个菱形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个菱形不一定相似，所以B不符合题意；因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意；因为两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等腰直角三角形相似，所以D符合题意．故选：D．4．如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，ED=3BE，则A．25 B．23 C．4 D【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，设BE=x，则DE=3x，BD=4x，再证明△ABE∽△DAE，利用相似比得到AE=3x，进而根据勾股定理求得【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OB=OD，∠∵ED∴设BE=x，则∴BD∵AE∴∠AED∵∠∴△ABE∴AEBE=DE∴AE=∴AB=∵AB=2∴x=1∴BD=4∴BC=故选：B．5．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像A．3cm B．52cm C．43【答案】A【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明△AOB∽△COD，结合高之比等于相似比得到ABCD=【详解】解：∵AC与BD交于点O，AB∥∴△AOB∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，∴ABCD∵蜡烛火焰AB的高度是2cm，∴2CD解得CD=3cm故选：A．6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE=90°，∠ADE=∠B，A．1 B．2 C．652 D．【答案】B【分析】连接CE，利用相似进行转化先得出∠DCE=90°，F是DE的中点，可得CF=12DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时【详解】解：连接CE，如图所示：BC=AB2+AC2∵∠BAC=∠∴△ABC∴ADAB=DE∴ADDE∵∠AGE=∠∴△AGE∴AGDG=EG∵∠AGD∴△AGD∴∠ADG∵Rt△ADE∴∠ADG∴∠ECG+∠∵F是DE的中点，∴CF=12∵ADAB=DE∴DE=∴当AD⊥BC时，AD最短，此时当AD⊥BC时，△ABC的面积=∴AD=AB×ACBC=3×45∴DE=∴CF=12故选：B．7．如图AD∥BE∥CF，若AB=4，BC=6，【答案】5【分析】由AD∥BE∥CF可得ABBC【详解】∵AD∥∴ABBC=DE解得EF=3DF=故答案为：5．8．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点A'的坐标为【答案】-2,2或2,-2【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k根据位似变换的性质作图，运用数形结合思想，即可作答．【详解】解：如图所示：；∴-1×2=-2,1×2=2，点A的对应点A'的坐标为-2,2或如图所示：；∴-1×-2此时点A的对应点A'的坐标为2,-2故答案为：-2,2或2,-2．9．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F

若CF=4cm，【答案】25【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．【详解】解：∵CF=4cm∴CB由翻折，菱形的性质，得：CB=CD=CB'∵CB∴CB∴∠BC∴∠BCE∵CD=5cm∴FD=C如图，过点E作EG⊥BC设CG=xcm，则∵∠B=∠∴△EGB∴EGCF∴x4解得：x=∴BE=故答案为：25710．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为12,8，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接PC，PQ，CQ．设运动时间为t秒t>0．若A，P，Q为顶点的三角形与△OCP相似时，则t【答案】25-2【分析】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键．根据题意和坐标与图形性质求得OP=3t，AQ=2t和AP=12-3【详解】解：根据题意，OP=3t，AQ=2当△COP∵点B的坐标为12,8，∴OCAP=OP解得：t=当△COP∴OCAQ=OP解得：t=25-2综上所述：t=20911．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法．(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为__________m；(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离【答案】(1)11.3(2)12m【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键．（1）影长EF恰好等于自己的身高DE，可知△DEF是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，△（2）利用已知判定△DEC【详解】（1）解：∵影长EF恰好等于自己的身高DE，∴△DEF∴∠DFE∵AC∥∴∠ACB∴△ABC则AB=故答案为：11.3；（2）解：如图，由反射定律可知，∠又∠DEC∴△DEC∴ABDE=BC解得AB=12答：旗杆高度为12米．12．如图，l1∥l2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A在直线l1上，B、C两点在(1)在图1中，画出△ABC边BC的中线AF(2)在图2中，画出一个以AC为对角线的菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图解答即可．（2）根据直角三角形的性质，得到AF=BF=FC=12BC，连接FD，并延长交l1【详解】（1）解：根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图如下：则AF即为所求．（2）解：根据题意，作图如下：则四边形AFCG即为所求作的一个以AC为对角线的菱形．理由如下：∵∠BAC=90°，边BC上的中线为∴AF=连接FD，并延长交l1于点G连接CG，∵l1∴△ADG∴ADCD∵AD=∴DG=∴四边形AFCG是平行四边形，∵AF=∴四边形AFCG是菱形．则四边形AFCG即为所求作的一个以AC为对角线的菱形．13．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是等腰直角三角形，AO=BO，点A的坐标为(0,6)．点C是边OB上一点，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连接AD(1)当AB平分∠CAD时，∠OAC＝(2)若CO=13(3)如图2，作点C关于AD的对称点E，连接BE，CE，DE．设△BDE的面积=S，CO=m，求【答案】(1)22.5(2)2(3)S【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，列函数的解析式，掌握旋转变换的特征是解题的关键．（1）根据旋转的性质和角平分线的定义求解即可；（2）根据旋转的性质证△ACO（3）根据等腰直角三角形的性质证△ACO【详解】（1）解：由旋转性质，得AC=CD，∴∠CAD∵AB平分∠CAD∴∠BAC由题意，得∠OAB∴∠OAC故答案为：22.5；（2）∵AO=BO，∴AB=2AO由旋转性质，得AC=CD，∴AD=2AC∴∠OAC即∠OAC又∵AOAB∴△ACO∴CODB即DB=由题意知，BO=∵CO=∴BD=（3）如图，设AD与CE交于点F，连接BF，由对称性质，得CE⊥AD，由题意，得△ACD∴F为AD中点，即AF=由（2）知△ACO∴∠AOC∴AF=∴BF=∴∠FEB=∠∵∠FEB∴∠FBC+∠∵AO=6，CO∴在Rt△AOC中，∴CE=2又∵BC=∴BE=过点D作DG⊥x轴于点∵∠ACD∴∠ACO∴∠ACO在△ACO和△∠AOC∴△ACO∴AO=CG=6∴CO+BC=S=14．【问题提出】在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．判断PA与【问题特殊化】（1）如图1所示，当α=60°时，PA与DC的数量关系为______；∠PCD（2）如图2所示，当α=120°时，请问（1【拓展应用】（3）当α=90°时，若AB=6，BP=3【答案】（1）PA=DC，60°；（2）不成立．理由见解析；（3）线段AD【分析】（1）由旋转的性质可知PB=PD，进而可知△ABC、△PBD是等边三角形，可证得△PBA≌△DBC，由全等三角形的性质得出PA=DC，可知∠BPA=（2）由旋转可知PB=PD，由等腰三角形的性质可知∠ABC=∠ACB=30°，∠PBD=∠PDB=30°，∠BAP=60°，作AE⊥BC，PF⊥BD，可得（3）类比（2）证明△BAP【详解】（1）∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α