专题3.4 圆锥曲线二级结论小题归纳（期末复习讲义）原卷版

1/3专题3.4圆锥曲线二级结论小题归纳（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律焦半径、焦点弦掌握焦半径的坐标式、角度式公式，焦点弦长、定比模型重难必考点，常出现在小题压轴。焦点三角形面积、周长掌握椭圆双曲线焦点三角形的面积公式、周长公式。高频必考点，常出现在小题，熟练公式，会推导会用。垂径定理与第三定义掌握点差法推导垂径定理与第三定义。高频必考点，常出现在小题。椭圆与双曲线公焦点掌握椭圆双曲线共焦的性质。重难必考点，常出现在小题。焦点三角形的内切圆与外接圆掌握椭圆双曲线焦点三角形的内切圆与外接圆的性质重难必考点，常出现在压轴小题。双曲线的渐近线掌握双曲线的渐近线一些常考的结论性质。高频必考点，考双曲线就离不开渐近线的性质。阿基米德三角形掌握阿基米德三角形的结论、性质。重难必考点，考抛物线的多选题蒙日圆掌握蒙日圆相关的结论。重难点，常出现在小题知识点01焦半径、焦点弦1、椭圆焦半径设为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO=θ焦半径坐标式①焦点在轴：焦半径(左加右减)；②

焦点在轴：焦半径(上加下减)．焦半径角度公式：PF2、双曲线焦半径设为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO=θ①焦点在轴：在左支，在右支；②焦点在轴：在下支，在上支．焦半径角度公式：PF=3、抛物线焦半径设为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO=θ①焦点在轴：焦半径PF=x②

焦点在轴：焦半径PF=y焦半径角度公式PF4、定比模型椭圆、双曲线的过焦点的弦AB倾斜角为α，斜率为k，若焦点分得AF|BF|=λ，则e知识点02焦点三角形的周长与面积1、椭圆面积椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则，PF1 PF2、双曲线的面积双曲线的焦点为F1、F2，P为双曲线上的点，∠F1S3、若P(x知识点03垂径定理与第三定义椭圆的垂径定理与第三定义已知直线l与椭圆E:x2a2+y2b已知A，B为椭圆E:x2双曲线的垂径定理与第三定义已知直线l与双曲线E:x2a2−y2b2=1如图，已知A，B为双曲线E:x另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有k知识点04椭圆与双曲线共焦点椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2，P是它们的一个公共点，设∠1、由△F1PF2、根据e12=c2知识点05焦点三角形的内切圆与外接圆椭圆的焦点三角形内切圆点P(x0,y0)为椭圆C:x2结论一、e=IM结论二、有xI=e双曲线的焦点三角形内切圆结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为a知识点06双曲线的渐近线双曲线渐近线的一些性质：双曲线的焦点到渐近线的距离为b.以两焦点F1F2过双曲线上点P作两渐近线的平行线PA，PB，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值ab过双曲线上点P作两渐近线的垂线PA，PB，则有PAPB=过双曲线上点P作双曲线的切线交两渐近线于A、B两点，则△AOB为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，OA∙知识点07阿基米德三角形阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF性质2：MN//x轴；性质3：S2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点Cx0,y0，则点P的轨迹为直线y0y=p半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则xp=性质3、若P点轨迹为直线ax+by+c=0，且该直线与抛物线没有公共点，则定点Cc设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为a3性质5、∠PFA=∠PFB，PF²=AF×BF知识点08蒙日圆蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论：1、椭圆的蒙日圆：x²+y²=a²+b²2、双曲线的蒙日圆：x²+y²=a²−b²题型一焦半径、焦点弦解｜题｜技｜巧焦半径、焦点弦的角度式公式均由圆锥曲线的第二定义推导而来，即圆锥曲线上的点到焦点跟到准线的距离比等于离心率e。熟悉角度式公式，要会推导，能应用。【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（24-25高二上·吉林·期末）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（

）A．抛物线C的准线方程为 B．C． D．【变式1】（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是．题型二焦点三角形的周长与面积解｜题｜技｜巧熟记焦点三角形的周长公式、面积公式【典例1】（多选）（24-25高二上·四川达州·期末）已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围是B．当焦距为4时，离心率为C．当离心率为时，的周长为D．当长轴长为时，的面积最大值为4【典例2】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是B．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3C．若，则的面积等于D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．存在点使得C．若，则 D．面积的最大值为12【变式2】（多选）（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为16 B．面积的最大值为12C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为题型三垂径定理与第三定义解｜题｜技｜巧遇到弦的中点或者两个关于原点对称的点时，又跟斜率一起出现，可以考虑使用垂径定理与第三定义的结论。【典例1】（多选）（24-25高二上·四川内江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（

）A．当时，四边形的周长为定值8B．当为直角三角形时，C．当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为D．当直线与的斜率之差为2时，【典例2】（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（

）A．双曲线方程为 B．双曲线的离心率C． D．过定点【变式1】（24-25高二上·河南·月考）如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为．【变式2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（

）A． B． C．1 D．3故选：BCD题型四椭圆与双曲线共焦点解｜题｜技｜巧椭圆与双曲线共焦点，则焦距一致，且焦点三角形一致。【典例1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·重庆·期末）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（

）A． B．1 C． D．2【变式1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P、Q是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为【变式2】（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．的最小值为1D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点题型五焦点三角形的内切圆与外接圆解｜题｜技｜巧圆与三角形切点分得三角形边长关系，找内切圆圆心的位置。内切圆的圆心是三角形角分线的交点，再者可以考察角分线定理。还可以通过面积公式，算内切圆的半径。【典例1】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为．【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1】（多选）（24-25高二上·河北保定·期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（

）A．椭圆C的离心率B．的取值范围为C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则D．点I的轨迹方程为【变式2】（多选）（24-25高三上·山东泰安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（

）A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为B．若，且，则双曲线的离心率为C．若，，则的取值范围是D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为题型六双曲线的渐近线解｜题｜技｜巧对双曲线而言，考察的最多的就是渐近线的性质。所以要熟练掌握双曲线的常考的一些性质。【典例1】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（

）A． B．2 C．4 D．8【典例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为．【变式1】（25-26高二上·安徽·月考）过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为.题型七阿基米德三角形解｜题｜技｜巧阿基米德三角形是抛物线小题中重难考点，指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。配合切线方程及三角形的一些性质。【典例1】（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．三角形ABC面积的最小值为4 D．的最小值为【典例2】（多选）（25-26高二上·江西九江·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（

）A．焦点到抛物线的准线的距离为4B．C．若的中点的纵坐标为4，则D．若，则【变式1】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知抛物线C：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，O为坐标原点，分别过点A，B作抛物线C的切线，交于点M，且与x轴分别交于点D，E，则（

）A．若，则点B．若，则直线恒过定点C．若直线过点，则点M恒在直线上D．若直线过点F，则【变式2】（多选）（25-26高三上·广东湛江·月考）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（

）A．l始终与圆P相离 B．无最值C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3题型八蒙日圆解｜题｜技｜巧以蒙日圆为背景出题，但是题目本质还是考圆锥曲线。记住椭圆双曲线的蒙日圆方程。【典例1】（24-25高二上·福建宁德·期末）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（

）A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14【典例2】（多选）（24-25高二上·广东揭阳·期末）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点．直线的方程为．则下列结论正确的有（

）A．的蒙日圆的方程为B．在直线上存在点，椭圆上存在、，使得C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为．【变式1】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.【变式2】（25-26高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（多选）（25-26高二上·陕西延安·期中）已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．弦长的取值范围为C．面积的最大值为12 D．存在点使得2．（多选）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，、是圆与轴的交点，点为该平面内异于、的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A．若，则曲线的离心率为B．若，则曲线方程为C．若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为D．若，，过原点的直线与曲线交于、两点，则面积最大值为3．（24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（多选）（24-25高三上·河南·期末）已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为4，直线经过交于点，分别过作的切线，且两切线交于点，则（

）A．的方程为B．若，则的中点到轴的距离为10C．是直角三角形D．若的中点为，则直线与轴垂直期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（多选）（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（

）A．存在点P使得B．的周长为C．直线PA与直线PB的斜率乘积为D．的最小值为2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点，分别为，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于，两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为（

）A． B．3 C．6 D．93.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是.4．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为．5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，