期末重难点检测卷（培优卷）（解析版）-苏科版(2024)九上

期末重难点检测卷（培优卷）（满分100分，考试时间120分钟，共27题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：1~4章（九年级上册全部内容）；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（8小题，每小题2分，共16分）1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（

）A．38 B．42 C．43 D．45【答案】D【分析】本题考查了众数．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值．通过统计每个数据的出现次数，比较后即可得出众数．【详解】解：∵数据序列为：38，42，42，43，45，45，45；∴38出现1次，42出现2次，43出现1次，45出现3次；∴45的出现次数最多，故众数为45．故选：D．2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查方程的解的问题，把方程的根代入方程即可求解．【详解】解：把代入方程：，解得，故选：C．3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理可知，进而根据平角的定义计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故选：A．4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（

）A．8 B．12 C．14 D．16【答案】A【分析】本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率，摸到红球的概率约为，利用概率公式可得袋子里红球、白球的总数，即可求解．【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在，∴摸到红球的概率为，∴袋子里红球、白球的总数为，∴袋子里红球的个数估计是．故选：A．5．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．【详解】A、与不一定相等，符合题意；

B、∵直径，∴，故不符合题意；C、∵直径，∴，故不符合题意；∴，故D不符合题意，故选：A．6．（2025·江苏扬州·模拟预测）阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握题干中给出的方程的表示方法，是解题的关键，根据题意，将一元三次方程，表示为，然后将左边展开，进行判断即可．【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，∴方程可表示为：，∴，∴，∴，，；故选项C正确，选项B，D错误；∵，∴；故选项A错误；故选C．7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法：下列判断正确的是（

）甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点．②连接，，，就是的切线．乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点．②连接，就是的切线．A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误【答案】D【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线．【详解】解：甲：连接、，由作图知，是直径，∴，又∵、是的半径，∴是的切线；∴甲的作法正确；乙：连接，由作图知，，∵，∴，∴是等边三角形，∴，若是的切线，∴，∴，∴，∴，∵不一定等于，∴不一定是的切线，∴乙的作法不正确；故选：D．8．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价元增加元，则有（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设设房价比定价元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得．【详解】设房价比定价元增加元，根据题意得，，故选：D．【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．第II卷（非选择题）二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）9．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）定义新运算：若，则x的值为【答案】或【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可．【详解】解：由新运算定义，，根据题意，，整理得：，因式分解得：，解得：或，故答案为：或．10．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是【答案】8【分析】本题考查了求平均数．根据平均数的定义，原数据之和为50，新数据每个加3，和增加30，再求平均数．【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为．新数据之和为．新数据的平均数为．故答案为：．11．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，圆形拱门所在圆的半径长为，拱门高为．【答案】9【分析】此题考查了垂径定理的应用，熟记垂径定理是解题的关键．连接，根据垂径定理及勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，由垂径定理得，，在中，由勾股定理得，，即，得．故答案为：9．12．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下：组别（）人数5374315根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是．【答案】【分析】本题主要考查了求概率．根据概率公式解答即可．【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100，所以概率为．故答案为．13．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是．【答案】/度【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键．【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，，，，解得：，故答案为：．14．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）云南省某中学为弘扬民族文化，组织“非遗剪纸”社团活动．如图是甲，乙两个班级次剪纸作品获一等奖数量的条形统计图（单位：件），则两个班级作品获一等奖数量的稳定性更强的是班．

【答案】甲【分析】本题考查方差的定义和意义，条形统计图，利用方差的定义求出甲和乙的方差，再比较即可，方差越小越稳定，熟练掌握求方差的方法和方差的意义是解题的关键．【详解】解：由统计图可知，甲次的数量为，，，，，∴平均数为，∴方差为，乙次的数量为，，，，，∴平均数为，∴方差为，∵，∴甲稳定，故答案为：甲．15．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为．【答案】【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键．根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解．【详解】解：∵、分别切于、，∴，∵过点的切线分别交、于点、，∴，∴的周长．故答案为：16．16．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则后的面积为？【答案】2秒或4秒【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，，，，，，∴，解得：，．答：运动2秒或4秒后的面积为．故答案为：2秒或4秒三、解答题（11小题，共68分）17．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据配方法求解方程即可．【详解】（1）解：，；（2）解：，．18．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率．【答案】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确列表或画出树状图．先画出树状图，再得出所有可能结果与符合条件的结果数，再利用概率公式求解．【详解】解：画出树状图，共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”有4种，所以甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率为．19．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键．（1）根据圆内接四边形的性质求解即可；（2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴．20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下表：（单位：分）数与代数空间与图形统计与概率综合与实践学生甲93938990学生乙94929486(1)甲成绩的众数是分，乙成绩的中位数是分；(2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？【答案】(1)93，93(2)甲的数学综合素质成绩为92分，乙的数学综合素质成绩为91.8分【分析】本题考查了众数、中位数以及加权平均数，熟练掌握众数、中位数以及加权平均数的定义是解题的关键．（1）由众数和中位数的定义即可求解；（2）由加权平均数的定义列式计算即可．【详解】（1）解：甲成绩的众数是93分，乙成绩排序为86，92，94，94，∴乙成绩的中位数是（分），故答案为：93，93；（2）解：甲的数学综合素质成绩为（分），乙的数学综合素质成绩为（分）．21．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，已知和上的一点A．【实践与操作】（1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．【应用与证明】（2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析【分析】本题考查了作图——画正多边形，矩形的判定以及圆的相关性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．（1）作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求．（2）由题意可知，因此，故，进而求得四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，因此可得，再由，得，因此，故可证得四边形是矩形．【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求．（2）四边形是矩形．理由如下：如图，连接，∵六边形是正六边形，∴，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形．22．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘．(1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率．(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）．【答案】(1)(2)不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，游戏的公平性等知识，正确列表或画出树状图是解题的关键；（1）列表或画树状图，可以求出所有可能事件的总数及事件发生的总数，由概率公式即可求解；（2）根据（1）中列表或树状图可求得乙获胜的概率，若两概率不相等，则改动转盘上的一个数字使得游戏公平即可．【详解】（1）解：列表如下：A

B23413事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种，则甲获胜的概率为．答：甲获胜的概率为．（2）解：不公平；理由如下：由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种，则乙获胜的概率为．而甲获胜的概率小于乙获胜的概率，所以游戏不公平．把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平．答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平．23．（25-26九年级上·江苏南京·期中）阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值．解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系得：，，∴．解决以下问题：(1)若方程的两个实数根为，，则．(2)已知实数m，n满足，，且，求的值．(3)已知实数p，q满足，，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系．（1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值；（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算；（3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算．【详解】（1）解：根据题意得：，，∴，故答案为：；（2）解：，，且，、可看作方程的两个不等的实数根，

，，；（3）解：，即，，∴方程两边除以得：，，即，且，、可看作方程的两个不等的实数根，，，．24．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6．(1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度；(2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；(3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本题考查圆锥的几何性质．（1）求出底面周长即为这个圆锥的侧面展开图中弧的长度（2）侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；（3）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC的距离．【详解】（1）解：弧的长度=底面圆的周长；（2）解：设的度数为n．，解得，所以，的度数为；（3）解：连接，过B作于D，∴，，∵由（1）得，∴，∴，∵，∴，在中，，∴，即这根绳子的最短长度是25．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：(1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使；(2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使；(3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求；（2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点；（3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可．【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，弦即为所求；理由：，；（2）解：如图，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，弦和即为所求；理由：，；（3）解：如图，以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦，弦即为所求．理由：连接，由作法可得，，∵，∴，∴，，，，同理，，，，．26．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线．作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点；②以为圆心，以为半径作，与交于两点和；③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线．(1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）(2)求证：，是的切线，且．证明：连接，，如图．为的直径，；，，又点，在上，，是的半径，且，，是的切线．（经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线）在和中，（）（填推理的依据），．【答案】(1)见解析；(2)，垂直，【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键．（1）根据题中步骤作图；（2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解．【详解】（1）解：（1）如图所示：、即为所求．（2）证明：连接，，如图．为的直径，；，，又点，在上，，是的半径，且，，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的