2025-2026 学年高二 数学（湘教版）期中考试试卷及答案

2025-2026学年高二数学（湘教版）期中考试试卷及答案本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡指定位置，在试卷上作答无效。考试结束后，只收答题卡，不收试卷。第一部分试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(m,-6)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则实数\(m\)的值为（）A.-4B.4C.-3D.32.双曲线\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{3}{5}\)3.已知直线\(l:2x-y+1=0\)，则与直线\(l\)垂直且过点\((1,2)\)的直线方程为（）A.\(x+2y-5=0\)B.\(x+2y+5=0\)C.\(2x-y-0=0\)D.\(2x-y+3=0\)4.若命题\(p:\existsx_0\inR\)，\(x_0^2+2x_0+1\leq0\)，则\(\negp\)为（）A.\(\existsx_0\inR\)，\(x_0^2+2x_0+1>0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1>0\)C.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\leq0\)D.\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1\geq0\)5.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，点\(P\)在抛物线上，且\(|PF|=5\)，则点\(P\)的横坐标为（）A.3B.4C.5D.66.已知空间向量\(\vec{a}=(1,0,-1)\)，\(\vec{b}=(2,1,0)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于（）A.2B.1C.-2D.-17.若椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的长轴长为8，离心率为\(\frac{1}{2}\)，则椭圆的标准方程为（）A.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)B.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)C.\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1\)D.\(\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1\)8.已知直线\(l:y=kx+1\)与圆\(C:x^2+y^2-2x-3=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则实数\(k\)的值为（）A.0或\(\frac{3}{4}\)B.0或\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{3}{4}\)或\(-\frac{3}{4}\)D.0或\(\frac{4}{3}\)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，则\(2\vec{a}-\vec{b}=\)__________.10.命题“若\(x^2-3x+2=0\)，则\(x=1\)或\(x=2\)”的逆否命题为__________.11.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则\(\frac{b}{a}=\)__________.12.已知空间直角坐标系中，点\(A(1,2,3)\)，\(B(2,-1,4)\)，则\(|AB|=\)__________.三、解答题（本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（本小题满分14分）已知向量\(\vec{a}=(3,-1)\)，\(\vec{b}=(1,-2)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)；（2）\(|\vec{a}|\)；（3）\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)的余弦值.14.（本小题满分14分）已知圆\(C\)的圆心在直线\(x-y-4=0\)上，且经过点\(A(2,-3)\)，\(B(-2,-5)\)，求圆\(C\)的标准方程.15.（本小题满分14分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且过点\((2,1)\)，求椭圆\(C\)的标准方程.16.（本小题满分14分）已知直线\(l:x+y-1=0\)与抛物线\(y^2=4x\)交于\(P\)，\(Q\)两点，求线段\(PQ\)的中点坐标及\(|PQ|\).17.（本小题满分16分）已知命题\(p:\)关于\(x\)的方程\(x^2+2ax+a+2=0\)有实数根；命题\(q:\forallx\in[1,2]\)，\(x^2-a\geq0\).若\(p\lorq\)为真命题，\(p\landq\)为假命题，求实数\(a\)的取值范围.18.（本小题满分18分）已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的离心率为\(\sqrt{2}\)，且过点\((2,\sqrt{3})\).（1）求双曲线\(C\)的标准方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与双曲线\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，若以\(AB\)为直径的圆过原点\(O\)，求实数\(m\)与\(k\)的关系.第二部分答案一、选择题（40分）1.A解析：因为\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，所以\(2\times(-6)-3m=0\)，解得\(m=-4\).2.A解析：由双曲线方程可知\(a^2=16\)，\(b^2=9\)，则\(c^2=a^2+b^2=25\)，\(c=5\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\).3.A解析：直线\(l\)的斜率为2，与其垂直的直线斜率为\(-\frac{1}{2}\)，代入点\((1,2)\)得方程\(y-2=-\frac{1}{2}(x-1)\)，整理为\(x+2y-5=0\).4.B解析：特称命题的否定是全称命题，将“\(\exists\)”改为“\(\forall\)”，否定结论，即\(\forallx\inR\)，\(x^2+2x+1>0\).5.B解析：抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F(1,0)\)，准线方程为\(x=-1\)，设\(P(x_0,y_0)\)，由抛物线定义\(|PF|=x_0+1=5\)，解得\(x_0=4\).6.A解析：空间向量点积\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+0\times1+(-1)\times0=2\).7.A解析：长轴长\(2a=8\)，则\(a=4\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，得\(c=2\)，\(b^2=a^2-c^2=16-4=12\)，椭圆方程为\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\).8.B解析：圆\(C\)整理为\((x-1)^2+y^2=4\)，圆心\((1,0)\)，半径\(r=2\)，圆心到直线距离\(d=\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}\)，由\(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{3}\)，得\(d=1\)，即\(\frac{|k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1\)，解得\(k=0\)或\(k=-\frac{3}{4}\).二、填空题（20分）9.\((-1,0)\)解析：\(2\vec{a}=(2,4)\)，\(2\vec{a}-\vec{b}=(2-3,4-4)=(-1,0)\).10.若\(x\neq1\)且\(x\neq2\)，则\(x^2-3x+2\neq0\)解析：逆否命题是否定原命题的条件和结论，并交换位置，“或”改为“且”.11.\(\frac{3}{4}\)解析：双曲线渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，由题意\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\).12.\(\sqrt{6}\)解析：空间两点距离公式\(|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2+(4-3)^2}=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{6}\).三、解答题（90分）13.解：（1）\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+(-1)\times(-2)=3+2=5\)……4分（2）\(|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)……8分（3）\(|\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)，\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)……14分14.解：设圆心坐标为\((m,m-4)\)，因为圆经过\(A\)，\(B\)两点，所以\(|CA|=|CB|\)，……2分即\(\sqrt{(m-2)^2+(m-4+3)^2}=\sqrt{(m+2)^2+(m-4+5)^2}\)，……6分平方得\((m-2)^2+(m-1)^2=(m+2)^2+(m+1)^2\)，展开整理：\(m^2-4m+4+m^2-2m+1=m^2+4m+4+m^2+2m+1\)，化简得\(-6m=6m\)，解得\(m=0\)，……10分则圆心为\((0,-4)\)，半径\(r=|CA|=\sqrt{(0-2)^2+(-4+3)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)，所以圆\(C\)的标准方程为\(x^2+(y+4)^2=5\)……14分15.解：由离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，得\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，……2分又\(c^2=a^2-b^2\)，所以\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2=a^2-b^2\)，整理得\(b^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)，……6分因为椭圆过点\((2,1)\)，代入椭圆方程得\(\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}=1\)，即\(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1\)，……10分化简：\(\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\)，\(\frac{8}{a^2}=1\)，解得\(a^2=8\)，则\(b^2=2\)，所以椭圆\(C\)的标准方程为\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\)……14分16.解：联立直线与抛物线方程\(\begin{cases}x+y-1=0\\y^2=4x\end{cases}\)，消去\(x\)得\((1-y)^2=4y\)，……2分整理：\(y^2-6y+1=0\)，设\(P(x_1,y_1)\)，\(Q(x_2,y_2)\)，则\(y_1+y_2=6\)，\(y_1y_2=1\)，……6分中点纵坐标\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}=3\)，代入直线方程得\(x_0=1-y_0=-2\)，所以中点坐标为\((-2,3)\)；……10分\(|PQ|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}=\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{36-4}=\sqrt{2}\times\sqrt{32}=8\)……14分（注：直线斜率为-1，故\(\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}=\sqrt{2}\)）17.解：命题\(p\)为真时，\(\Delta=(2a)^2-4(a+2)\geq0\)，即\(4a^2-4a-8\geq0\)，化简\(a^2-a-2\geq0\)，解得\(a\leq-1\)或\(a\geq2\)；……4分命题\(q\)为真时，\(a\leqx^2\)在\(x\in[1,2]\)上恒成立，\(x^2\in[1,4]\)，故\(a\leq1\)；……8分因为\(p\lorq\)为真，\(p\landq\)为假，所以\(p\)与\(q\)一真一假：①当\(p\)真\(q\)假时，\(\begin{cases}a\leq-1或a\geq2\\a>1\end{cases}\)，解得\(a\geq2\)；……12分②当\(p\)假\(q\)真时，\(\begin{cases}-1<a<2\\a\leq1\end{cases}\)，解得\(-1<a\leq1\)；……14分综上，实数\(a\)的取值范围是\((-1,1]\cup[2,+\infty)\)……16分18.解：（1）由离心率\(e=\sqrt{2}\)，得\(c=\sqrt{2}a\)，又\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(2a^2=a^2+b^2\)，即\(b^2=a^2\)；……4分双曲线过点\((2,\sqrt{3})\)，代入方程得\(\frac{4}{a^2}-\frac{3}{b^2}=1\)，因为\(b^2=a^2\)，所以\(\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1\)，解得\(a^2=1\)，\(b^2=1\)；……8分故双曲线\(C\)的标准方程为\(x^2-y^2=1\)……10分（2）联立直线与双曲线方程\(\begin{cases}y=kx+m\\x^2-y^2=1\end{cases}\)，消去\(y\)得\(x^2-(kx+m)^2=1\)，……12分整理：\((1-k^2)x^2-2kmx-(m^2+1)=0\)，因为交于不同两点，所以\(1-k^2\neq0\)且\(\Delta=(-2km)^2+4(1-k^2)(m^2+1)>0\)，化简\(\Delta=4k^2m^2