专题04 直线和圆的方程-期末真题（考题猜想易错必刷6大题型）（原卷版及全解全析）

专题04直线与圆的方程（考题猜想，易错必刷6大题型）【题型一】直线中斜率的范围问题【题型二】直线中的对称问题【题型三】直线与圆相交及参数问题【题型四】直线与圆相切及参数问题【题型五】直线与圆中的距离最值、范围问题【题型六】圆与圆的公共弦和公切线【题型一】直线中斜率的范围问题一、单选题1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A． B．C． D．4．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型二】直线中的对称问题一、单选题1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点0,1对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（）A． B． C． D．5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型三】直线与圆相交及参数问题一、单选题1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·全国·期末）已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦AB长为C．最短时，弦AB直线方程为D．直线AB过定点二、填空题5．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程.6．（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为．【题型四】直线与圆相切及参数问题一、单选题1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（

）A． B． C． D．三、填空题5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程．6．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则.【题型五】直线与圆中的距离最值、范围问题一、单选题1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．4 D．22．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·河南·期末）直线被圆所截得的最短弦长等于（

）A． B． C．2 D．15．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（

）A． B．5 C．4 D．7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点Mx1,y1在直线，点Nx2,y2A． B． C． D．58．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【题型六】圆与圆的公共弦和公切线一、单选题1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（

）．A． B． C．4 D．24．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（

）①两圆的圆心距；②直线AB的方程为；③；④圆上的点到直线的最大距离为．A．1 B．2C．3 D．4二、填空题5．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程．6．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为.

专题04直线与圆的方程（考题猜想，易错必刷6大题型）【题型一】直线中斜率的范围问题【题型二】直线中的对称问题【题型三】直线与圆相交及参数问题【题型四】直线与圆相切及参数问题【题型五】直线与圆中的距离最值、范围问题【题型六】圆与圆的公共弦和公切线【题型一】直线中斜率的范围问题一、单选题1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】直线的斜率为，由于，设倾斜角为，则，，所以.故选：B.2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.【详解】依题意得，，，，而在和上单调递增，且在上，，在上，所以，即.故选：D3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解.【详解】直线化为，令，解得，所以直线过定点，，因为直线与线段有公共点，结合图象可得直线斜率的取值范围为.故选：A.4．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线l的方程恒过定点，斜率为.因为，，所以，.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，或，所以实数m的取值范围为.故选：B.5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果.【详解】当时，直线的倾斜角为，当时，由得到，又易知，所以，即，由的图像可知，，综上，

故选：C.【题型二】直线中的对称问题一、单选题1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点0,1对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）【答案】C【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.【详解】由题设关于0,1对称的点为，若该点必在上，∴，解得，即一定在直线上.故选：C.2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．【详解】设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以反射光线所在直线方程为，即．故选：B．3．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点.【详解】由题意，在直线中，斜率为，垂直于直线且过点的直线方程为，即，设两直线交点为，由，解得：，∴,∴点关于直线的对称点的坐标为，即，故选：C.4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可.【详解】如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可，圆的圆心为，半径，设关于直线的对称点为，则，解得，所以，此时，所以“将军饮马”的最短路程为．故选：D．5．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圆关于直线的对称圆，则圆与圆有交点，利用圆心距和半径的关系列式求解即可.【详解】圆：,方程化为，，则圆心坐标为，半径为5,设关于直线的对称点为，则,解得，则，所以圆关于直线的对称圆方程为，，由题中条件可知，圆与圆有交点，,,则，即，解得，故选：D.【题型三】直线与圆相交及参数问题一、单选题1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求AB.【详解】设圆的圆心为，半径，因为到直线的距离，所以.故选：B.2．（23-24高二下·云南·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知圆心，半径，由几何法求弦长，可知为等边三角形，然后利用数量积的定义求解即可.【详解】由题可知圆心，半径，点到直线的距离，则，所以为等边三角形，故．故选：C3．（23-24高二下·全国·期末）已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意先求出圆的方程及圆心和半径2，然后利用直线与圆的弦长公式从而可求解.【详解】设圆C：，易知，解得，所以，将，代入可得，，解得，所以圆C的方程，则圆心C坐标为，半径为2.设直线l：，则圆心到直线的距离，又，则，即，整理得，解得，所以k的最小值为，故C正确.故选：C.4．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知圆直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦AB长为C．最短时，弦AB直线方程为D．直线AB过定点【答案】B【分析】A选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当最短时，面积最小；B选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C选项，两垂直直线的斜率相乘等于，两平行直线斜率相等；D选项，由向量积公式求定点坐标．【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即，最短时，面积最小，故当时，最短，即，，故A错误；由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为，所以，故B正确；当最短时，则，又，所以，，，可设的直线方程为，圆心到直线的距离，解得或，由于直线在圆心的右侧，且在直线的左侧，所以，所以，即直线的方程为，故C错误；设圆上一点，，，，，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直线过定点为，故D错误．故选：B．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.二、填空题5．（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程.【答案】或【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式、弦长公式计算即可.【详解】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切，不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或，所以的方程为：或.故答案为：或.6．（23-24高二上·安徽·期末）过点的直线被圆：所截得的弦长的最小值为．【答案】【分析】首先分类讨论得圆心到直线的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线过定点，判断可知点在圆内，而圆，若直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，所以，若，则，若，则，解得或，直线斜率存在时，，此时，若直线斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心到直线的距离最大值为，所以所截的弦长的最小值为．故答案为：.【题型四】直线与圆相切及参数问题一、单选题1．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得.【详解】

由配方得：，即圆心为,半径为.如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接.设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：，设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故,则两条切线间圆的劣弧长为.故选：B.2．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知直线过圆心，代入解得，再根据切线性质可得，结合倍角公式运算求解.【详解】圆可化为．可知圆心为，半径，因为圆关于对称，即直线过圆心，则，解得，可得，且，所以．故选：D．3．（23-24高二上·浙江·期末）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】推导出垂直平分，分析可知，当PC取最小值时，AB取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，，因为，，，所以，，所以，，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当PC取最小值时，AB取最小值，由，可得，所以，PC的最小值为，当与直线垂直时，PC取最小值，则，因为，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题4．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果．【详解】由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即；斜率不存在时，，显然与圆相切，综上，切线方程为：或．故选：AB．三、填空题5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程．【答案】【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程.【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即，，解得，所以切线方程为.故答案为：.6．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则.【答案】【分析】由圆的几何性质可知，，利用勾股定理可求得的值.【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得，由圆的几何性质可得，由勾股定理可得.故答案为：.【题型五】直线与圆中的距离最值、范围问题一、单选题1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（

）A．1 B．3 C．4 D．2【答案】B【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解【详解】由，得，所以直线过定点，由，知圆心坐标，半径为2，所以到圆心的距离为，则在圆内，则的最大值为，故选：B2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案.【详解】，所以直线恒过定点，，因为，所以点在圆内，所以当时，弦最短,设直线的斜率为，则,所以直线的方程为，即.故选：D.3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得.【详解】

如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，又直线经过定点，由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）.故选：B.4．（23-24高二上·河南·期末）直线被圆所截得的最短弦长等于（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用弦长公式求出结果即可．【详解】由题可知，直线过定点，由圆的方程可知圆心为，半径为.圆心到直线的最大距离为点的距离，即，所以所截得的最短弦长为.故选：C.5．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】首先由，可以求出点的坐标，然后可转换成求的最小值即可，结合三角形三边关系以及定点到圆上点的距离的最值即可得解，注意取等条件是否满足.【详解】如图，

设，因为，所以，即，此方程与圆表示同一个圆，故.又，所以，等号成立当且仅当点在线段上.故选：B.6．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（

）A． B．5 C．4 D．【答案】B【分析】求得关于轴的对称点，根据三点共线时取到最小值，进一步计算即可求解【详解】如图所示，关于轴的对称点为,则,当三点共线时等号成立，又,故的最小值为5,故选：B.7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知点Mx1,y1在直线，点Nx2,y2A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点Mx1,y1到点的距离与点Nx2,y2到点的距离和，过点作，垂足为【详解】由已知表示点Mx1,y表示点Nx2,y所以，过点作，垂足为，因为直线的方程为，，所以，又直线与直线平行，，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又，当且仅当三点共线时等号成立，所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为，因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得，所以点的坐标为，所以，所以的最小值为，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题.8．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知直线l与圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设设，，MN的中点，根据圆的方程可得，再结合以MN为直径的圆过点可得，分析可知点Q在圆心为、半径为的圆上，结合圆的性质分析OQ的最小值进而可得MN的最大值.【详解】设，，MN的中点，则，．又因为，，则，所以．若以MN为直径的圆过点，则，且，，可得，即，整理得，所以Q在圆心为、半径为的圆上．因为，可知点O在圆外，则，所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知：MN的中点Q在圆心为、半径为的圆上，结合圆的性质分析求解.【题型六】圆与圆的公共弦和公切线一、单选题1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量.【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条，故选：C2．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两圆公共弦方程特征进行求解即可.【详解】两个圆的方程相