2025-2026学年广东广州天河外国语学校高一（上）期中数学试题含答案

高中广州市天河外国语学校2025学年第一学期期中考试高一年级数学试题考试时间：120分钟；命题人：高一备课组注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.计算（）A. B. C. D.4.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A. B.C. D.5.关于x的不等式的解集为，且：，则a=（）A. B. C. D.6.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.87.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）A. B.是必要不充分条件C.集合与集合表示同一集合 D.设全集为R，若，则10.若实数，，满足，以下选项中正确有（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为11.定义在上的函数满足，且当时，，则有()A.奇函数 B.存在非零实数a，b，使得C.为增函数 D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是偶函数，则______.13.已知函数，则不等式的解集为______.14.设函数，若对任意的，存使得，则实数a的取值范围为_________；若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，或．（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.已知二次函数的图象经过点（2，-6），方程的解集是.（1）求的解析式；（2）若，求在上的最值.17.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最小值；（3）解关于不等式．18.如图，在直角坐标系中，已知点，，直线将分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为，各边长的倒数和为.（Ⅰ）分别求函数和的解析式；（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.19.已知函数，其中，是非空数集且.设，.（1）若，，求；（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；（3）若且，，单调递增，求集合，.

广州市天河外国语学校2025学年第一学期期中考试高一年级数学试题考试时间：120分钟；命题人：高一备课组注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为，所以，则，故选：D2.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3.计算（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.【详解】.故选：D.4.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．5.关于x的不等式的解集为，且：，则a=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，又，所以，解得，因为，所以.

故选：A.6.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，，，当且仅当即时等号成立，，或舍去，即所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.7.已知f（x）是定义在R上偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，得到f（x）在区间上单调递减，然后根据，得到求解.【详解】因为f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，所以f（x）在区间上单调递减，因为，所以，所以，解得，所以a的取值范围是，故选：C8.已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】当时，若x接近时，函数与均为负值，显然不成立，当时，因当时，若即时，结论显然成立．若时只要即，综上所述，故选：B考点：1、一元二次不等式的应用；2二次函数图像．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数与一元二次不等式的应用，属于难题题，当时，显然不成立；当时，因为所以仅对对称轴进行分类讨论即可．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）A. B.是的必要不充分条件C.集合与集合表示同一集合 D.设全集为R，若，则【答案】ABD【解析】【分析】对四个选项依次分析判断其真伪.【详解】A项是特称命题，是真命题，故正确；B项中推不出，反之若可以得到，是必要不充分条件，故正确；C项中第一个集合是点集，第二个集合是数集，这两个集合不可能是同一个集合，故不正确；D项中若A是B的子集，由韦恩图可知B的补集是A的补集的子集，故正确.故选：ABD【点睛】本题考查了特称命题、充分条件和必要条件、集合的类型、集合的运算及集合间的关系，涉及的知识点较多，属于新高考多选题型，解题时需要逐一判断，要对每个选项准确判断，具有一定的难度.10.若实数，，满足，以下选项中正确的有（）A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.【详解】实数，，，整理得，当且仅当即时取等号，故选项A错误；，当且仅当即m=2−2，，，当且仅当时取等号，故选项C正确；，，，当且仅当时取等号，故选项D正确，故选：BCD11.定义在上的函数满足，且当时，，则有()A.为奇函数 B.存在非零实数a，b，使得C.为增函数 D.【答案】ABC【解析】【分析】对于A，对适当赋值即可判断；对于B，利用奇偶性和单调性转化为方程有解的问题进行判断；对于C，利用定义法进行判断；对于D，利用赋值法和单调性判断.【详解】令，得，所以；令，得，故，为奇函数，故A正确;任取，则，因为，故，，，故为增函数，所以C正确；，所以D错误；，所以，则，，当，，所以存在，使得，所以B正确.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：113.已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】确定给定函数的单调性，再借助单调性脱去法则，进而求解不等式得答案.【详解】当时，函数在上单调递增，，当时，函数在上单调递增，，因此函数在R上是增函数，不等式，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案：14.设函数，若对任意的，存使得，则实数a的取值范围为_________；若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围为_________．【答案】①.；②.【解析】【分析】空1：分析得知要使得对任意的，存在使得，则，结合单调性分析求解a的取值范围；空2：要使得对任意的，存在使得，得到在上值域是在上值域的子集，利用单调性与集合的包含关系可求出a的取值范围．【详解】空1：因为利用函数图像性质可知在上单调递增于是在处取得最小值，即因为，注意到，则在上单调递增于是在处取得最小值，即由题意可得：，即得空2：由上述分析可知：在处取得最大值，即于是当时，的值域在处取得最大值，即于是当时，的值域要使得对任意的，存在使得根据与的连续性可知成立则，解得故答案为：；．四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知集合，或．（1）当时，求；（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，再求；（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，.因为或，所以或；（2）因或，所以.因为“”是“”的充分不必要条件，所以A.当时，符合题意，此时有，解得：a<0.当时，要使A，只需，解得：综上：a<1.即实数的取值范围.16.已知二次函数的图象经过点（2，-6），方程的解集是.（1）求的解析式；（2）若，求在上的最值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意设出二次函数两根式，将点代入，由此求得解析式.（2）首先求得解析式，求得的对称轴，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，由此求得在区间上的最值.【详解】（1）因为是二次函数，且方程的解集是，所以可设.因为的图象经过点，所以，即.故.（2）因为，所以，则的图象的对称轴为.根据二次函数图像与性质可知：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，.【点睛】本小题主要考查二次函数解析式的求法，考查含有参数的二次函数在给定区间上的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.17.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最小值；（3）解关于的不等式．【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）将不等式转化为二次函数恒成立形式，再根据是否为零分类讨论，并结合判别式即可得解．（2）对分式代数式变形，利用基本不等式求最小值即可．（3）将不等式因式分解后，对参数分多种情况讨论，逐一求解集即可．【小问1详解】由已知得对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立．当时，，不满足题意；当时，则，解得．综上所述，实数的取值范围为．【小问2详解】由（1）可知，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最小值为．【小问3详解】由已知，当时，，解集为；当时，方程的两个根为，解集为；当时，对方程，①当，即时，解集为，②当，方程两个根，即时，解集为，③当，方程的两个根，即时，解集为．综上所述，时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为．18.如图，在直角坐标系中，已知点，，直线将分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为，各边长的倒数和为.（Ⅰ）分别求函数和的解析式；（Ⅱ）是否存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）存在，的最大值为.【解析】【分析】（Ⅰ）当时，多边形是三角形，三边长分别为，，，当时，多边形是四边形，各边长为，，，，由此分别求出和的解析式即可.（Ⅱ）由的解析式可知，函数的单调递减区间是，再通过定义法说明在区间上单调递减，故存在，由此可求的最大值.【详解】（Ⅰ）当时，多边形是三角形（如图①），三边长分别为，，，此时，，当时，多边形是四边形（如图②），各边长为，，，，此时，，