图像基础技术处理 2

第五章频率域图像处理数字图像处理李俊山编著.《数字图像处理（第5版）》

频率域图像是把空间域图像像素的灰度值表示成随位置变化的空间频率，并以频谱（也称为频谱图））的形式表示图像信息分布特征的一种表示方式。

频率域图像处理是指在图像的频率域中对图像进行某种处理的方法，这种方法以傅里叶变换为基础，也即先通过傅里叶变换把图像从空间域变换到频率域，然后用频率域方法对图像进行处理，处理完后再利用傅里叶反变换把图像变换回空间域。5.1二维离散傅里叶变换5.1二维离散傅里叶变换

由于离散傅里叶变换描述了离散信号的时域及空间域表示与频域表示的关系，所以利用基于离散傅里叶变换的时域与频域分析方法可解决大多数图像处理问题，因而离散傅里叶变换在图像处理领域获得了极为广泛的应用。

由于二维离散傅里叶变换对应地可以描述成一个二维函数，所以下面介绍应用于图像处理的。1、二维离散傅里叶变换的定义

5.1.1二维离散傅里叶变换的定义和傅里叶频谱

设f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的M×N的二维离散信号，x和y是离散实变量，u和v为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：

(u=0,1,…,M-1；v=0,1,…,N-1)(5.1)

(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1)

(5.2)

1、二维离散傅里叶变换的定义

在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶变换对定义为：

5.1.1二维离散傅里叶变换的定义和傅里叶频谱

(5.3)

(5.4)

(

1、二维离散傅里叶变换的定义根据:

(5.5)可知，F(u,v)的运算结果是一个复数结果，用R(u,v)表示其实部，用I(u,v)表示其虚部，可将二维离散傅里叶变换的频谱和相位角分别定义为：(5.6)

和欧拉公式:2、图像的傅里叶频谱特性及频谱图傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域。

5.1.1二维离散傅里叶变换的定义和傅里叶频谱

(a)图像(b)图像的原频谱图

性质包括：线性性、可分离性、平均值性质、周期性、共扼对称性、空间位置和空间频率的平移性、旋转性、尺度变换性、卷积性质等。

本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的性质。

5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质1、变换系数矩阵

5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质根据变换式(5.4)，由于u和v均有0,1,…,N-1的N个可能的取值，所以f(x,y)由N2个频率分量组成，所以每个频率分量都与一个特定的(u,v)值相对应；

且对于某个特定的(u,v)值来说，当(x,y)取遍所有可能的值(x=0，1，…，N-1；y=0，1，…，N-1）时，就可得到对应于该特定的(u,v)值的一个变换系数矩阵：{下一页}(5.4)

5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质1、变换系数矩阵

可见，该矩阵的值仅与N有关，与f(x,y)无关。

2、可分离性

式(5.3)的二维离散傅里叶正变换对可写成式(5.8)的分离形式：

(5.3)

(5.8)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质2、可分离性

上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一维DFT来实现一个二维DFT：

5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质(5.8)2、可分离性

行变换列变换5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质2、可分离性

同理，式(5.4)的二维离散傅里叶反变换对可写成式（5.9）的分离形式：

(5.4)

(5.9)5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质3、平均值

一幅图像的灰度平均值可表示为：5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质所以，一幅图像的灰度平均值可由DFT在原点处的值求得，即(5.14)如果将u=v=0代入式(5.3)：可得：

(5.12)(5.13)4、周期性

对于M×N的图像和二维离散傅里叶变换对的一般定义式(5.1)和(5.2)，F(u,v)的周期性定义为：5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质(5.16)(m,n=0,±1,±2,…）5、共轭对称性

设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共轭对称性：5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质(5.17)(5.18)6、平移性

对于M×N的图像f(x,y)和二维离散傅里叶变换对的一般定义式(5.1)和(5.2)，若设用符号表示函数与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示为：其中，式(5.19)说明，给函数乘以一个指数项，就相当于把其变换后的傅里叶频谱在频率域进行平移。

式(5.20)说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。

5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质(5.19)(5.20)6、平移性

可见，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变，即：

同理，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变。5.1.2二维离散傅里叶变换的若干重要性质1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性

5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析(5.21)设f(x,y)是一幅大小为M×N的图像，根据离散傅立叶变换的周期性公式(5.16)，有：(5.22)再根据式(5.21)和离散傅立叶变换的共轭对称性式(5.18)，可得：(5.16)(m,n=0,±1,±2,…）

(5.18)根据(5.22)，对于u=0，M-U=M当u=0、v=0时：当u=0、v=1时：当u=0、v=2时：┆┆当u=0、v=N/2时：0N/2NMM/2(M,N)(M/2,N/2)ABCDvu(M/2,N)(M,N/2)1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性

(5.22)5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性

同理，对于v=0，N–v=N：当u=0、v=0时：当u=1、v=0时：当u=2、v=0时：┆┆当u=M/2、v=0时：由此可得：

频谱图A区与D区和B区与C区关于坐标(M/2,N/2)对称。5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析(5.22)1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性

下图是原点坐标位于(0,0)的图像的傅里叶变换频谱关于(M/2,N/2)对称的两个例子。

关于(M/2,N/2)对称示例1/示例2

(a)图像(b)图像的原频谱图(a)图像(b)图像的原频谱图5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析2、原点坐标平移到(M/2，N/2)后的傅里叶频谱

(0,0）(M/2,N/2）vuvu0NM(M,N）yx0NM(M,N）vu5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析

◆将原点坐标平移到(M/2，N/2)的方法：

比较如下3图可知：vu5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析

只要把左上角的A区向下和向右平移到D区；把其右下角的D区向上和向左平移到A区；把其右上角的B区向下和向左平移到C区；把其左下角的C区向上和向右平移到B区，就可以得到关于（M/2,N/2）的图像傅里叶频谱图，即中心对称的频谱图。2、原点坐标平移到(M/2，N/2)后的傅里叶频谱

图5.1(b)坐标位于(0,0)的频谱图图5.2(b)坐标位于(0,0)的频谱图图5.6原点平移到(M/2，N/2)后的频谱图

原点在(0,0)的频谱图:5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析(a)(b)2、原点坐标平移到(M/2，N/2)后的傅里叶频谱

（a）原图像（b）移动前的幅度谱（c）移动后幅度谱5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析离散傅里叶变换的-频谱示例

离散傅里叶变换的-频谱示例

离散傅里叶变换的-频谱示例

离散傅里叶变换的-频谱示例

3、对图像进行傅里叶变换的意义

（1）简化计算，在空间域中处理图像时所进行的复杂的卷积运算，等同于在频率域中简单的乘积运算。5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析4、对图像进行傅里叶变换的意义

（2）由于在用频谱图表示的频率域图像中，中心部位是能量集中的低频特征，反映的是图像的平滑部分；随着不断远离频谱图的中心位置，对应于空间图像中变化越来越快的细节、边缘、结构复杂区域、突变部位和噪声等高频成分逐渐加强。所以，在频率域中滤波的概念更为直观，更容易理解；也即，某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题，在频率域却比较容易处理。5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析4、对图像进行傅里叶变换的意义

（3）某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如频率域图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。

5.1.3图像的傅里叶频谱特性分析5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现1、快速离散傅里叶变换的实现思路

在数字图像处理中，当M×N图像阵列的M和N较大时，直接利用离散傅里叶变换的定义式进行计算由于计算量非常大，以至于在实际中是无法实现的。快速离散傅里叶变换算法的出现，才使得傅里叶变换用于实际的图像处理成为可能。

且一般都是将二维图像的处理是分别通过按行和按列执行一维算法实现。

5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现2、串行计算二维DFT的方法设f(x,y)是N×N的二维实序列，为表述方便，把看作是N×N的图像像素阵列，称：为图像像素矩阵的二维离散傅里叶变换(2D-DFT）。其逆变换(2D-IDFT）为：

其中：

是变换核。

（5.23）（5.24）5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现2、串行计算二维DFT的方法

根据二维傅里叶变换的可分离性，正变换式可改写成:

上式的表示形式说明，对于二维DFT，可先对图像像素矩阵的各列分别进行列傅里叶变换(简称列变换），然后再对变换结果的各行分别进行行傅里叶变换(简称行变换），这样就可利用一维FFT算法串行计算二维DFT。

5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现2、串行计算二维DFT的方法(0,0）(0,0）(0,0）N-1N-1N-1N-1N-1N-1逐列变换

逐行变换

5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现2、串行计算二维DFT的方法

为了简化程序,可把列变换后的结果进行转置，这样在进行行变换时就可应用列变换的程序，最后再把行变换后的结果进行一次转置即为变换结果。二维正变换的流程可简要描述为：

5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现3、二维DFT的Matlab编程

相关函数：（1）F=fft2(f1);%二维傅里叶变换

（2）FS=fftshift(F);%将变换的频率图像四角移动到中心

（3）S=log(1+abs(FS));%对频谱进行对数运算，提升中心低频部分，为了更好地显示

（4）fr=real(ifft2(ifftshift(FS)));%二维傅里叶逆变换5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现3、二维DFT的Matlab编程

（5）ret=im2uint8(mat2gray(fr))其中：①mat2gray的功能是实现图像矩阵的归一化操作。②im2uint8的功能是把图像数据类型转换为无符号八位整型。

【例】傅里叶变换（Fouriertransform）matlab程序(Fourier_T51.m)clc;clearall;closeall;gray_img=imread('d:\0_matlab图像课编程\girl.jpg')%读灰度图像FT_img=fft2(gray_img);%二维傅里叶正变换FTS_img=fftshift(FT_img);%分4块平移频谱图，实现频谱图的中心对称FTS_log_img=log(1+abs(FTS_img));%频谱图对数运算Inverse_I=ifftshift(FTS_img);%反移频谱中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里叶逆变换，并取变换结果的实部Inverse_FT_img=uint8(Inverse_img);%转换成8位图像subplot(1,3,1);imshow(gray_img);title('原灰度图像');subplot(1,3,2);imshow(FTS_log_img,[]);title('傅立叶频谱图像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_FT_img);title('反变换结果图像');5.1.4快速离散傅里叶变换及其实现3、二维DFT的Matlab编程

5.2频率域图像处理的实现思路

二维离散傅里叶变换很好地描述了二维离散信号的空间域与频域之间的关系，所以对于那些在空间域中表述起来比较困难，甚至是不太可能实现的图像处理问题，可以先通过对图像进行离散傅里叶变换把图像变换到频率域，然后利用适当的频率域图像处理方式对图像进行处理，处理完后再把它转换回空间域中，就可解决那些在空间域不便于解决的图像处理问题。

由傅立叶频谱的特性可知，u和v同时为0时的频率成分对应于图像的平均灰度级。当从(傅立叶)变换的原点离开时，低频对应着图像的慢变化分量，比如一幅图像中较平坦的区域；当进一步离开原点时，较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级，它们反映了一幅图像中物体的边缘和灰度级突发改变(如噪声)部分的图像成分。

频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的傅立叶频谱进行低通滤波(使低频通过，使高频衰减)来虑除噪声，通过对图像的傅立叶频谱进行高通滤波(使高频通过，使低频衰减)突出图像中的边缘和轮廓。

5.2.1基本实现思想5.2.1基本实现思想5.2.1基本实现思想

以上过程可简要地描述为图5.7。g(x,y)结果图像f(x,y)输入图像F(u,v)H(u,v)F(u,v)傅立叶变换频率滤波H(u,v)傅立叶反变换前处理后处理图5.9频率域图像增强步骤

5.2.1基本实现思想转移函数H(u,v)的设计:

一是先凭直观感觉选择一个理想的滤波器模型，然后通过反复的滤波实验和参数修正来逼近并设计出实际的滤波器。

二是利用频率成分和图像外表之间的对应关系选择频率域滤波器。

三是基于数学和统计准则设计频率域滤波器。5.2.2转移函数的设计

对于大小为M×N的函数f(x,y)和h(x,y)，其卷积形式表示为：

用F(u,v)和H(u,v)分别表示f(x,y)和h(x,y)的傅立叶变换，则有傅立叶变换变换对：（5.29）

（5.30）

也即，空间域的卷积在频率域简化为相乘，频率域的卷积在空间域简化为相乘；有时也可以将频率域的滤波器函数变换到空间域，然后再在空间域对图像进行滤波运算。

5.2.2转移函数的设计

5.3基于频率域的图像噪声消除——频率域低通滤波

在频率域中，图像中的噪声和边缘对应于傅立叶频谱的高频部分，选择能使低频通过、使高频衰减的转移函数，就可以实现低通滤波，达到虑除噪声的目的。5.3.1理想低通滤波器

1.

理想低通滤波器的转移函数定义

其中，D0是1个非负整数，D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离。（5.31）

D(u,v)的值：

设已经将傅里叶频谱的原点平移到(M/2,N/2），则点（u,v）到频率平面原点(M/2,N/2)的距离为：（5.32）

(0,0）(M/2,N/2）vu5.3.1理想低通滤波器

1.

理想低通滤波器的转移函数定义

2.

理想低通滤波器的含义在半径为D0的圆内，所有的频率没有衰减地通过该滤波器；而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。所以称D0为截至频率。5.3.1理想低通滤波器

3.

理想低通滤波器的转移函数横截面图和透视图

1（a）转移函数（b）透视图该透视图的含义是：

只有那些位于该圆柱体内的频率范围的信号才能通过，而位于圆柱体外的频率成分都将被虑除掉。频谱幅度谱5.3.1理想低通滤波器

例5.1频率域理想低通滤波器的滤波效果及低频特性分析若一般地设R为截止频率的圆周半径，EB为圆周内能量（图像功率）与原图像总能量（总功率）的百分比，根据图像信号能量在频率域上的分布有：(5.33)

5.3.1理想低通滤波器

例5.1（续1）

(a)原图像(b)频谱图

(c)截止频率半径10

(d)截止频率半径20(e)截止频率半径40(f)截止频率半径80

1.巴特沃斯低通滤波器的转移函数定义（5.34）

其中，D0为截至频率，D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离，且D(u,v)由下式给出。即：5.3.2巴特沃斯低通滤波器（5.32）

2.转移函数横截面图和透视图（阶数n为1～4）

（a）转移函数（b）透视图透视图的含义是：只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。频谱幅度谱5.3.2巴特沃斯低通滤波器图5.13是利用巴特沃斯低通滤波器进行图像去噪的实验结果。5.3.2巴特沃斯低通滤波器【例】利用巴特沃斯低通滤波器进行图像去噪matlab编程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab图像课编程\lena.jpg');Noisy_img=imnoise(img0,‘salt&pepper’,0.02);%噪声密度为0.02的椒盐噪声f=double(Noisy_img);FT_img=fft2(f);%傅里叶变换FTS_img=fftshift(FT_img);%平移频谱图为中心对称D0=input('\n请输入非负的截止频率值(10/20/30)D0=')%正整数n=input('\n请输入巴特奥斯滤波器的阶数(1/2/3)n=');%滤波器阶数1至3[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%将h/2和w/2分别向零方向(向下)取整foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1/(1+(duv/D0)^(2*n));%计算巴特奥斯低通滤波器转移函数值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%对傅里叶频谱进行滤波

endend【例】利用巴特沃斯低通滤波器进行图像去噪matlab编程。Inverse_I=ifftshift(huv_img);%反移频谱中心Inverse_img=real(ifft2(Inverse_I));%傅里叶逆变换，并取变换结果的实部Inverse_H_img=uint8(Inverse_img);%转换成8位图像figure;subplot(1,3,1);imshow(img0);title('原图像');subplot(1,3,2);imshow(Noisy_img);title('加入椒盐噪声图像');subplot(1,3,3);imshow(Inverse_H_img);title('低通滤波结果图像');截至频率D0=10，滤波器阶数n=2

1.二维高斯低通滤波器的转移函数定义（5.35）

其中，D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离，σ

表示高斯曲线扩展的程度，且D(u,v)由下式给出：当σ

=D0时，可得到高斯低通滤波器的一种更为标准的表示形式：（5.36）

5.3.3高斯低通滤波器（5.32）

2.转移函数横截面图和透视图（D=10,20,40,100）

透视图的含义是：只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。（a）转移函数（b）透视图频谱幅度谱5.3.3高斯低通滤波器5.4基于频率域的图像增强——频率域高通滤波

在频率域中，图像中的边缘和灰度的陡峭变化对应于傅立叶频谱的高频部分，选择能使高频通过、使低频衰减的转移函数，就可以实现高通滤波，达到突出图像的高频边缘成分，实现图像增强的效果。

1.理想高通滤波器的转移函数定义（5.37）

其中，D0为截至频率；D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离，且D(u,v)由下式给出：5.4.1理想高通滤波器

（5.32）

2.理想高通滤波器的含义将以半径为D0的圆周内的所有频率置零，而让圆周外的所有频率毫不衰减地通过。

5.4.1理想高通滤波器

3.转移函数的横截面图和透视图1透视图的含义是：只有那些位于该圆柱体外的频率范围的信号才能通过，而位于圆柱体内的频率成分都将被虑除掉。5.4.1理想高通滤波器

（a）转移函数

（b）透视图

1.巴特沃斯高通滤波器的转移函数定义（5.38）

其中，D0为截至频率；D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离，且D(u,v)由下式给出：5.4.2巴特沃斯高通滤波器（5.32）

2.

转移函数的横截面图和透视图透视图的含义是：只有那些位于该倒立型草帽体外的频率范围的信号才能通过,而位于倒立型草帽体内的频率成分都将被虑除掉。5.4.2巴特沃斯高通滤波器（a）转移函数

（b）透视图

1.高斯高通滤波器的转移函数定义（5.39）

其中，D(u,v)为频率平面从原点到点(u,v)的距离，且D(u,v)由下式给出：5.4.3高斯高通滤波器（5.32）

2.转移函数的横截面图和透视图透视图的含义是：只有那些位于该倒立型草帽体外的频率范围的信号才能通过,而位于倒立型草帽体内的频率成分都将被虑除掉。5.4.3高斯高通滤波器（a）转移函数

（b）透视图

图5.18是用高斯高通滤波器进行图像增强时取不同截止频率时的实验结果。5.4.3高斯高通滤波器（a）原图（b）D0=30（c）D0=60

由上图可以看出：随着D0值的增大，增强效果更加明显，即使对于微小的物体和细线条，用高斯滤波器滤波后也比较清晰。5.4.3高斯高通滤波器【例】利用高斯高通滤波器进行图像增强matlab编程。clc;clearall;closeall;img0=imread('d:\0_matlab图像课编程\girl.jpg');f=double(img0);FT_img=fft2(f);%傅里叶变换FTS_img=fftshift(FT_img);%平移频谱图为中心对称D0=input('\n请输入非负的截止频率值(10/20/30/40)D0=')%正整数[h,w]=size(img0);M=fix(h/2);N=fix(w/2);%将h/2和w/2分别向零方向(向下)取整d=2*D0^2;foru=1:hforv=1:wduv=sqrt((u-M)^2+(v-N)^2);huv=1-exp(-duv^2/d);%计算高斯高通滤波器转移函数值

huv_img(u,v)=huv*FTS_img(u,v);%对傅里叶频谱进行滤波

endend【例】利用巴特沃斯低通滤波器进行图像去噪matlab编程。Inverse_I=ifftshi