专题03 立体几何中的折叠和开放性问题-期末真题（考题猜想易错必刷2大题型）（原卷版）

专题03立体几何中的折叠和开放性问题（考题猜想，易错必刷2大题型）【题型一】折叠问题【题型二】开放性问题【题型一】折叠问题一、解答题1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图1，在中，，，若沿中位线AD把折起，使，如图2，此时直线PB与CD所成角的大小为．

(1)求BC的长；(2)求二面角的余弦值．2．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2）.(1)证明：；(2)若，在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长，若不存在，说明理由.4．（23-24高二上·山东聊城·期末）图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2.(1)求图2中的点B到平面ACDE的距离；(2)证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值.5．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由6．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙．(1)证明；平面ABC；(2)在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【题型二】开放性问题一、解答题1．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2．（23-24高二上·福建厦门·期末）如图，在平行六面体中，平面，，，.(1)求证：；(2)线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.3．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，.(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.4．（19-20高二上·北京西城·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值是，求的值；(3)若，在线段AD上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：平面平面；(2)设.①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.6．（23-24高二下·广西桂林·期末）如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体