专题04 排列组合（考点清单9个考点清单+11类题型解读）（解析版）

专题04排列组合（9个考点清单+11类题型解读）知识点01：两个计数原理1、分类加法：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.2、分步乘法：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.知识点02：排列数、组合数计算1、排列数的计算及性质的应用①（连乘形式）：，，②（阶乘形式），，2、组合数的计算及性质的应用或：（，）.（1）性质1：（2）性质2：知识点03：特殊元素（位置）法【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。知识点04：捆绑法【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.知识点05：插空法【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.知识点06：倍缩法【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.知识点07：排数问题【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.知识点08：分组、分配问题【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．知识点09：涂色问题【一般策略】解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题题型一：两个计数原理 3题型二：排列数与组合数的计算与证明 5题型三：排列问题 8题型四：组合问题 11题型五：特殊元素（位置）法 13题型六：捆绑法 16题型七：插空法 18题型八：倍缩法 19题型九：排数问题 22题型十：分组、分配问题 25题型十一：涂色问题 28【题型一：两个计数原理】一、单选题1．（24-25高二上·全国·随堂练习）从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不对【答案】B【分析】由分类加法计数原理可求结果.【详解】由题意可知，可以乘汽车、火车、轮船三种交通工具，汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，则由分类加法计数原理可得共有种不同走法.故选：B.2．（23-24高二下·河北·阶段练习）从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（

）A． B． C．21 D．210【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理求解.【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种.故选：D3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（

）A．24种 B．10种 C．9种 D．15种【答案】D【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】依题意可知，有两类衣服可选，第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择；第二类：选择连衣裙，共有中选择；所以共有种选择.故选：D4．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（

）12345A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种【答案】C【分析】相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类，再分别计算每一类的方法数，可求得结论.【详解】由题得相邻两块实验田分成1和2；2和3；3和4；4和5四类；第一类在1和2上种植小麦，“1”有7种选择，“2”有6种选择，剩下3块实验田种植水稻，分别有种选择，所以共计种；第二、三、四类和第一类种数相同．综上总计有种方法．故选：C.5．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类;个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解.【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，与百位数一样，只有一种选择，与个位数一样，也只有一种选择;②当个位数为2时，如果百位数为2，则十位数有6种选择，如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:当个位数为4时，如果百位数为4，则十位数有6种选择，如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择综上所述，.故选：B.6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（

）种灯光组合.A． B． C． D．【答案】D【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择；当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种.故选：D【题型二：排列数与组合数的计算与证明】一、解答题1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算：(1)；(2)；(3)已知，求【答案】(1)64；(2)348；(3)7.【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可.（3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得.【详解】（1）.（2）.（3）由，得，即，则，整理得，所以.2．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式．(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】根据题意，结合排列数公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得：．（2）证明：由排列数公式，可得．3．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算：；（2）若，则x的值为_____；（3）若，求正整数n．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得.（2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解.（3）利用组合数的性质化简求解.【详解】（1）.（2）依题意，，则，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】代入阶乘公式，化简证明.【详解】（1）根据组合数公式，可以得到．（2）根据组合数公式，可以得到．5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式；（2）解不等式：.【答案】（1）；（2）【分析】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解，【详解】（1）依题意，有，，由，得，即，整理得，解得，所以，又得，所以的解集为.（2）因为，所以，即，整理得，解得，故，所以不等式解集为.6．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程:（2）计算（3）解不等式.【答案】（1）10；（2）252；（3）或.【分析】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值.【详解】（1）因为所以,又因为，所以，解得.（2）由.（3）因为所以

因为，所以，即，解得，所以，又，所以或.【题型三：排列问题】一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（

）A．48 B．24 C．20 D．16【答案】A【分析】根据捆绑法即可求解.【详解】由相邻问题捆绑法可得,故选：A2．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（

）A．60种 B．80种 C．120种 D．150种【答案】C【分析】由排列的概念求解即可.【详解】甲、乙、丙三名学生每人从6种实践活动中选择1种，3人选择的实践活动不同，则选法共有种．故选：C3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（

）A．432 B．864 C．1728 D．2592【答案】C【分析】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可.【详解】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种；乙队，利用插空法得种；按照计数原理可知，一共种.故选：C4．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（

）A．24 B．26 C．32 D．40【答案】D【分析】按照甲排第一，第二，第三位分类求解．【详解】按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙，丙等四人有（种）；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有（种）；③甲第三，则乙，丙排最后2位；有（种）.故共有（种）.故选：D.5．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法，然后我们把他们捆绑为一个整体，再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法，所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确.故选：D6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．192 B．240 C．360 D．720【答案】A【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得.【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类：第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种，再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法.由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个.故选：A.【题型四：组合问题】一、单选题1．（2024·河北承德·二模）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（

）A．97个 B．91个C．84个 D．75个【答案】C【分析】在中任取3个数，其大小关系确定，故只需任取3个即可，结合组合数运算求解.【详解】在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个.故选：C.2．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（

）个A．44 B．45 C．54 D．55【答案】B【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果.【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字，十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字，为使个位上的数字小于十位上的数字，当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况；当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字，较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有.故满足题意的两位数共有个.故选：B3．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（

）A．70 B．64 C．58 D．24【答案】C【分析】利用平行六面体的性质，结合构成四面体的4个顶点不共面，先求8个顶点任选4个顶点的总数，再去掉4个顶点共面的情况，即为所求平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数.【详解】由题意知：要使平行六面体的顶点为顶点构成四面体，则4个顶点不共面，1、8个顶点任选4个，有种，2、8个顶点任选4个，共面的有12种，∴以平行六面体的顶点为顶点的四面体有个.故选：C4．（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（

）A． B．

C． D．【答案】C【分析】利用分步乘法计数原理直接计算可得结果.【详解】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法，从2，4，6，8中任取两个数有种方法，再把取出的5个数全排列共有种，故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是.故选：C.5．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（

）A．504 B．126 C．112 D．56【答案】D【分析】根据给定条件，利用隔板法列式计算得解.【详解】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分，每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数，所以不同的分配方法的种数为.故选：D6．（24-25高二上·福建龙岩·期中）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取4件进行检验，抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分步乘法计数原理，先抽次品，再抽正品，即可求解.【详解】由题意，8件新产品中有3件次品，件正品，先从3件次品中取出2件次品，有种抽法，再从件正品中取出2件正品，有种抽法，所以抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为.故选：.【题型五：特殊元素（位置）法】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）将字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必须在b的左边，则不同的安排方法种数为（

）A．260 B．300 C．360 D．380【答案】C【分析】先安排a，b，然后排其它字母，由此计算出不同的安排方法.【详解】先安排a，b，方法数有种方法，再安排其他字母，方法数有种，故不同的安排方法有种．故选：C.2．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（

）A．1440种 B．1360种C．1282种 D．1128种【答案】D【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可.【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．则不同的安排方案共有(种)．故选：D．3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．192 B．240 C．360 D．720【答案】A【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得.【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类：第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种，再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法.由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个.故选：A.4．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案.【详解】因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，则此时的分配方法共有种；综上，满足题意的分配方法共有种.故选：C.5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（

）A．44 B．46 C．48 D．54【答案】B【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解.【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有；综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种.解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为种.故选：B.【题型六：捆绑法】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（

）A．6 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】利用相邻问题“捆绑法”列式计算得解.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则两者“捆绑”，所以不同的排列种数为.故选：B2．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】利用捆绑法可求得结果.【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑，则相同科目的书相邻的排法种数为种.故选：C.3．（24-25高三上·山东德州·开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（

）A．48 B．36 C．24 D．12【答案】A【分析】利用捆绑法进行求解.【详解】舞蹈和摄影课进行捆绑，有种情况，将舞蹈和摄影课看为一个整体，和剩余的3个活动，进行全排列，有种情况故共有种方案.故选：A4．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（

）A．288种 B．144种 C．96种 D．72种【答案】B【分析】利用插空法和捆绑法求解即可.【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法；第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法；第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种．故选：B.5．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（

）A．48种 B．40种 C．32种 D．24种【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理，捆绑法，插空法求解即可.【详解】第1步：先将相邻的进行“捆绑”排列，首先排，由题意可将两人看作一个整体，先站到正中间，共有种站法；第2步：将不能相邻的插入合适的位置进行排列，其次再排，因为两人不能相邻，所以只能排到的两侧，若在左侧，则有种站法，此时只能在右侧，有种站法，共种站法，同理在的右侧，在左侧，有种站法，故共有8种站法；第3步：将剩下的进行排列并计算所求，剩下的有种站法，所以不同的站法共有种．故选：C.【题型七：插空法】一、单选题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（

）A．480 B．720 C．960 D．1440【答案】C【分析】可以采用捆绑法以及插空法进行求解.【详解】乙两人相邻，可以采用捆绑法有种排法，然后它们不排在两端可以采用插空法有种排法，所以不同的排法种数是.故选：C.2．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（

）A．120种 B．24种 C．36种 D．12种【答案】D【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案.【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择，3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择，则同色棋子不相邻的排列方式有种.故选：D3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】B【分析】利用不相邻问题插空法即可求解.【详解】先对剩下两个人进行全排列，有种，此时有3个空位置，再对甲、乙两人进行排列，有种，根据分步乘法计数原理，共有种排法．故选：B4．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（

）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】C【分析】讨论2与两个4的位置，结合组合公式得出答案.【详解】当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，共有种；由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种；当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，共有种；综上，共有10种；故选：C5．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（

）A．21 B．35 C．70 D．126【答案】A【分析】先将保留的盏灯排成一排，进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），不需考虑灯的差异，故利用组合数计算可得.【详解】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的盏灯排成一排，进而在盏灯形成的个空位中的个空中插入盏灯（即为关掉的灯），所以共有（种）不同的关灯方式．故选：A．【题型八：倍缩法】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（

）A．6种 B．12种 C．18种 D．36种【答案】B【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.故选：B.2．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（

）A．15 B．18 C．22 D．26【答案】D【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得.【详解】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种；而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是.故选：D3．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（

）A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519种【答案】B【分析】7个字母中有3个字母是重复的，所以共有种排法，可解问题.【详解】7个字母的全排列有种，因为有3个字母是重复的，所以共有种排法，除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种.故选：B.4．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（

）A．240种 B．188种 C．144种 D．120种【答案】D【分析】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案.【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种．故选：D.5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（

）A．350 B．140 C．560 D．280【答案】C【分析】由排列数的计算，结合定序问题倍缩法，代入计算，即可求解.【详解】将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为，问题等价于8只气球排列，其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球，则有种.故选：C【题型九：排数问题】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知0，1，2，3，4，5这6个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（

）A．20个 B．30个 C．40个 D．55个【答案】B【分析】分有和没有两种情况讨论，选择出数字，再排列.【详解】若这三个数字里没有，则共有个，若这三个数字里有，则共有个，则共有个.故选：B.2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（

）A．42 B．38 C．54 D．48【答案】A【分析】根据表示数字的火柴棒的根数分类讨论，即可求解.【详解】因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数.故选：A3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（

）A．68种 B．136种 C．272种 D．544种【答案】C【分析】根据题意，按甲乙是否放在同一排两种情况讨论，由加法原理计算即可．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①甲乙放在同一排，有种放法，②甲乙不放在同一排，有种放法，则有种不同的放法．故选：C．4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（

）．A．30 B．32 C．36 D．48【答案】C【分析】根据题意，分两种情况讨论：①排在最后一位；②不排在最后一位，由加法计数原理计算即可.【详解】根据题意，分两种情况：①2排在最后一位，则倒数第二位也是2，再从剩下4个位置选出2个，安排两个8，最后安排7和1，此时有个不同的密码；②2不排在最后一位，则倒数第一位安排7或1，将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列，此时有个不同的密码；则一共有个不同的密码．故选：C．5．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法，第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法，故满足条件的“五位凹数”个，故选：A6．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2024是“八合数”)，则“八合数”共有（

）个.A．35 B．56 C．120 D．165【答案】C【分析】分含有三个0，两个0，一个0和不含0四种情况分类讨论，求出每种情况下的个数相加得到答案.【详解】含有三个0时，只能为，即1种选择；含有两个0时，另外两个数为或或或，当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0，和剩余的两个位置进行全排列，故有种选择，当另外两个数为或时，同理可得有种选择，当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0，剩余的两个位置放4，故有种选择，故含有两个0时，共有种选择，含一个0，其他三个数可以为或或或或，当三个数为时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0，再从剩余的三个位置选择一个位置放6，剩余的两个位置放1，故有种选择，同理当三个数为或时，均有种选择；当三个数为或时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0，剩余的三个数进行全排列，故有种选择，所以，当四个数中有一个0时，共有种选择，当不含0时，四个数可以为或或或或，当四个数分别为，从四个位置选择1个放5，其他三个位置放1，故有种，当四个数分别为，从四个位置选择2个放，且有顺序，其他两个位置放1，故有种，当四个数分别为时，同理可得有种，当四个数分别为时，从四个位置选择2个放，且无顺序，其他两个位置放3，故有种，当四个数为时，只有1种选择，故不含0时，共有种选择，综上，共有个“八合数”.故选：C【题型十：分组、分配问题】一、单选题1．（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（

）A． B． C．105 D．【答案】C【分析】根据不平均分组问题，结合排列组合即可求解.【详解】依题意可得分组的本数分配只有种，即，，，则不同的分组方法数为.故选：C2．（2024高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（

）A．540 B．120 C．90 D．60【答案】C【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可.【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能，三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲，则有种排法．故选：C.3．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（

）A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种【答案】C【分析】根据分组分配计算所有的安排方法数，再计算甲、乙安排在同一个学校的方法总数，相减得符合的方法数.【详解】根据题意，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只去一所学校，则有种不同安排方法，若甲、乙安排在同一个学校，则有种不同安排方法，甲、乙不安排在同一所学校的方法数有种．故选：C．4．（2024·湖南湘西·模拟预测）三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（

）A．18种 B．21种 C．24种 D．36种【答案】C【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到两所学校即可求解.【详解】第一步选一人去大学，则有（种），第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到两所学校，则有（种），则不同的报名方法共有（种），故选：C.5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由分组分配法计算事件个数，再由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】将4名教师和6名学生分成2个组，再将两组分别安排到两所高校共有：种分配方式；甲和乙不去同一所高校共有：种方法，所以，学生甲和乙不去同一所高校的概率为：.故选：B6