专题05 二项式定理（考点清单9个考点清单+9类题型解读）（解析版）

专题05二项式定理（9个考点清单+9类题型解读）知识点01：.二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，知识点02：二项式的展开式的特点①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．知识点03：两个常用的二项展开式：①（）②知识点04：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．知识点05：二项式系数的性质=1\*GB3①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．=2\*GB3②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．=3\*GB3③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．=4\*GB3④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，则，从而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．知识点06：系数的最大项求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．知识点07：赋值法常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．（2）若，则①常数项：令，得．②各项系数和：令，得．注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．【常用结论】奇数项的系数和与偶数项的系数和①5当为偶数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）②当为奇数时，奇数项的系数和为；偶数项的系数和为．（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）若，同理可得．题型一：二项式定理展开及其逆运用 4题型二：二项展开式第k项 5题型三：二项式系数（和） 7题型四：指定项系数（有理项） 9题型五：各项系数和 11题型六：系数最大（小项） 13题型七：三项展开式系数问题 16题型八：两个二项式相乘展开系数问题 18题型九：杨辉三角 20【题型一：二项式定理展开及其逆应用】一、解答题1．（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式：(1)化简：；(2)写出的展开式并化简.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果；（2）根据二项展开式的通项公式分析求解.【详解】（1）因为，所以.（2）因为的展开式的通项为，所以.2．（23-24高二上·全国·课后作业）当为偶数时，求证：．【答案】证明见解析【分析】利用二项式展开式，分别令和，，得到方程组，解得即可.【详解】证明：由二项式定理得，(且)分别令和，，相应得到①，

②．

①＋②得，即．①－②得，所以，当为偶数时有．3．（23-24高二下·江苏·课前预习）（1）求的展开式.（2）化简：.【答案】（1）；（2）.【分析】利用二项式定理化简求值.【详解】（1）法一:.法二:（2）.【题型二：二项展开式第k项】一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（

）A．15 B．20 C． D．1215【答案】A【分析】求出的展开式的通项，求出的展开式中含的二项式系数.【详解】的展开式的通项为，令，则的展开式中含的二项式系数为．故选：A.2．（23-24高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式的展开式中常数项为（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项【答案】C【分析】利用二项展开式的通项公式求特定的项.【详解】二项式展开式的通项为：，令，解得，，所以二项式的展开式中常数项为第5项.故选：C.3．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为.故选：A.4．（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（

）A．3 B．2 C．6 D．4【答案】B【分析】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解.【详解】由二项展开式的通项公式可得，令，解得，即常数项为，解得.故选：B5．（22-23高二下·浙江杭州·期中）若二项式展开式中含有常数项，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】设二项式通项，待定系数计算即可.【详解】设的通项为，若有常数项，则只需，而，显然的最小值为3，此时.故选：A【题型三：二项式系数（和）】一、单选题1．（2024·山东·一模）在的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】先由二项式系数公式求出n，再由二项式展开式定理即可得解.【详解】由题得，所以二项式的展开式的项数是.故选：A.2．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由第3项的二项式系数为15，可列方程，解方程可得的值.【详解】的展开式的第3项的二项式系数为：，由，解得或（舍去）．故选：C3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项.【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等，由的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以，所以，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C．4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】先写出通项，再结合题意解出，最后求出结果即可；【详解】的展开式的通项为，依题意可知，解得，所以展开式中的二项式系数最大的项为和．故选：C.5．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解.【详解】由展开式奇数项的二项式系数和，可得，则展开式的通项为，令，则，，解得，，.故选：A.【题型四：指定项系数（有理项）】一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）的展开式中，常数项为（

）A． B． C．120 D．60【答案】D【分析】由二项式展开式通项公式可得答案.【详解】的展开式中的第项为：.令，则常数项为.故选：D2．（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的常数项为15，则（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根据二项式定理，写出展开式的通项，令字母部分的指数为零，建立方程求得参数，可得答案.【详解】的展开式的通项为，其中，令，得，故，得，所以，故选：C．3．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先写出展开式的通项公式，根据已知条件确定的值代入展开式即可求解.【详解】展开式通项，根据题意令，解得，所以含的项为，即的展开式中的系数为.故选：B4．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中的整式项系数和是（）A．192 B． C．32 D．【答案】C【分析】根据二项展开式的通项可得，令，运算求解即可.【详解】展开式的通项公式为，令，则，整式项系数和为.故选：C.5．（2024高三·全国·专题练习）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项的系数和为（）A．43 B． C．27 D．【答案】D【分析】根据题意结合二项展开式解得，，令，运算求解即可.【详解】展开式的第7项为，由题意可得，，（），解得，，则展开式的通项为，，令，则，所以展开式中的有理项的系数和为.故选：D.【题型五：各项系数和】一、单选题1．（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（

）A．-1 B．1 C．64 D．【答案】B【分析】首先根据题意求出的值，然后在中令即可求解.【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得，则展开式所有项系数和是.故选：B.2．（23-24高二下·北京海淀·期末）设，若，则（

）A．80 B．40 C． D．【答案】C【分析】令,求出，结合为的系数，求出这一项即可求出.【详解】令，则可得，又，则，又为的系数，且，因此.故选：C.3．（23-24高二下·新疆·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】赋值法求解即可.【详解】令，得①，令，得②，①－②，得，即．故选：A．4．（24-25高二下·全国·课后作业）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用赋值法，先求得的值，再赋值，即可出现所求式子，进而求解即可.【详解】令，则，易知皆为负值，皆为正值，令，则，故．故选：C5．（2024·四川德阳·一模）设满足，则（

）A．120 B． C．40 D．【答案】A【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得.【详解】因为，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所以.故选：A.【题型六：系数最大（小）项】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在的二项展开式中，系数最大的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项【答案】B【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】的通项公式为,根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大，第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B2．（2023·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（

）A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【答案】C【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为，当为奇数时，才能取得最小值，又由二项式系数的性质可知，是的最大项，所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.故选：C．3．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（

）A．第1项和第3项 B．第2项和第4项C．第3项和第1项 D．第4项和第2项【答案】B【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大.【详解】的展开式的通项为，当取奇数时，系数为负值，当时，，当时，，当时，，所以第2项的系数最小；因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.故选：B.4．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解.【详解】的展开式的通项为，由题可知，解得．故选：A5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（

）项A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解.【详解】由题意二项式系数仅最大，故，所以二项式为，其通项公式为，设二项式展开式中第项的系数最大，则有，，即，故，经经验符合题意，所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B.6．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（

）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【答案】C【分析】先求出展开式的通项，从而依据展开式中第9项是常数项得到，再依据第项的系数绝对值大于或等于第项且大于或等于第项列不等式组即可求解.【详解】由题意得二项式展开式的通项公式为：，因为展开式中第9项为常数项，故，故第项的系数绝对值为，设展开式中第项的系数绝对值最大，则有，，又因为，故，所以第8项的系数绝对值最大.故选：C.【题型七：三项展开式系数问题】一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（

）A．243 B．240 C．237 D．234【答案】A【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案．【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为．故选：A.2．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）的展开式中的系数为（

）A．120 B．80 C．60 D．40【答案】D【分析】写出展开式通项，令指数为2，即可求解.【详解】展开式通项为：，令，即，当时，的系数为；当时，的系数为；所以的系数为，故选：D3．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可；【详解】，项对应，，项对应系数为，故展开后系数为.故选：D.4．（23-24高二下·江苏徐州·期中）的展开式中所有不含的项的系数之和为（

）A． B． C．1 D．243【答案】B【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.【详解】展开式的通项公式为，若展开式中的项不含，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，令，得这些项的系数之和为.故选：B5．（23-24高二下·河南郑州·期中）的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为（

）A． B．299 C． D．301【答案】B【分析】先令，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.【详解】令得，所以的展开式中所有项的系数和为，由为个因式相乘，要得到项，则五个因式中有一个因式取，一个因式取，其余三个因式取，然后相乘而得，所有的展开式中含的项为，所以的展开式中，除含的项之外，剩下所有项的系数和为.故选：B.【题型八：两个二项式相乘展开系数问题】一、单选题1．（22-23高三上·江苏扬州·期末）的展开式中的系数为（

）A．20 B． C．28 D．【答案】B【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，的系数为.故选：B2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用二项展开式定理，即可求解.【详解】因为，的展开式的通项公式为所以，的展开式中的系数为，解得，故选：B.3．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（

）A．147 B． C．63 D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得【详解】二项式展开式中项分别为，所以的展开式中的常数项为．故选：C4．（22-23高三下·河南安阳·开学考试）已知的展开式中，常数项为，则（

）A．−2 B．2 C． D．1【答案】A【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，的通项公式为，令，则，令，则不符合题意，所以的常数项为，解得．故选：.5．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（

）A．31 B．30 C．29 D．28【答案】C【分析】赋值法得到方程，求出，求出展开式通项公式，得到，，从而得到展开式中的系数.【详解】中令得，解得，展开式通项公式为，，当时，，当时，，故展开式中的系数为.故选：C【题型九：杨辉三角形】一、单选题1．（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】利用二项式定理求解即可.【详解】由杨辉三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第个数为，所以第15行第15个数是．故选：B2．（23-24高二下·湖北·期中）如图，