2026届江苏省苏州一中数学高二上期末考试试题含解析

2026届江苏省苏州一中数学高二上期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.2．已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.3．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）A.6 B.8C.10 D.124．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或5．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.24种 B.48种C.72种 D.96种7．设命题，则为（）A. B.C. D.8．棱长为1的正四面体的表面积是（）A. B.C. D.9．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.5610．已知数列满足，，在（）A.25 B.30C.32 D.6411．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.12．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的类似问题：把150个完全相同的面包分给5个人，使每个人所得面包数成等差数列，且使较大的三份面包数之和的是较小的两份之和，则最大的那份面包数为（）A.30 B.40C.50 D.60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______14．容积为V圆柱形密封金属饮料罐，它的高与底面半径比值为___________时用料最省.15．关于曲线C：1，有如下结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线x±y＝0对称；③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形其中正确结论的个数是_____16．如图，在棱长都为的平行六面体中，，，两两夹角均为，则________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值.18．（12分）已知抛物线与直线相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.19．（12分）已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称（1）求圆的方程；（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围20．（12分）小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)21．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围.22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x经过点A（1，2），直线l：y=kx+b与抛物线C交于M，N两点.（1）若，求直线l的方程；（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b=mk+n（m，n为常数），求m+2n的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.【详解】解：若，且，则，当时，，所以，当时，，所以，综上命题为假命题，则为真命题，在中，若，则，由正弦定理得，所以命题为真命题，为假命题，所以为真命题，，，为假命题.故选：A.2、A【解析】由题意，，结合，求解即可【详解】∵椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在椭圆e＞0∴e=故选：A3、D【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算【详解】由得焦点，准线方程为，设，，由得则，化简得所以故选：D4、D【解析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设直线方程为，即，由，得，直线方程为，即故选：D5、B【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B6、B【解析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂D部分时，有2种涂法.由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有种.故选：B.7、D【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为命题是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即，故选：D8、D【解析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果【详解】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知：正四面体的表面积为，故选：D9、B【解析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B10、A【解析】根据题中条件，得出数列公差，进而可求出结果.【详解】由得，所以数列是以为公差的等差数列，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.11、C【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C12、C【解析】根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，则所以解得所以最大项.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解【详解】解：设，则，甲：由可得，则，乙：由可得：，丙：由可得，即，所以，若，则，则不成立，，则，解得或，所以甲，丙正确，乙错误，此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，所以，故答案为：14、【解析】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，由，得到，进而求得表面积，结合不等式，即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，则，即有，可得圆柱的表面积为，当且仅当时，即时最小，即用料最省，此时，可得.故答案为：.15、4【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，根据对称性，可得公共点为，故曲线C与曲线D有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确故答案为：416、①.②.点或点（填出其中一组即可）【解析】（1）以向量，，为基底分别表达出向量和，展开即可解决；（2）由上一问可知，用上一问同样的方法可以证明出，这样就证明了平面与直线垂直.【详解】（1）令，，，则，则有，故（2）令，，，则，则有，故故，即又由（1）之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为：0;点或点三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）将点代入抛物线方程即可求解；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出的值;当直线AB的斜率不存在时，由过点即可求出点和点的坐标,即可求出的值.【小问1详解】将点代入得，，∴抛物线的标准方程为.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，，将联立得，，由韦达定理得：，，，当直线AB的斜率不存在时，由直线过点,则，，，，综上所述可知，为定值为.18、(1)；(2).【解析】（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.试题解析：(1)联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.(2)假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，，当时，为定值，所以.19、（1）（2）【解析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.【小问1详解】由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为【小问2详解】连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，在中，根据勾股定理可知，因为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以20、每年至少要还6.17万元.【解析】根据贷款总额和还款总额相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【详解】50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，从而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.21、（1）（2）【解析】（1）求出后可得椭圆的方程.（2）联立直线的方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可用表示，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围.小问1详解】由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，，.联立，整理得，则，解得，从而，.因为M是线段PQ的中点，所以，则，故.直线的方程为，即.令，得，则，所以.设，则，故.因为，所以，所以.22、（1）（2）3或【解析】（1）由可得