2024-2025学年广东广州番禺区高一（上）期末数学试题含答案

高中2024学年第一学期高中教学质量监测试题高一数学本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A B. C. D.2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.3.已知，那么是（）A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第三、四象限角 D.第一、四象限角4.已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（）A. B.C. D.5.设，则（）A. B. C. D.6.若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.时，函数与的图象交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.68.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A.8100 B.900 C.81 D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列化简中，正确的是（）A. B.C D.10.已知是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.11.已知函数，给出下列四个结论，正确的是（）A.存在无数个零点 B.在上有最大值C.在区间上是单调递减函数 D.的图象是轴对称图形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为________.13.若，则_______14.已知且，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（1）求的值；（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？16.已知函数（1）求的值；（2）用定义证明函数在区间上是增函数；（3）求不等式的解集．17.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？18.已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．（1）求；（2）求值；（3）若角是三角形内角，且，求值．19.函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．（1）判断函数与函数奇偶性，并加以证明；（2）我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如……①请你用与表示和（不要求证明）．②若，求证：．③定义，求的值．

2024学年第一学期高中教学质量监测试题高一数学本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义，联立方程即可求解.【详解】由，解得，故，故选：C2.下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解ABC，根据指数型复合函数的单调性即可求解D.【详解】对于A,在单调递增，故A错误，对于B，在上单调递减，B正确，对于C，在单调递增，故C错误，对于D，在单调递增，在单调递减，故D错误，故选：B3.已知，那么是（）A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第三、四象限角 D.第一、四象限角【答案】A【解析】【分析】化简代数式，根据正弦值为正，得出终边所在象限.【详解】由可知同号，即，从而第一、二象限角，故选A.故选：A【点睛】此题考查根据三角函数符号判断角的终边所在象限，关键在于熟记各个象限三角函数值的符号进行辨析.4.已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数单调性，根据零点存在定理即可判断零点所在范围，即可比较得出答案.【详解】函数在R上单调递增，又，故的零点，令，解得，即；由在上单调递增，得，，因此的零点，则，故选：D．5.设，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性即可求解.【详解】由于，故，由于，故，由于，故，因此，故选：D6.若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解.【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题，故，则，故选：A7.时，函数与的图象交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】作出函数图象即可求解.【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象，根据图象可知：与的图象在有4个交点，故选：B8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A.8100 B.900 C.81 D.9【答案】C【解析】【分析】利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：,解得；当鲑鱼游静止时的耗氧量：,解得；所以.故选：C【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列化简中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据辅助角公式即可求解AB，根据二倍角公式可求解C，根据正切的和角公式求解D.【详解】对于A，，A正确，对于B，，故B错误，对于C，，C正确，对于D，，故D正确，故选：ACD10.已知是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断ABC；举例判断D即可.【详解】由题意不妨设，因为函数增函数，所以，即，故A正确，B错误，因为，即，根据函数是增函数，所以，故C正确；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；故选：AC11.已知函数，给出下列四个结论，正确的是（）A.存在无数个零点 B.在上有最大值C.在区间上是单调递减函数 D.的图象是轴对称图形【答案】ABD【解析】【分析】令由即可求解A，根据函数可得若在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，即可求解B，举反例即可求解C，根据即可求解D.【详解】对于A，令，即，则,得且且，故存在无数个零点，故A正确，对于B，当时，，且在上单调递增，假设在上有最大值点，则满足，令,则，故，对任意，且，则，所以，则，若在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，故在有最大值，进而在上有最大值，B正确，对于C,,由于，故，所以，故C错误，对于D，，故关于直线对称，D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据,得，进而得，根据假设在上有最大值点，则，由于在上是连续函数，即可求解最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数的定义域满足：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．．13.若，则_______【答案】5【解析】【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解.【详解】由可得，故，故答案为：514.已知且，则______．【答案】64【解析】【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.【详解】由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.设函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（1）求值；（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（1），（2）见解析【解析】【分析】（1）根据以及函数的单调性可得，根据最值求解；（2）根据，利用三角函数的图象变换求解.【小问1详解】由题意可知：结合在单调递增，故,解得，所以，得，由于，故，【小问2详解】由（1）得，所以的图象可由的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.16.已知函数（1）求的值；（2）用定义证明函数在区间上是增函数；（3）求不等式的解集．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据自变量的范围，直接代入即可求解，（2）根据单调性的定义即可求解，（3）分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，，则，当时，，则，【小问2详解】任取，故，由于,所以，因此，故，因此函数在区间上是增函数，【小问3详解】当时，由时，，解得或，当时，由时，，解得，综上可得不等式的解集为．17.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？【答案】（1）20平方米（2）变好了【解析】【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解；（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解.【详解】解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以.又因为，所以.因此，即.所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.【点睛】本题主要考查不等式的应用，考查作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．（1）求；（2）求的值；（3）若角是三角形内角，且，求的值．【答案】（1）；（2）（3）或1【解析】【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解；（2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解.【小问1详解】解：因为角终边过点，所以点P到原点的距离为，所以；【小问2详解】由（1）知：，所以，；【小问3详解】因为是三角形内角，且，所以，由（1）知：，所以，当时，，；当时，，.19.函数与函数分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．（1）判断函数与函数的奇偶性，并加以证明；（2）我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如……①请你用与表示和（不要求证明）．②若，求证：．③定义，求的值．【答案】（1）为奇函数，为偶函数，（2）①②答案见解析，③【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解，（2）根据，，即可求解①，根据①的结论以及，即可求解②，设，得，则即可求解③.【小问1详解】由于，定义域为,且，因此为奇函数，,定义域为,且,因此为偶函数，【小问2详解】①由于，由于，故，，故，②由于，故.③由于