专题03 直线和圆锥曲线的位置关系 （期末复习讲义）原卷版

1/32专题03直线和圆锥曲线的位置关系（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律直线与圆锥曲线位置关系的判定（基础必考点）基础目标：能熟练联立方程，准确用判别式判定椭圆、抛物线与直线的位置关系，准确率达100%.能力目标：主动考虑“直线斜率不存在”“双曲线渐近线”等特殊场景，避免漏判、误判.题型分布：选择题/填空题（1题，5分）+解答题第一问（铺垫作用，3-4分），总分值8-9分.考查频率：期末必考点，无试卷例外命题陷阱：常设“直线垂直x轴”“双曲线与渐近线平行”的干扰项，考查细节处理能力载体偏好：椭圆（基础判定）、双曲线（特殊情况）、抛物线（斜率范围求解）.弦长问题（高频解答考点）基础目标：能根据曲线类型选择弦长公式，代入数据准确计算（计算失误率≤5%）能力目标：结合三角形面积公式，解决综合计算问题.题型分布：解答题第二问（核心得分点，4-5分），少数情况出现在填空题考查频率：高频考点，90%以上试卷会涉及载体偏好：椭圆（最主要，计算量适中）、抛物线（焦点弦特例常考）得分难点：计算过程中忽略“先验证”（弦长存在的前提），导致步骤不完整扣分.中点弦问题（中频考点）基础目标：能独立用两种方法求解“已知中点求直线”“已知直线求中点”的基础问题能力目标：主动验证中点弦的存在性（如判断中点是否在椭圆内部），避免“不存在的弦”的错误结论.题型分布：选择题/填空题（1题，5分）或解答题第一问（3-4分）考查频率：中频，60%-70%试卷会考查.命题特点：常给出“中点坐标”“弦过定点”等条件，直接套用方法即可求解，难度中等.易错陷阱：双曲线中点弦中，忽略“中点与原点连线平行于渐近线时无弦”的情况.定点/定值问题（压轴高频考点）基础目标：掌握“参数分离”“特殊值验证”的核心思路，能在提示下完成证明.能力目标：独立分析含参数的表达式，规范书写“设参→化简→求解”的步骤，突破压轴问.题型分布：解答题压轴问（最后1问，5-6分）考查频率：高频，80%以上试卷以压轴形式考查载体偏好：椭圆（最主要，性质稳定易化简）、抛物线（焦点相关定值常考）难度梯度：前半步骤（设参、联立）较基础，后半步骤（化简消参）需技巧，区分度高.最值/范围问题（选考压轴考点）基础目标：能针对单一类型问题（如长度最值），选择一种方法求解能力目标：根据题目条件灵活选择最优方法（如“面积范围”优先用函数法，“距离最值”优先用几何法），规范书写范围推导过程.题型分布：仅部分试卷（约40%-50%）的解答题压轴问考查考查频率：选考，非必考点载体偏好：椭圆（最主要，几何性质易结合）、抛物线（参数范围问题常考）得分关键：明确变量的取值范围（如椭圆上点的横坐标），避免函数求最值时忽略定义域.综合应用（辅助考点）基础目标：能将向量、斜率条件转化为代数等式（如转化为）能力目标：结合弦长、中点弦等考点，解决“向量条件+长度/面积”的综合问题.题型分布：不单独出题，作为其他考点的“附加条件”考查（如“弦长问题+向量垂直”“定点问题+斜率乘积”）考查频率：辅助高频，几乎所有综合题都会涉及命题特点：通过向量、斜率条件增加题目综合性，但转化难度低，核心仍在基础考点载体偏好：椭圆（向量结合最频繁）、抛物线（斜率相关较简单）.一、考点1：位置关系的判定（基础必考点）1.基础知识点判定核心逻辑：通过“直线方程与圆锥曲线方程联立→消去一个变量（如）→得到整式方程（一元一次/一元二次）→分析方程解的个数”判断位置关系.三类整式方程处理：一元一次方程（如联立后得，）：1个解→直线与曲线相交（特殊：双曲线中可能是与渐近线平行）.一元二次方程（，）：通过判别式判断解的个数.无实数解的整式方程：直线与曲线相离.特殊场景：直线斜率不存在（垂直轴，方程为）：直接代入曲线方程，看的解是否存在及个数.双曲线（如）：直线与渐近线（）平行时，联立得一元一次方程，仅有1个交点（仍属相交，非相切）.2.核心概念与公式判别式公式（仅一元二次方程）：：2个不同实数解→直线与曲线相交.：1个实数解（重根）→直线与曲线相切.：无实数解→直线与曲线相离.双曲线渐近线方程（标准式）：的渐近线为；的渐近线为.3.易错点联立方程后未先判断整式方程类型（一元一次/二次），直接用判别式（如直线与双曲线渐近线平行时，得一元一次方程，无判别式，易误判为“无交点”或“相切”）.忽略直线斜率不存在的情况（如判断“与椭圆的位置关系”，易漏代入直接用斜率分析，导致错判）.计算判别式时符号错误（如展开时，误算为，正确应为）.4.常考结论椭圆（，）与直线相交的条件：（联立后化简结果，可直接用）.抛物线（，）与直线相切的条件：（联立后化简结果）.双曲线（）与直线有两个交点的条件：且（排除与渐近线平行的情况）.二、考点2：弦长问题（高频解答考点）1.基础知识点弦长定义：直线与曲线相交，两个交点间的线段长度.核心计算思路：方法1：先求两交点坐标、，再用距离公式（计算量大，少用）.方法2：联立方程得一元二次方程，用韦达定理和判别式简化计算（通用方法，必掌握）.焦点弦特殊情况：过圆锥曲线焦点的弦（如抛物线的焦点，椭圆的右焦点），有专属简化公式.2.核心概念与公式通用弦长公式（直线斜率为，联立后一元二次方程，）：推导依据：，.公式：.若直线斜率不存在（）：弦长（代入曲线方程得的两个解，作差取绝对值）.抛物线焦点弦公式（，）：若焦点弦端点为、，则.若焦点弦斜率为，则（垂直轴时不存在，弦长，即通径）.韦达定理公式：，（用于计算，避免求交点）.3.易错点计算弦长前未验证（弦长存在的前提是直线与曲线相交，无交点则无弦长，步骤不写会扣分）.混淆“直线斜率存在/不存在”的公式（如直线与抛物线的弦长，误代入公式，正确应为直接求）.抛物线焦点弦公式记错开口方向（如（）的焦点弦长，误用，正确应为）.根号内计算错误（如，误算为，漏乘5到）.4.常考结论椭圆（）的通径（垂直长轴的焦点弦）长度：（常考最短焦点弦）.抛物线的焦点弦性质：，（可快速计算焦点弦长或斜率）.直线过定点与椭圆相交，弦长最大值为椭圆长轴长（当直线过椭圆中心时）.三、考点3：中点弦问题（中频考点）1.基础知识点中点弦定义：过某点且以该点为中点的圆锥曲线的弦（如“以为中点的椭圆弦”）.两种核心求解方法：方法1：联立方程+韦达定理（普适性强，适用于所有曲线）步骤：设直线方程（如）→联立曲线方程→得一元二次方程→用韦达定理→解出→得直线方程.方法2：点差法（计算量小，适用于椭圆、双曲线、抛物线，需验证）步骤：设弦端点、，中点→代入曲线方程→两式相减→用，和→推导与的关系→得直线方程.关键验证：点差法求出直线后，需联立曲线方程验证（避免“不存在的弦”，如中点在椭圆外时无弦）.2.核心概念与公式点差法推导的斜率公式（核心）：椭圆：中点弦斜率（为中点，）.双曲线：中点弦斜率（）.抛物线：中点弦斜率（，为中点）.韦达定理与中点关系：，（为联立后一元二次方程二次项系数，为一次项系数）.3.易错点点差法求出直线后，未验证（如“求以为中点的椭圆的弦”，用点差法得直线，但代入椭圆无解，实际无此弦，漏验证会错答）.忽略中点在曲线内部的隐含条件：椭圆中点弦：中点需满足（在椭圆内部），否则无弦.抛物线中点弦：中点需满足（在抛物线内部）.点差法中分母为0的情况（如中点，椭圆点差法斜率公式分母，此时直线垂直轴，需单独设求解）.4.常考结论椭圆中，若中点弦过原点，则弦为椭圆直径，此时弦的斜率与端点坐标满足（为弦的一个端点坐标），且弦长最大值为（长轴）.抛物线（）的中点弦：若弦过定点，则中点满足（推导自点差法，可直接用于求中点轨迹方程）.双曲线中点弦不存在的特殊情况：当中点与原点连线的斜率（即平行于渐近线）时，无满足条件的中点弦.四、考点4：定点/定值问题（压轴高频考点）1.基础知识点定点定义：直线或曲线在参数（如斜率、截距）变化时，始终经过的固定点（坐标与参数无关）.定值定义：含变量（如交点坐标、直线斜率）的表达式，其值始终为常数（与变量无关）.核心处理思路：定点问题：设含参数的方程（如直线，其中与存在关联）→整理为“参数×+=0”的形式→令且，解方程组得定点坐标.定值问题：设变量（如直线斜率、交点横坐标）→用韦达定理或曲线方程化简目标表达式→消去变量，证明结果为常数.常用辅助技巧：特殊值法（先取2个特殊参数值，求对应直线/曲线的交点，即为疑似定点；定值可先算特殊情况的值，再证明一般情况）.2.核心概念与公式参数分离通用形式（以直线含参数为例）：若直线方程整理为，则定点满足.示例：直线可整理为，定点为.定值化简常用公式：韦达定理：，（联立后一元二次方程）.椭圆/抛物线方程代入：如椭圆上点满足，可用于替换化简.向量相关定值转化：若涉及（为原点），则，可结合韦达定理化简为定值.3.易错点参数分离不彻底（如直线，误整理为，未消去分母，正确应为，再按和分离参数）.特殊值法仅取1个特殊情况（如仅取求直线，无法确定定点，需取和，求两直线交点）.定值化简时忽略曲线方程代入（如椭圆中未用替换，导致无法消去变量）.忘记验证“一般情况”（特殊值法求出定点/定值后，需证明对任意参数/变量均成立，否则步骤不完整）.4.常考结论椭圆中，过定点的直线与椭圆交于两点，若（定点在椭圆上），则直线恒过定点（即定点本身）.抛物线（）的焦点弦：（定值，与焦点弦斜率无关）.椭圆中，若在椭圆上且（为原点），则原点到直线的距离（定值）.五、考点5：最值/范围问题（选考压轴考点）1.基础知识点常见类型：长度最值：椭圆/双曲线上一点到定直线的距离最值、过定点的直线与曲线相交的弦长最值.面积范围：以曲线弦为底、定点为顶点的三角形面积范围（如，为原点）、曲线内接四边形面积范围.参数范围：直线斜率/截距的取值范围（如直线与曲线有交点时）、曲线交点横/纵坐标的范围.核心求解方法：函数法：设变量（如点的横坐标、直线斜率）→将目标量（如距离、面积）表示为变量的函数→求函数在定义域内的最值/范围.不等式法：用基本不等式（，）或二次不等式（判别式）求范围.几何法：数形结合，利用曲线几何性质（如椭圆的范围、）或圆的半径/距离性质.2.核心概念与公式长度最值相关公式：点到直线的距离：（椭圆上点到定直线的距离最值，可设点坐标为椭圆参数形式，，转化为三角函数最值）.弦长公式：（弦长最值可结合判别式或函数单调性求解）.面积范围相关公式：三角形面积：（底为弦长，高为定点到直线的距离）.（，）面积：（避免求距离，直接用坐标计算）.函数最值公式：二次函数（）在上的最值：若对称轴，则最值在顶点或端点；若对称轴不在区间内，最值在端点.3.易错点函数法中忽略变量定义域（如椭圆上点的横坐标，求二次函数的最值时，误按全体实数求顶点最值，未结合的范围）.基本不等式应用不满足“三相等”条件（如求的最大值，误直接用，但未验证即是否在定义域内）.几何法中误解最值的几何意义（如椭圆上点到定点的距离最值，误认为是定点到椭圆中心的距离加减半径，正确应为结合椭圆参数方程或函数法求解）.面积范围计算时漏乘系数（如面积公式误写为，遗漏）.4.常考结论椭圆上一点到定直线的最短距离：（当直线与椭圆相离时，若相交则最短距离为0）.过椭圆中心的弦（直径）为底时，椭圆内接三角形面积最大值：（高最大为短半轴或长半轴，取决于底的方向）.抛物线（）上一点到定点的距离最小值：当时，最小值为；当时，最小值为.六、考点6：综合应用（辅助考点）1.基础知识点向量与圆锥曲线结合：通过向量条件（垂直、共线、数量积定值）转化为代数关系，结合弦长、中点弦等考点求解.斜率与圆锥曲线结合：利用斜率乘积/和为定值的条件，推导直线过定点或弦的性质.核心转化逻辑：将几何条件（向量、斜率）转化为代数等式→联立曲线方程→用韦达定理或基础考点方法（如弦长、中点弦）求解.2.核心概念与公式向量条件转化公式：向量垂直：.向量共线：（为实数）且.向量数量积定值：（为常数）.斜率相关转化公式：斜率乘积定值：（为常数）.斜率和定值：（为常数）.3.易错点向量垂直转化错误（如误写为，正确应为）.斜率计算忽略“分母为0”的情况（如时，不存在，需单独讨论在轴上的情况）.综合题中思路混乱（未拆解考点，如“向量垂直+弦长”问题，应先转化向量条件得，再结合韦达定理求弦长，分步求解）.代入曲线方程时符号错误（如双曲线方程，代入点坐标时误写为，导致后续计算全错）.4.常考结论椭圆中，若（为原点），则弦长的最小值为，最大值为（长轴）.抛物线（）中，若直线过定点且，则（定点为抛物线的准线与轴交点的对称点）.双曲线中，若（渐近线斜率平方），则直线恒过原点.题型一直接判定直线与曲线的位置关系（选择/填空/解答第一问，基础必考）解｜题｜技｜巧1.联立方程：设直线方程（如，若斜率可能不存在，需单独讨论）与圆锥曲线方程，消去（或）得整式方程（或）.2.判断方程类型：若为一元一次方程（二次项系数为0）：→有1个解→相交（双曲线中需注明“与渐近线平行”）.若为一元二次方程（二次项系数）：→计算判别式（为方程的系数）.3.下结论：→相交；→相切；→相离.4.特殊情况补充：若直线斜率不存在（如），直接代入曲线方程得的解，解的个数对应位置关系.【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由；【典例2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线.(1)若双曲线的离心率为，求的值；(2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.【变式1】（24-25高二上·内蒙古兴安盟·月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于两点，．(1)求的值；(2)求直线与C的公共点个数.【变式2】（2024·上海闵行·一模）已知圆，双曲线，直线，其中．(1)当时，求双曲线的离心率；(2)若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.(1)求的方程；(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；题型二求直线与曲线有交点时参数（斜率/截距）的范围（解答第一问，基础必考）答｜题｜模｜板1.设参数：设直线参数（如斜率、截距），写出直线方程（斜率不存在时单独讨论）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（，否则无两个交点）.3.列不等式：由“有交点”得（相交2个点用，相切1个点用），代入整理不等式.4.求解范围：解不等式得参数范围，若有特殊情况（如双曲线需排除与渐近线平行的斜率），补充排除条件.5.综上：写出参数的最终取值范围.【典例1】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线.(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围；【典例2】（2025高二上·全国·专题练习）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且．(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）．（i）求m的取值范围；【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点.(1)若离心率时，求的值；(2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值；【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.(1)求椭圆的离心率；(2)直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知圆C1：，圆C2：，动圆M与圆C2外切，同时与圆C1内切，(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)若直线l：与C有且只有一个公共点，求m的值.题型三求通用弦长（直线与椭圆/双曲线/抛物线相交的弦长，解答第二问，高频）答｜题｜模｜板1.前置判定：先联立直线与曲线方程，验证（确保弦存在，步骤必写，避免扣分）.2.用韦达定理：设弦端点、，由一元二次方程得：，，计算.3.代弦长公式：若直线斜率存在：.若直线斜率不存在（）：（代入曲线方程得，作差取绝对值）.4.计算结果：代入数据化简，得弦长具体数值或含参数的表达式.【典例1】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线．(1)求曲线的方程；(2)直线与曲线交于，两点，求线段的长．【典例2】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：.(1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值；(2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求.【变式1】（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的方程；(2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求．【变式2】（25-26高二上·上海松江·期中）已知双曲线的离心率为为上一点．(1)求的方程；(2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度.【变式3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆：的焦距为2，离心率为.(1)求出椭圆的标准方程，并写出椭圆的横坐标和纵坐标的取值范围、顶点坐标、长轴与短轴的长度.(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长；题型四求抛物线焦点弦长（解答第二问，高频，结合焦点性质）答｜题｜模｜板1.确定抛物线与焦点：明确抛物线方程（如，焦点），判断直线是否过焦点.2.选公式：已知端点坐标：用（或，若抛物线开口向上/向下）.已知直线斜率：用（垂直轴时不存在，弦长）.3.补全计算：若未知或，联立焦点弦方程与抛物线方程，用韦达定理求，再代入公式.4.得结果：化简计算，写出焦点弦长.【典例1】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上的动点到直线距离的最小值为.(1)求的值；(2)过焦点的直线与交于两点，若，试说明直线与的位置关系.【典例2】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求的最小值．【变式1】（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若直线的倾斜角为45°，求.【变式2】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于两点，若，求直线的倾斜角.题型五已知直线求弦的中点坐标（选择/填空，中频）答｜题｜模｜板1.设直线方程：已知直线斜率或截距，写出直线方程（如）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，验证.3.用韦达定理求中点横坐标：.4.求中点纵坐标：将代入直线方程，得.5.写中点：最终中点坐标为.【典例1】（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标．【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，离心率为．(1)求的方程．(2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程．【变式1】（2025高三·全国·专题练习）求直线被抛物线截得线段的中点坐标．【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；【变式3】（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为.(1)求的离心率；(2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.题型六已知中点求弦所在直线方程（解答第一问，中频）答｜题｜模｜板1.设点：设弦端点、，中点（已知条件给出）.2.代入曲线：将代入圆锥曲线方程，得两个等式：椭圆：，；抛物线：，.3.作差推导斜率：两式相减，整理得：椭圆：，代入，，，得（椭圆）；抛物线：（抛物线）.4.写直线方程：用点斜式，整理为一般式.5.验证：联立直线与曲线方程，计算，确认弦存在（若，说明无此弦）.【典例1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知是曲线上的动点，且动点与定点的距离和到直线的距离的比是常数．(1)求曲线的轨迹方程；(2)若过点的直线和曲线相交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程．【典例2】（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点．(1)求双曲线的方程；(2)若的中点为，求直线的方程．【变式1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程；(2)若直线交抛物线于，两点，且点是弦的中点，求直线的方程.【变式2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于点，且点是线段的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程．题型七求直线斜率的取值范围答｜题｜模｜板1.设直线方程：设直线为（已知或与有关）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程（）.3.列不等式：由“直线与曲线有交点”（或题目条件，如“弦长≥2”）得（或对应不等式），代入，整理为关于的不等式.4.解不等式：求解一元二次不等式（或分式不等式），得的取值范围.5.补充特殊情况：若直线斜率不存在时符合条件，需加入范围【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．(1)求椭圆E的方程．(2)直线与椭圆E相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于点的点M，N，使得点O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．【典例2】（24-25高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点．(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围．【变式1】（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，求该直线斜率的取值范围.【变式2】（2025·福建厦门·三模）焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、.(1)求双曲线的方程；(2)若线段的中垂线与轴交于点，求直线的斜率；(3)若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围.【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知，为双曲线：的左、右焦点，在抛物线的准线上，且点在的一条渐近线上．(1)求的方程；(2)过点的直线与的右支交于，两点，若，求直线斜率的取值范围．题型八求椭圆/双曲线/抛物线上一点到定直线的距离最值（解答压轴问，选考）答｜题｜模｜板1.设参数坐标：用椭圆参数方程设点，如椭圆上一点为（为参数）.2.写距离公式：代入点到直线距离公式，得： .3.化简三角函数：将分子整理为（其中，为辅助角）.4.求最值：利用，得：最大值：；最小值：（若直线与椭圆相离，最小值为）.【典例1】（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点P到直线l的距离的最小值为．【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为.【变式1】（24-25高二下·浙江·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为．【变式2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（

）A． B． C．2 D．题型九求的面积范围（解答压轴问）答｜题｜模｜板1.设直线方程：设直线为（斜率不存在时单独讨论），联立与曲线方程，验证.2.求弦长与高：弦长；原点到直线的距离.3.写面积表达式：.4.转化为单变量函数：利用联立方程中与的关系（如椭圆中），消去一个变量（如），得关于的函数.5.求范围：根据变量定义域（如），结合二次函数或基本不等式求的取值范围.【典例1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于A、B两点，求（为原点）面积的最大值.【典例2】（2025·山东济南·一模）已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，.(1)求的方程；(2)过点作直线的垂线，垂足为.①证明：直线过定点；②求面积的最小值.【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.(1)求的渐近线方程：(2)求面积S的最小值：(3)证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.【变式2】（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．【变式3】（25-26高二上·广西柳州·期中）已知椭圆离心率为，过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程．题型十证明表达式为定值（解答压轴问，高频）答｜题｜模｜板1.设变量：设目标表达式中的变量（如直线斜率、交点坐标），写出目标表达式（如）.2.联立消元：联立直线与曲线方程，得一元二次方程，用韦达定理得，.3.化简目标表达式：将、（或曲线方程）代入目标表达式，如：.4.消去变量：展开并代入韦达定理结果，化简后消去、等变量，得到常数（如）.5.下结论：说明表达式的值与变量无关，即为定值.【典例1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和．(1)求椭圆的标准方程；(2)当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值；(3)若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值．【典例2】（25-26高三上·湖南·期中）已知椭圆的离心率为，上､下顶点分别为，且.（1）求的方程.（2）是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为.（i）求点的坐标（用表示）；（ii）证明：为定值.【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点.(1)求双曲线的方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值.【变式2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点为双曲线的左右顶点，为双曲线上异于的点，求的值；(3)点在双曲线上，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值.【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点.（i）当时，求；（ii）求点与点的纵坐标的比值.题型十一证明直线/曲线过定点（解答压轴问，高频）答｜题｜模｜板1.设含参方程：设直线方程（如，其中与有关联，或设参数的直线方程）.2.联立化简：联立直线与曲线方程，利用韦达定理或曲线性质，推导与的关系（如）.3.参数分离：将直线方程整理为“参数×表达式1+表达式2=0”，如整理为.4.求定点：令两个表达式均为0，解方程组：，得定点.5.验证：取2个特殊参数值（如、），求对应直线的交点（如时直线为，时直线为，交点为），与步骤4求得的定点一致，证明直线恒过该定点.【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；(3)若，求证：直线过定点.【典例2】（25-26高二上·河南·期中）已知双曲线经过两点，其左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于两点.(1)求的方程；(2)若的周长为，求直线的方程；(3)记点，直线与的左支分别交于点，证明：直线过定点.【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4．(1)求抛物线的方程；(2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为，（i）求证：；（ii）求证：直线过定点．【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由.【变式3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧．①求直线斜率的取值范围；②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点．题型十二向量垂直（）结合弦长/面积（解答综合问，高频）答｜题｜模｜板1.转化向量条件：由得核心等式（必写推导依据：向量垂直则数量积为0）.2.联立与韦达：设直线方程为（斜率不存在时单独讨论），联立与圆锥曲线方程（如椭圆），得一元二次方程，验证（确保交点存在），由韦达定理得：，.3.代入向量等式化简：将、代入，展开整理：→，代入韦达定理结果，得到与的关系式（如，椭圆场景）.4.结合目标考点计算：若求弦长：代入通用弦长公式，将步骤3中与的关系代入，化简得弦长（可能为定值或含参数表达式）.若求面积：先求原点到直线的距离，再用面积公式，代入和的表达式，结合与的关系化简（常为定值或可求范围）.5.补充特殊情况：若直线斜率不存在（），代入曲线方程得，由得，结合曲线方程求解，验证是否符合条件，避免漏解.6.总结结果：写出弦长或面积的最终值（或范围），明确是否需舍去不符合的情况.【典例1】（2025高三·全国·专题练习）设为坐标原点，若椭圆与直线交于两点，且，圆过点．(1)求的方程及圆的半径；(2)若点在上，且，判断直线与圆的位置关系，并说明理由．【典例2】（24-25高二上·辽宁·月考）“对号函数”的图象也可以看成是以与为渐近线的双曲线.设函数，若将其图象看成双曲线.(1)求双曲线的焦点坐标；(2)将双曲线绕着坐标原点O顺时针旋转，使焦点落到x轴上，得到双曲线，设双曲线的右焦点为F，过F的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，当时，求直线l的方程.【变式1】（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程(2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.(1)求椭圆的方程；(2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积.【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点．(1)求的标准方程；(2)若的斜率为，且，求的值；题型十三斜率乘积/和为定值结合定点（解答压轴综合问，中频）答｜题｜模｜板1.明确斜率条件：设题目给出的斜率定值（如，为常数，椭圆中常为），转化为代数等式：→.2.设直线方程：设直线的方程为（或斜截式，避免讨论斜率不存在），联立与曲线方程得一元二次方程（或），验证，得韦达定理结果.3.代入斜率等式化简：将、（或、）代入，展开后代入韦达定理，整理得参数关系（如，为常数）.4.分析定点/定值：若证直线过定点：将参数关系代入直线方程，整理为“参数×表达式1+表达式2=0”（如），令表达式1和2为0，解得定点（如）.若证其他定值：结合步骤3的参数关系，代入目标表达式（如、，为定点），化简得常数.5.验证特殊情况：当直线斜率为0（或垂直x轴）时，代入验证是否符合结论，确保通用性.6.下结论：明确直线过定点或表达式为定值，完整书写解题结果.【典例1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知椭圆，点P为C的上顶点．(1)求椭圆C的离心率；(2)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．【典例2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上．(1)求C的方程．(2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，．（ⅰ）证明：为定值．（ii）证明：直线恒过定点．【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且过点.设A，B分别是C的左、右顶点，M，N是C的右支上异于点B的两点.(1)求C的方程；(2)设直线AM，BN的斜率分别为，，若，求证：直线MN恒过定点.【变式2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点，是平面上一动点，以为直径的圆与轴相切，设动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的轨迹方程；(2)已知点，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标．【变式3】（25-26高三上·湖北·期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点.(1)设直线、的斜率分别为、，求的值；(2)求证：直线过定点；(3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率.期末基础通关练（测试时间：45分钟）一、解答题1．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知双曲线C的方程为实轴长和离心率均为2．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点，求的值．2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.(1)求椭圆的离心率；(2)直线：与椭圆交于不同的两点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.4．（25-26高二上·安徽·期中）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于A，B两点.(1)求的方程；(2)设直线与的斜率分别为，，.①证明：直线的斜率为定值；②若的面积为6，求所在直线方程.5．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.6．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为.(1)求C的方程；(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.线的渐近线相同，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.8．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.(1)求的标准方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.期末重难突破练（测试时间：120分钟）一、解答题1．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得.(1)求抛物线C的方程；(2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程.2．（25-26高二上·天津·期末）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆的方程和离心率；(2)设为椭圆的右顶点，若直线与椭圆有唯一的公共点(在第一象限)，直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点(为原点)，且，求直线的方程.3．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的上顶点为，四个顶点组成的四边形面积为.(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标4．（25-26高三上·河北承德·期中）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点，求的取值范围;(3)若点在椭圆上，点在直线上，且(O为坐标原点)，判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.5．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且．(1)求E的方程；(2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点．6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的焦距为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为.是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.7．（25-26高二上·新疆克拉玛依·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，并且过．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时的直线方程．8．（25-