专题07 排列组合综合（考题猜想易错必刷9大题型）（解析版）

专题07排列组合综合（考题猜想，易错必刷9大题型）【题型一】捆绑法【题型二】插空法【题型三】特殊元素、特殊位置法【题型四】间接法【题型五】隔板法【题型六】倍缩法【题型七】分组分配问题【题型八】染色问题【题型九】排数问题【题型一】捆绑法一、单选题1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法；再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种，根据分步相乘计数原理，共有种排法．故选：C．2．（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【答案】D【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种，若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，则共有种．故选：D.3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（

）A．144 B．72 C．36 D．24【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】由题意知可将当成一个整体来计算，和总计有种排法，再根据插空法可得总排法有.故选：B4．（2025·广东·模拟预测）甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．48种【答案】D【分析】将甲、乙两人看成一个人，根据n个不同元素围成的环状共有种排法求解.【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将n个不同元素围成的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法，由于n个不同元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法.甲、乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法，又因为甲、乙2人可换位，有2!种坐法，故所求坐法为种.故选：D5．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（

）A．180 B．240 C．288 D．300【答案】C【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解.【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎，从左到右站位，分别为，先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择，再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择，那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，位置将固定排剩余2人，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择，若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择，综上，共有种排法.故选：C【题型二】插空法一、单选题1．（24-25高三·上海·课堂例题）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的节目演出单，要求任意两个舞蹈节目不相邻，则不同的排法种数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用插空法进行求解,【详解】先安排6个歌唱节目，共有4个空，再将4个舞蹈节目进行插空，故有种排法.故选：B2．（23-24高二下·天津·期中）为迎接劳动节社区编排了一场演出，其中一个节目共有7人参加，其中4名男生3名女生，要求男女相间站成一排，并且女生甲必须站在正中间，则共有（

）种站队方法．A．144 B．64 C．48 D．56【答案】C【分析】先排男生，再根据条件女生插空，即可求解.【详解】先排4名男生，4名男生之间有3个空，中间的位置留给女生甲，剩下的2个空，留给剩下的2名女生，共有种站法.故选：C3．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（

）A．21种 B．27种 C．30种 D．42种【答案】D【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解．【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择，当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择，所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D4．（23-24高二下·山西长治·期中）甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛，决出第一名到第六名的名次，甲乙两人向老师询问成绩.老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高.”对乙说：“很遗憾，你不是第一名.”根据以上信息，6人的名次排列的情况有（

）A．300种 B．120种 C．240种 D．180种【答案】D【分析】根据师生对话，结合三人的相对名次，利用插空法进行求解即可.【详解】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高，所以有两种相对名次，一是乙、丙、甲，二是丙、乙、甲，因此不同的名次有种可能；老师对乙说：“很遗憾，你不是第一名，当乙是第一名时，有甲没有丙的名次高，这时不同的名次有种可能，因此6人的名次排列的情况有种可能，故选：D5．（24-25高二上·全国·课后作业）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多两个蓝色相邻的方法种数为（

）A．504 B．505 C．506 D．507【答案】A【分析】分类讨论，第一，全部红色，第二，9红1蓝，第三8红2蓝，第四，7红3蓝，第五6红4蓝，第六，5红5蓝，第七，4红6蓝，第八，3红7蓝，再把各类相加即可.【详解】第一类，10红0蓝，有种，小计1种第二类，9红1蓝，有种，小计10种，第三类，8红2蓝，有种，小计45种，第四类，7红3蓝，可分为3蓝分开，有种，2蓝在一起，有，小计112种第五类，6红4蓝，可分为4蓝分开，有种，两蓝，两蓝在一起，有种，2蓝1蓝1蓝，有，小计161种第六类，5红5蓝，可分5蓝分开，有种，2蓝1蓝1蓝1蓝，有，2蓝2蓝1蓝，有，小计126种第七类，4红6蓝，可分2蓝1蓝1蓝1蓝1蓝，有种，2蓝2蓝1蓝1蓝，有种，2蓝2蓝2蓝，有种，小计45种第八类，3红7蓝，有种，小计4种合计504种.故选：A【题型三】特殊元素、特殊位置法一、单选题1．（23-24高二下·北京海淀·期末）将分别写有2，0，2，4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因四位数首位非零，且四个数字中有重复数字，故可先安排首位，再确定其他数位.【详解】根据题意，可将四位数分成两类：第一类，首位是2，则只需要将所剩下的三个数字全排即得，有个；第二类，首位是4，只需在余下的三个数位选一个给0即可，有个.由分类加法计数原理可得，组成的不同四位数的个数为.故选：A.2．（23-24高二下·北京房山·期末）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列即可.【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法，第二步：将剩余得4个节目全排列，共有种排法，所以共有种，故选：3．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（

）A．60种 B．80种 C．90种 D．150种【答案】B【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解.【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种；甲没被选中时，不同的选派方案有种.故满足条件的不同的选派方案有种.故选：B.4．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（

）A．216 B．240 C．432 D．720【答案】C【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算.【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，先分别选1男1女排在左右两端，有种排法，再排中间4个位置，有种排法，所以不同的排法种数为种.故选：C.5．（24-25高三上·河北·开学考试）现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合排列组合知识，以及古典概型概率公式即可求得解【详解】6名教师选出3人分别到三所学校的方法共有种.甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的：第一种情况：若丙去校，有种选法；第二种情况，若丙不去校，则校有种选法，校有种选法，校有种选法，共有种，所以一共有种.所以由古典概型可得，所求概率.故选：D.【题型四】间接法一、单选题1．（23-24高二下·江苏徐州·期中）房间里有6盏电灯，分别由6个开关控制，至少开1盏灯用以照明，则不同的方法种数是（

）A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【分析】使用间接法，计算出所有情况总数减去不开灯的情况总数即可得.【详解】每盏灯都有开或不开两种情况，故共有种情况，其中不开灯的情况共有1种，则至少开1盏灯的情况有种.故选：C.2．（23-24高二下·河南·期中）现某酒店要从3名男厨师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，则至少有1名女厨师被选中的不同选法有（

）A．14种 B．18种 C．12种 D．7种【答案】A【分析】先求出5人中选出2人分别做调料师和营养师，再求出没有女厨师被选中的选法，两个选法数相减可得至少有1名女厨师被选中的方法数.【详解】从3名男剅师和2名女厨师中选出两人，分别做调料师和营养师，共有20（种），没有女厨师被选中的选法共有（种），故至少有1名女厨师被选中的不同选法有（种）.故选：A.3．（24-25高二上·全国·课后作业）从集合中任取2个不同的数，作为直线的系数，则形成的不同的直线有（

）A．18条 B．20条 C．25条 D．10条【答案】A【分析】按照分步计数原理，再减去重复的直线，即可求解.【详解】第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当，时，与当，时所得直线是相同的；当，时，与当，时所得直线是相同的，故共有（条）不同的直线．故选：A4．（24-25高二上·全国·课后作业）计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（

）A．24种 B．36种 C．42种 D．60种【答案】D【分析】利用分步计数原理，结合间接法，即可求解.【详解】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有（种），其中，3个项目被分配到同一体育馆进行的有4种方法，故满足条件的分配方案有（种）．故选：D5．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（

）A．360种 B．336种 C．216种 D．120种【答案】B【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量.【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种；若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种，其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种；所以不同的派法共有种.故选：【题型五】隔板法一、单选题1．（23-24高二上·江西吉安·期末）将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（

）A．15种 B．18种 C．21种 D．24种【答案】C【分析】利用隔板法求解即可.【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法．故选：C.2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有（

）A．35种 B．126种 C．495种 D．1001种【答案】A【分析】用隔板法将8堂数学课分成5份即可得解.【详解】将8堂数学课当做8个排成一列的相同的球，这八个球之间共有7个空隙，从中选出4个空隙，用4块板放入这些空隙之间，每块板放入的空隙不同，正好将这八个球分隔成5份，分别对应每周五天的数学课课堂量安排，所以题目所求的不同安排方法共有种.故选：A.3．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（

）A．90种 B．120种 C．160种 D．190种【答案】B【分析】应用“隔板法”求解即可.【详解】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中，不同的放法共有（种）.故选：B.4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（

）A．60 B．36 C．30 D．12【答案】A【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解.【详解】先将卡片分为符合条件的三份，由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，再对应到三个人有种情况，则共有种法.故选：A．5．（23-24高三上·浙江·阶段练习）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法计数原理，根据排列及间接法计算.【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种，不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法.故选：C【题型六】倍缩法一、单选题1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（

）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】B【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.故选：B2．（23-24高二下·山西忻州·阶段练习）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（

）A．48 B．96 C．60 D．120【答案】A【分析】根据特殊位置优先安排，万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，最后根据定序问题求解即可.【详解】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．故选：A.3．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（

）A．128 B．64 C．48 D．24【答案】D【分析】相邻问题用捆绑法，定序问题用倍缩法.【详解】先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起有种，然后与宫、商、角进行全排列有种，考虑到顺序问题，则可排成不同音序的种数为.故选：D.4．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（

）种A．12 B．20 C．30 D．42【答案】D【分析】把7名棋手作全排列，而原有5名棋手的排列只有一种顺序，利用缩倍法列式计算即得.【详解】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有，所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有.故选：D5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得．【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种，三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种，恰好取6次卡片时停止的概率为：．故选：．【题型七】分组分配问题一、单选题1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（

）A．20种 B．40种 C．80种 D．160种【答案】C【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有种排法，另一侧的种植方法有种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有种排法，故选:C.2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（

）A．45种 B．90种 C．150种 D．240种【答案】C【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可.【详解】5名学生分成三组的情况有或，当为时，则不同的安排方法有种，当为时，则不同的安排方法有种，所以，一共有种方法.故选：C.3．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（

）A．240种 B．150种 C．60种 D．180种【答案】B【分析】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘.【详解】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案.按照“”分配时，有种方法；按照“”分配时，有种方法.由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种.故选：B.4．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）2024年5月3日，嫦娥六号搭乘长征五号遥五运载火箭在海南文昌发射场发射升空，并进入地月转移轨道，发射任务圆满成功，由此开启了预计为期53天的全球首次月球背面取样返回之旅.某科研所有六位地质学家应邀去甲､乙､丙､丁四所中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，每名地质学家去一所中学，则不同的派遣方法的种数为（

）A．288 B．376 C．1560 D．1520【答案】C【分析】先将六名科学家分成四组，分类讨论分组分法后再分配即可.【详解】先将六位地质学家分为4组，若分为的四组，有种分组方法，若分为的四组，有种分组方法，则共有种分组方法；再将4组分配到4所中学，有24种分派方法，则共有种不同的派遣方法.故选：C.5．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）学校运动会上，有A、B、C三位运动员分别参加1500米，800米和100米比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）．若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案种数为（

）A．44 B．50 C．42 D．38【答案】B【分析】分类考虑A小组只有一人，两人或恰有三人，分别求出5人的分配方案，再由分类加法计数原理即可得出答案.【详解】若A小组只有一人，则5人的分配方案有种；若A小组只有两人，则5人的分配方案有种；若A小组恰有三人，则5人的分配方案有种，所以共有种.故选：B.6．（24-25高二上·江西景德镇·期中）在打结计时赛中，现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可以把问题看做10个绳头平均分成5组，按平均分组问题求总的基本事件，再求恰好能围成一个圆的基本事件数，结合古典概型计算.【详解】10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有的打结方式有：种.其中恰好能围成一个圈的打结方式有：种.所以5根绳子恰好能围成一个圈的概率为：.故选：D【点睛】方法点睛：（1）10个绳头打结，按要求，每次打结都减少2个绳头，所以可以把问题看成平均分组来解决.（2）恰好围成一个圆时，先选1根绳子，不能两端打结，只能从其余的8个绳头选1个打结，完成后，这段绳子不能两端打结，再从其余的6个绳头选1个…，最后这段绳子两端打结.【题型八】染色问题一、单选题1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）用4种不同的颜色给如图所示的4块区域上色，要求相邻2块涂不同的颜色，问有（

）种不同的涂法？A．24 B．48 C．96 D．120【答案】B【分析】首先涂，再涂，第三步涂，最后涂，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先给涂色有种涂法，再涂有种涂法，第三步涂有种涂法，最后涂有种涂法，按照分步乘法计数原理可知一共有种涂法.故选：B2．（23-24高二下·吉林辽源·阶段练习）用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（

）A．240 B．480 C．120 D．200【答案】A【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界”两两相邻，有种方案，而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，总共有种方法.故选：A3．（22-23高二下·河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种【答案】D【分析】分三类：用5种、4种、3种颜色涂在5个面上，再由分步计数及排列组合数求不同的涂色方案.【详解】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种；若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种，再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有，所以，共有种；若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种，再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有种；综上，不同的涂色方案有种.故选：D4．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（

）A．种 B．种C．种 D．种【答案】B【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，故不同的涂色方案有种．故选：B．5．（23-24高二下·重庆·期中）给正六边形的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（

）种A．99 B．96 C．66 D．60【答案】C【分析】对三条边所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三条边所涂颜色的方法种数，利用分步乘法和分类加法计数原理可得结果.【详解】第一类，三条边用同一种颜色，先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，共有方法数为种；第二类，三条边用种颜色，由三条边用种颜色，可得必有条边涂同一种颜色，先涂有种方法，再涂，，有种方法，共有方法数为种；第三类三条边用种颜色，先涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，再涂有种方法，共有方法数为种；由分类加法计数原理可得，共有方法数种．故选：C．【题型九】排数问题一、单选题1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在中不重复地选取4个数字，共能组成（

）个不同的四位数.A．96 B．18 C．120 D．84【答案】A【分析】5个数抽4个数全排列再减去首位是0的情况即可.【详解】四位数首位不能为零，故为种不同的四位数，故选：A.2．（22