2025-2026学年高一上学期期中数学试题含答案

高中2025—2026学年第一学期期中教学质量监测高一数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则A． B． C． D．2.下列各图中，不能表示是的函数的是（）A.B.C. D.3．已知不等式的解集为，则不等式的解集为A．B． C． D．4．已知：，且，下列不等关系一定成立的是A.B.C. D.5．若函数的定义域为，命题为奇函数，命题，则是的A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件6．已知函数是上的减函数，则的取值范围是A．B．C． D．7．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．8.对于非空正数集，其所有元素的几何平均数记为，即，若非空正数集B满足下列两个条件：（1）；（2）．则称B为A的一个“稳定子集”．根据以上信息，集合的“稳定子集”有（）A.5个B.6个C.7个D.8个二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．满足的集合有A. B． C． D．10.已知正数满足，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．的最小值为 D．与可以相等11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（）A.函数满足：B.函数的值域是C.对于任意的，都有D.在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为.13.已知命题，为真命题，则实数的取值范围是．14．若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知函数（，且）.（1）若函数的图象过点，求的值；（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值.16.（15分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（）小时后，水中含有物质N的浓度增加ymol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用的时长；（2）若时在水中首次投放1个单位的物质N，时再投放1个单位的物质N，试判断当时，水中含有物质N的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．17.（15分）已知上有意义，单调递增且满足．（1）求证：；（2）求不等式的的解集．18.（17分）回答下列问题：（1）已知不等式的解集是，求，的值；（2）对于二次函数，当时，的最小值是，最大值是，求，的值.19.（17分）已知A是非空数集，如果对任意，都有，，则称A是封闭集．（1）判断集合，，否为封闭集，并说明理由；（2）判断命题“若非空集合，是封闭集，则也是封闭集”的真假，并说明理由；（3）若非空集合A是封闭集合，且，求证：不是封闭集．

2025-2026学年第一学期期中教学质量监测高一数学参考答案与评分标准评分说明：1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力，对照评分标准给以相应的分数．2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BBCDCABB第8题：答案为B.因为，则，又因为，由题意可知：集合B至少有2个元素，若集合B有2个元素，则集合B可以为，共2个；若集合B有3个元素，则集合B可以为，共2个；若集合B有4个元素，则集合B可以为，共1个；若集合B有5个元素，则集合B可以为，共1个；综上所述：集合的“稳定子集”有个.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACABDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.(填也得分)14.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）由题意得，，因为，所以.…………2分（2）由（1）可知，，…………3分当时，函数在区间上递减，所以，…………6分由题意得，，…………7分解得，;…………8分当时，函数在区间上递增，所以，…………10分由题意得，，…………11分解得，；…………12分综上所述，或.…………13分16.（1）解：当时，由题得，解之得；…………2分当时，由题得，解之得；…………4分所以.…………6分所以物质N能持续有效发挥作用的时长为12小时.…………7分（2）解；当时，水中含有物质N的浓度为ymol/L，则…………8分.…………12分当且仅当时等号成立.…………13分所以当时，水中含有物质N的浓度的最大值为3mol/L.…………14分所以当时，水中含有物质N的浓度始终不超过3mol/L.…………15分解：（1）因为，令，…………2分得到，…………4分所以.…………5分，…………9分又函数在区间上单调递增，所以，解得，…14分所以不等式的的解集为.…………15分解：（1）令，作出函数的图象，如图，因为，的解集是，若，则不等式的解集是两段区域，不合题意，……2分若，由可知此时恒成立，…………4分又因为不等式的解集为，所以是方程，即的两根，则，解得或（舍去），…………7分综上，，.…………8分（2）令，因为当时，的最小值是，最大值是，若在上单调递减，则有，…………10分两式相减，得，由于，整理得，则，解得，则，不符合题意；…………11分若在上单调递增，则，且，又，解得，与矛盾，舍去；…………14分若在上不单调，则由（1）中图象可知，又，从而有，所以满足，即，解得或（舍去）；…16分综上，.…………17分解：（1）对于集合，因为，，所以集合不是封闭集；…………3分对于集合，任取，其中，，则，，所以集合是封闭集.…………6分令，由（1）知是封闭集，…………7分，任取，其中，，则，，所以