专题3.3 椭圆双曲线的离心率问题（期末复习讲义）原卷版

1/3专题3.3椭圆双曲线的离心率问题（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律利用a,b,c的齐次式求离心率根据题目条件构造齐次式求离心率基础必考点，常出现在小题中利用椭圆双曲线的几何性质求离心率掌握椭圆的几何性质并转化为可列出的条件来求离心率基础必考点，常出现在小题中根据解三角形的方法求离心率掌握解三角形方法并使用在圆锥曲线的三角形内。高频必考点，常出现在小题中根据双曲线的渐近线性质求离心率掌握双曲线的渐近线的一些性质。高频必考点，双曲线有关的小题中，渐近线是很容易考察的知识点。求离心率的范围掌握圆锥曲线中的一些限制范围，如焦半径，点坐标，焦点三角形顶角等，根据限制条件列出不等式。高频必考点，常出现在小题中知识点01利用a，b，c的齐次式求离心率将题目中几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）转化为一个只包含基础量

a,b,c

的齐次式方程。由于离心率

e=ca，且圆锥曲线中a,b,c

存在固有关系（椭圆：c2知识点02利用椭圆双曲线的几何性质求离心率1、对称性：充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于

a,b,c

的方程。2、当题目条件中出现

“中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于

a,c

的等量关系。3、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。知识点03根据解三角形的方法求离心率在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。利用余弦定理利用正弦定理利用面积公式知识点04根据双曲线的渐近线性质求离心率双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为a,b,c2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为P(a,b知识点05求离心率的范围要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有：1、焦半径的取值范围2、圆锥曲线上的坐标的取值范围3、焦点三角形的顶角的取值范围4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。题型一利用a,b,c的齐次式求离心率解｜题｜技｜巧由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；【典例1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·广东阳江·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·江西吉安·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为．题型二利用对称性求离心率解｜题｜技｜巧充分利用椭圆、双曲线关于x轴、y轴和原点对称的几何特性来转化关系。【典例1】（24-25高二上·福建莆田·期末）设椭圆的左焦点为，过原点的直线交椭圆于M、N两点，.且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:-=1（a>0，b>0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上.若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．+1【变式1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·广东茂名·期末）设双曲线的左，右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为.题型三构造中位线求离心率解｜题｜技｜巧遇到中点或者角分线时，可以考虑需不需要构造中位线来解决问题。【典例1】（25-26高二上·江苏常州·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【变式1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二下·云南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．题型四顶角为直角求离心率解｜题｜技｜巧当顶角为直角时，也是常考的一种焦点三角形的类型，这是多次使用勾股定理来解决问题。【典例1】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河南信阳·期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于，，若，设双曲线的离心率为，则．【变式1】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上一点，线段与C的左支交于点M.若，且，则C的离心率为.题型五利用余弦定理求离心率解｜题｜技｜巧根据题目条件一次或多次使用余弦定理，列出a，b，c的关系，从而求出离心率【典例1】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·福建三明·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质．光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点．已知点、是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N．若点、N关于的角平分线对称，且，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·重庆·期末）如图：，是双曲线的左右焦点，以为圆心的圆与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A． B． C． D．题型六利用正弦定理求离心率解｜题｜技｜巧题目中如果有角度关系，三角形的两边比值时，可以考虑用正弦定理构a，b，c的关系，从而求出离心率。【典例1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是.【典例2】（24-25高二下·浙江温州·期末）如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于．【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线以为焦点，且与椭圆在第一象限相交于点，记，若，则椭圆的离心率取值范围是．【变式2】（多选）（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，已知椭圆C：，其左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分过点作l的垂线，垂足为N，延长、交于点Q，若，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．椭圆C的离心率为D．题型七由双曲线的渐近线性质求离心率解｜题｜技｜巧双曲线的渐近线有很多的二级结论，这里题型偏基础一些渐近线性质。【典例1】（24-25高二下·云南临沧·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为.【典例2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，垂线与另一条渐近线相交于点.若点是线段的中点，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．题型八求离心率的范围解｜题｜技｜巧根据题目条件以及圆锥曲线的一些限制条件来构造离心率的不等式，从而求离心率的范围。【典例1】（24-25高二上·陕西汉中·期末）椭圆E:的左、右焦点分别为，若椭圆E上恰有4个不同的点P，使得为直角，则E的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知双曲线：的右焦点为，焦距为，点的坐标为．若在双曲线的右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率取值范围是．【变式1】（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线（，）的右焦点为，若在圆上存在点P，使得的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是.【变式2】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为．2．（24-25高二上·广东广州·期末）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为.3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．5．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26高三上·陕西西安·月考）设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点满足，直线和直线分别与椭圆交于异于点的点和点，若，则椭圆的离心率为.2.（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆，设，若上存在3个不同的点使得，则的离心率的取值范围为．3．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知椭圆的左，右顶点分别为，抛物线与交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为．4．（24-25高二上·浙江宁波·期末）椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左、右焦点为，，P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若时，（O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.5．（多选）（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（

）A． B．C．，C的离心率为 D．四边形的面积为期末综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（24-25高三下·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，点满足，且，则双曲线的离心率为.2．（多选）（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H且l与双曲线右支相交于点P，若且．则下列说法正确的是（

）．A．双曲线的实轴长为4 B．双曲线的离心率为C．四边形的面积为15 D．3．（24-25高二上·湖