重庆市长寿中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

年秋期长寿中学高一年级半期考试数学试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用元素与集合的关系判断得解.【详解】集合，则，ACD错误，B正确.故选：B2.已知⫋，且若，则，则满足条件的集合的有（）A.4个B.7个C.8个D.15个【答案】B【解析】【分析】根据题意求出集合A即可.【详解】因为⫋，都满足题意，共7个.故选：B.3.若集合，，则（）第1页/共16页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出，与集合求交集即可得解.【详解】因为，则，又，所以.故选：B4.）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义结合“学以成人”即可判断.“成人”能推出“学好数学”，必要性成立，故“学好数学”是“成人”的必要不充分条件．故选：B．5.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定是将任意改存在并否定原结论，即可得.【详解】由全称命题的否定是特称命题，则原命题的否定为，.故选：C6.若，，，，则下列说法正确的是（）A.若，，则第2页/共16页B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的相关性质可推理判断选项A,D，通过举反例判断选项B,C.A可得A项错误；对于B选项，因时，，故B项错误；对于C选项，取满足，，但是有，故C项错误；对于D选项，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，移项得：，故D项正确.故选：D.7.、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④）A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，第3页/共16页顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确；综上①②③④正确；故选：D8.已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，对任意的）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围.【详解】由已知可得，函数为偶函数，又对于，当时，恒成立，即，若，都有成立，则在上单调递减，第4页/共16页又函数为偶函数，则在上单调递增，又对任意的恒成立，则可得．当时，不等式为显然成立；当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可．因，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：A．二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“且”是“”的充要条件C.某文具店搞活动，1个笔记本与2支圆珠笔价格之和大于6元，而2个笔记本与1支圆珠笔价格之和小于4元，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低D.购买同一种物品，可以用两种不同的策略．第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．则用第一种方式购买更实惠【答案】AC【解析】【分析】对于A，解出的范围，再去判断；对于B，找一组特例，就可以分析出和且关系；对于C，设笔记本价格为a，圆珠笔价格为b，根据条件判断正负；对于D，用调和平均数和算术平均数的不等关系求解.第5页/共16页【详解】对于A选项，，则，则推出，推不出，所以是充分不必要条件，故A正确；对于B选项，且能推出；（比如）推不出且，所以且是的充分不必要条件，故B错误；对于C选项，设1个笔记本价格a元，1支圆珠笔价格b元，则，令，，得，所以，由，所以，则3个笔记本的价格比2支圆珠笔的价格低，故C正确；对于D选项，设第一次价格为A，第二次价格为A，第三次价格为A，，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，平均价格，第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，平均价格，由调和平均数算术平均数，可得第二种优惠，故D错误．故选：AC．10.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则关于的不等式的解集也为C.若，则且D.若，则关于的不等式的解集为或第6页/共16页【答案】ACD【解析】【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根，则，得到，所以，故A正确；对于B，若，则，此时等价于，即，显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误；对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点，所以且，故C正确；对于D，因为，由选项A知，，且，由，得到，即，解得或，所以D正确，故选：ACD.下列说法错误的是（）A.不等式的解集为B.函数的定义域是C.若，则函数的最小值为2D.当时，不等式恒成立，则的取值范围是【答案】AC第7页/共16页【解析】【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得BC错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确；【详解】对于A，不等式等价于，解得或，所以不等式的解集为或，故A错误；对于B的定义域是，故B正确；对于C，函数，当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误；对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；当时，由二次函数的性质可得，解得，综上的取值范围是，故D正确；故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.设正实数，，取得最大值时，的最大值为__________________________【答案】##【解析】化为时，取最大值，进而化简为，结合二次函数性质，即得答案.第8页/共16页【详解】由题意知正实数，，，满足，即，则，则，当且仅当，即时取等号，故，即最大值为，此时，故，当，即时，取最大值，故答案为：【点睛】关键点睛：本题涉及到多个变量，因此解答时要将变量转化单变量问题解决.13.若不等式的解集为，则____；不等式的解集为____【答案】①.②.【解析】【分析】由题意确定的两根求得，即可求解.【详解】由题意方程，有两根，所以，解得：，所以，所以即为：，即，即，所以解集为：，第9页/共16页14.记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有，当时，由，所以，因为函数是定义域为的奇函数，所以当时，，因此函数的图象如下图所示：因为对任意，都有，第10页/共16页所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方，因此有且，解得，且，因此实数的取值范围是，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．（1）若为假命题，求实数m的取值范围；（2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】1）由题意为真命题，则有即可求解；（2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意有：为假命题，所以为真命题，又由方程有两个不相等的实数根，所以，所以实数m的取值范围为；【小问2详解】由（1）有为真命题，则，因为p，q中一真一假，所以当真，假时，有，当假，真时，有，第11页/共16页综上所述，，所以实数m的取值范围为.16.设全集，集合或，．（1）当时，求图中阴影部分表示的集合；（2的取值范围．【答案】（1）或（2）条件选择见解析，【解析】1）当时，求出集合及，结合图形分析出阴影部分表示的集合，再根据交集的定义求解即可；（2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，然后分和两种情况讨论，列出不等式，求解即可.【小问1详解】因为全集，集合或，当时，，所以或.所以图中阴影部分表示的集合或．小问2详解】①；②；③，选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，当时，，解得；第12页/共16页解得或，所以.综上可知，实数的取值范围是．17.已知是一元二次方程的两个不等实数根．（1）若均为正根，求实数的取值范围；（2）求使的值为整数的的整数值；【答案】（1）（2）【解析】1）由题可得，判别式和，运算得解；（2）利用韦达定理化简，结合题意求解.【小问1详解】由题意，一元二次方程有两个正根，故，得，且，解得：.【小问2详解】由题意，，又当，即时，且，故，由于为整数，故只能取，又，第13页/共16页故整数的值为.18.已知函数，其中.（1）若在区间上具有单调性，求的取值范围；（2）当时，函数的最大值为，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案；（2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值.【小问1详解】因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性，所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，.所以，实数的取值范围是．【小问2详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为，①当时，在上单调递减，此时，因为当时，函数最大值为，即，解得或，所以；②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时，无解，所以不存在，③当时，在上单调递增，此时，因为当时，函数的最大值为，所以，解得或，所以第14页/共16页综上所述，或.19.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”；（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.【答案】（1），（2）是，证明见解析（3）4039【解析】的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；（2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论；（3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值.【小问1详解】由