2025年江苏南京市中考数学试卷真题及答案详解（精校打印）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页南京市2025年初中学业水平考试数学注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．的绝对值是（

）A． B． C． D．22．下列图形中，一定有外接圆的是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．要使分式有意义，字母，须满足（

）A． B． C． D．4．的算术平方根是（

）A． B． C． D．5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（

）A． B． C． D．6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）7．已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是．8．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是．（写出一个即可）9．计算的结果是．10．已知是方程的解，则的值是．11．设方程的正根介于整数与之间，则．12．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为．13．如图，在中，，是边上的高，，则的值是．14．已知反比例函数，则当时，的最小值是．15．如图，点，在矩形内，．若，，，则的长为．16．如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组．18．尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线．19．某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？20．已知，试比较与的大小．21．甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？22．某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．第1次测试第2次测试第3次测试甲×××乙×注：×表示犯规．将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”，及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．(1)补全条形统计图；(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？23．如图，是的对称中心，与相切于点．(1)求证：直线是的切线．选择其中一位同学的想法，完成证明；(2)当与相切时，是菱形吗？说明理由．24．如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．(1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积．25．如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）26．（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________；（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化．①若，当时，求的取值范围．②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）27．某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．(1)的长为____________，____________；(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．【详解】解：的绝对值是2，故选：D2．A【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答．【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等，∴三角形一定有外接圆，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，故选：A3．A【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母.【详解】∵分式有意义需分母，∴，故选：A．4．B【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答．【详解】解：的算术平方根是，故选：B．5．C【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得，则，得，故表示1的点可能是，即可作答．【详解】解：依题意，，且与是符号不相同，观察数轴，得，∴，则，∴在和之间，∴表示1的点可能是，故选：C6．B【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答．【详解】解：令则，∴，即，令，则，即，∵沿轴翻折，∴沿轴翻折得设的解析式为，把，代入得，∴，则，∴沿轴翻折不过点，∴①不符合题意；②令则，解得，即经过点，令，则即经过点，连接，如图所示：∵，，，则，，∴，∵，∴，∴是的垂直平分线，∴与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点，∴②符合题意；③依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；过程如下：∴，此时点，把代入，得∴不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，故③不符合题意；∵绕点按顺时针方向旋转，且，∴记为T点，连接，∴，∴，则，∴，∴是等腰直角三角形，∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，∴④符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．7．10【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答．【详解】解：依题意，数据之和为，∵数据的个数为，∴平均数为．故答案为：10．8．5（答案不唯一）【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题．【详解】解：设腰长为，底长为，则，∴．根据三角形三边的关系可知，，解得：，又，即，解得：，∴，故答案为：5（答案不唯一）．9．2【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．【详解】解：．故答案为：2．10．【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可．【详解】解：原方程去分母得：，是该方程的解，，解得：，当时，原分式方程有意义，故答案为：．11．2【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可．【详解】解：，移项得：，配方得：，即，直接开平方得：，解得，，，，，则，故答案为：2．12．13【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接，依题意，，∵，∴，，∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，∴，在中，，即这枚古钱币的半径为，故答案为：1313．##【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答．【详解】解：∵，∴，∵是边上的高，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，则∴，故答案为：．14．【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得，根据的取值范围和函数的增减性，求最小值．【详解】解：将反比例函数代入中，可得：，，当增大时，也随之增大，则随之减小，因此，在时取得最小值，代入计算，得，故答案为：．15．【分析】延长，交于点，利用勾股定理求得，计算和，借助矩形内角为直角、全等三角形的角相等，证得，，利用和得出、长，进而得、，利用勾股定理即可求的长．【详解】解：如图，延长，交于点，在中，，，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，，∵，∴，，，∴，∴，，，∴，∴，∴，，，∴，，∴．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、三角函数的应用，利用全等三角形转移角的关系，结合矩形内角为直角推导直角三角形是解题的关键．16．【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，连接，延长交于点D，则，再运用三角形外角性质进行列式分析，得，，，故，即可作答．【详解】解：延长交圆O于点C，连接，延长交于点D，如图所示：∵扇形的圆心角为∴圆心角，根据圆周角定理得：，∵是的外角，∴，∵，则，∵是的外角，∴，∵，则，∵是的外角，∴同理得，∴的度数的范围是．故答案为：．17．【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解．【详解】解：解不等式得：，解不等式得，．原不等式组的解集为：．18．见解析【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可．【详解】解：如图，直线即为所求．作，利用同位角相等，两直线平行可知．19．A饮料每杯元，B饮料每杯8元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元，根据题意得：，解得：．答：每杯饮料元，每杯饮料8元．20．【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出．【详解】解：∵，∵，∴，，，∴，∴．21．(1)(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．故答案为：．（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．22．(1)见详解(2)乙参加跳远比赛较为合适，理由见详解【分析】本题考查了补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答．（2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，即甲的一般成绩有次，补全条形统计图，如图所示：（2）解：乙参加跳远比赛较为合适，理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，∴乙参加跳远比赛较为合适．23．(1)见详解(2)是菱形，理由见详解【分析】（1）先理解题意，结合两位同学的想法，作图，再根据平行四边形的性质以及切线的性质，证明三角形全等，然后结合全等三角形的性质进行分析，即可作答．（2）先理解题意，作图，证明，得，因为四边形是平行四边形，得，即，得，故，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答．【详解】（1）解：左边同学的思路：过点O作，连接，，如图所示：∴，∵是的对称中心，∴三点共线，且，，∴，∵与相切于点，∴，即，∴，∴，∴，∵∴直线是的切线；右边同学的思路：连接，并延长交于点F，如图所示：∵是的对称中心，∴三点共线，且，，∴，∵与相切于点，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴是切点，即直线是的切线；（2）解：是菱形，理由如下：当与相切时，记切点为点，如图所示：∵与相切于点．与相切于点，∴，∵，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．24．(1)(2)【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键．（1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积；（2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答．【详解】（1）解：如图1，当时，，如图2，当时，；综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：；（2）解：，当时，，，当时，（不符合题意），答：播放结束时展开的画面面积是．25．【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案．【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．由题意得，，，，，之间的距离为，在的中点处，，∵中，，，，，为中点，∴，为的中点，即，，设，，，在和中，，，，，，∴,,，，解得，答：甲航行的距离约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键．26．（1）（2）①②(a)(b)【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标．（2）由题意平移后的函数解析式为，则，①若，则，利用二次函数的增减性即可求解；②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可．【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为，令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为．故答案为；；（2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，则平移后得到的顶点为，平移后的函数解析式为，当时，与轴交点的纵坐标，①若，则，是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线，时，，时，，当时，的取值范围是；②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，，，当时，，，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，，随的增大而减小，当时，，，对称轴为直线，，随的增大而增大，故可能的序号是(a)(b)．故答案为：(a)(b)．【点睛】本题