2025-2026 学年九年级 数学（粤教版）期中考试试卷及答案

2025-2026学年九年级数学（粤教版）期中考试试卷及答案2025-2026学年九年级数学（粤教版）期中考试试卷考试时间：120分钟满分：120分班级：________姓名：________学号：________分数：________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列函数中，是二次函数的是（）

A.y=2x+1B.y=2x²-1C.y=1/xD.y=x³+2x

抛物线y=(x-2)²+3的顶点坐标是（）

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k<1B.k≤1C.k>1D.k≥1

将抛物线y=x²向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式是（）

A.y=(x+2)²-3B.y=(x-2)²-3C.y=(x+2)²+3D.y=(x-2)²+3

如图，在⊙O中，弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，则弧AB所对的圆周角∠ACB的度数是（）

（注：图为⊙O内接三角形ABC，点C在⊙O上）

A.60°B.120°C.30°D.90°

一元二次方程x²-5x+6=0的两根分别是x₁、x₂，则x₁+x₂的值是（）

A.5B.-5C.6D.-6

已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（）

A.15πcm²B.20πcm²C.25πcm²D.30πcm²

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）

（注：图象开口向下，对称轴为x=1，与y轴交于正半轴）

A.a>0B.b<0C.c<0D.b²-4ac>0

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，OA=2，则PA的长是（）

A.2√3B.√3C.2D.4

某商品原价为200元，连续两次降价x%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）

A.200(1+x%)²=148B.200(1-x%)²=148

C.200(1-2x%)=148D.200(1-x²%)=148二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）一元二次方程x²-4x=0的解是________。抛物线y=-x²+2x+3与x轴的交点坐标是________。已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的半径是________cm，圆上各点到圆心的距离是________cm。二次函数y=2x²-4x+1的对称轴是直线________。如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BCD=30°，则∠ABD=________°。若点A(1,y₁)、B(2,y₂)、C(3,y₃)都在抛物线y=x²-4x+5上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是________。一个扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则这个扇形的面积是________cm²（结果保留π）。三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）解一元二次方程：x²-6x+8=0。已知二次函数y=x²+2x-3，求该函数图象的顶点坐标和对称轴。如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8cm，OE=3cm，求⊙O的半径。四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，求证：BD=CD。已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，求该二次函数的解析式。五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）求△BCD的面积。如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接OA、OB、AB，OA与PB的延长线交于点C。

（1）求证：OA⊥PA；

（2）若⊙O的半径为2，∠C=30°，求BC的长。2025-2026学年九年级数学（粤教版）期中考试答案一、选择题（每小题3分，共30分）B解析：二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c（a≠0），A是一次函数，C是反比例函数，D是三次函数，故选B。A解析：抛物线y=a(x-h)²+k的顶点坐标为(h,k)，故y=(x-2)²+3的顶点坐标是(2,3)，故选A。A解析：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则Δ=b²-4ac>0，此处a=1，b=-2，c=k，Δ=4-4k>0，解得k<1，故选A。A解析：抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移2个单位得y=(x+2)²，再向下平移3个单位得y=(x+2)²-3，故选A。A解析：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∠ACB=1/2∠AOB=1/2×120°=60°，故选A。A解析：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根之和x₁+x₂=-b/a，此处a=1，b=-5，故x₁+x₂=5，故选A。A解析：圆锥侧面积公式为πrl（r为底面半径，l为母线长），则侧面积=π×3×5=15πcm²，故选A。D解析：图象开口向下则a<0；对称轴x=-b/(2a)=1，a<0则b>0；与y轴交于正半轴则c>0；图象与x轴有两个交点则Δ=b²-4ac>0，故选D。A解析：PA、PB是⊙O的切线，故OA⊥PA，OB⊥PB，∠OAP=∠OBP=90°，又∠APB=60°，则∠AOB=120°，OA=OB=2，在Rt△OAP中，tan∠APO=OA/PA，∠APO=30°，则PA=OA/tan30°=2/(√3/3)=2√3，故选A。B解析：第一次降价后售价为200(1-x%)，第二次降价后售价为200(1-x%)²，故方程为200(1-x%)²=148，故选B。二、填空题（每小题4分，共28分）x₁=0，x₂=4解析：x(x-4)=0，解得x₁=0，x₂=4。(-1,0)，(3,0)解析：令y=0，得-x²+2x+3=0，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，故交点坐标为(-1,0)，(3,0)。5，5解析：直径为10cm，半径为5cm，圆上各点到圆心的距离等于半径，即5cm。x=1解析：对称轴公式为x=-b/(2a)，a=2，b=-4，故x=4/(4)=1。30解析：AB是直径，故∠ADB=90°，∠BCD=∠BAD=30°（同弧所对的圆周角相等），则∠ABD=60°？修正：∠BCD与∠BAD同对弧BD，故∠BAD=∠BCD=30°，AB是直径，∠ADB=90°，故∠ABD=90°-30°=60°？再修正：∠BCD=30°，∠BCD与∠BAD同弧BD，所以∠BAD=30°，AB为直径，∠ADB=90°，所以∠ABD=60°？或直接：∠BCD=∠BAD=30°，AB直径，∠ABD=60°，最终答案60？原空填60。y₂<y₁<y₃解析：对称轴为x=2，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，A(1,y₁)离对称轴1个单位，B(2,y₂)离对称轴0个单位，C(3,y₃)离对称轴1个单位？修正：A(1,y₁)：y₁=1-4+5=2；B(2,y₂)：y₂=4-8+5=1；C(3,y₃)：y₃=9-12+5=2，故y₂<y₁=y₃？再计算：y=x²-4x+5=(x-2)²+1，A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，故y₂<y₁=y₃。12π解析：扇形面积公式为nπr²/360，n=120°，r=6，故面积=120π×36/360=12π。三、解答题（一）（每小题6分，共18分）解：x²-6x+8=0

因式分解得：(x-2)(x-4)=0

则x-2=0或x-4=0

解得x₁=2，x₂=4（6分）解：方法一：配方法

y=x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4

故顶点坐标为(-1,-4)，对称轴为直线x=-1（6分）

方法二：公式法

对称轴x=-b/(2a)=-2/(2×1)=-1

当x=-1时，y=(-1)²+2×(-1)-3=1-2-3=-4

故顶点坐标为(-1,-4)，对称轴为直线x=-1（6分）解：连接OC

∵CD⊥AB于点E，CD=8cm

∴CE=1/2CD=4cm（垂径定理）

设⊙O的半径为rcm，则OC=rcm，OE=3cm

在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC²=OE²+CE²

即r²=3²+4²=9+16=25

解得r=5（r=-5舍去）

故⊙O的半径为5cm（6分）四、解答题（二）（每小题8分，共24分）解：设每件衬衫应降价x元

则每件盈利(40-x)元，每天可售出(20+2x)件

根据题意得：(40-x)(20+2x)=1200

展开得：800+80x-20x-2x²=1200

整理得：-2x²+60x-400=0

化简得：x²-30x+200=0

因式分解得：(x-10)(x-20)=0

解得x₁=10，x₂=20

∵要尽快减少库存，∴x=20

答：每件衬衫应降价20元（8分）证明：连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）

即AD⊥BC

又∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高

∴BD=CD（等腰三角形三线合一）（8分）解：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）

∵图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)

将A点坐标代入得：a-b+c=0①

将B点坐标代入得：9a+3b+c=0②

将C点坐标代入得：c=3③

把③代入①得：a-b+3=0→a-b=-3④

把③代入②得：9a+3b+3=0→3a+b=-1⑤

④+⑤得：4a=-4→a=-1

把a=-1代入④得：-1-b=-3→b=2

故二次函数的解析式为y=-x²+2x+3（8分）

方法二：设交点式y=a(x+1)(x-3)，代入C(0,3)得：a(0+1)(0-3)=3→-3a=3→a=-1，故y=-1(x+1)(x-3)=-x²+2x+3（8分）五、解答题（三）（每小题10分，共20分）解：（1）设抛物线的解析式为y=-x²+bx+c

∵抛物线过A(-1,0)、B(3,0)

代入得：

-(-1)²+b×(-1)+c=0→-1-b+c=0①

-(3)²+b×3+c=0→-9+3b+c=0②

②-①得：-8+4b=0→4b=8→b=2

把b=2代入①得：-1-2+c=0→c=3

故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3

配方法求顶点：y=-x²+2x+3=-(x²-2x)+3=-(x²-2x+1-1)+3=-(x-1)²+4

故顶点D的坐标为(1,4)（6分）

（2）求△BCD的面积

由抛物线解析式得C点坐标：令x=0，y=3，故C(0,3)

B(3,0)，D(1,4)

方法一：割补法

过D作DE⊥x轴于E，E(1,0)

S△BCD=S梯形OCDE+S△DEB-S△OBC

S梯形OCDE=1/2×(OC+DE)×OE=1/2×(3+4)×1=3.5

S△DEB=1/2×BE×DE=1/2×(3-