人教版（2024）八年级上册数学期末复习：第13-15章 压轴题专题提升练习题汇编（含答案）

第第页人教版（2024）八年级上册数学期末复习：第13—15章压轴题专题提升练习题汇编1．已知：四边形ABCD，延长AB至点E，分别作∠DAB和∠CBE的角平分线．

(1)如图1，当∠D=145°，∠C=85°时，∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，则∠F的度数为；(2)如图2，当∠D=64°，∠C=60°时，∠DAB和∠CBE的角平分线的反向延长线交于点F，求∠F的度数；(3)猜想：当∠D与∠C满足什么条件时，∠DAB和∠CBE的角平分线平行？画出图形，并说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，A0,6，B−4,0，将线段AB沿x轴向右平移12个单位长度得到线段DC，点P为射线(1)点C的坐标为，点D的坐标为；(2)如图①，点M是线段CD上一点（不与点C，D重合），当点P在线段AD上运动时（点P不与点D重合），连接PM,∠DPM,∠PMC,∠ABC之间有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接BN,CN,PN,PC，若ON=OB，三角形PNC的面积等于三角形AOB的面积，求点P的坐标．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA−AD向终点D(1)点P在CA上运动的过程中，当CP=时，△CPD与△CBD的面积相等；(2)点P在折线CA−AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；(3)若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，求此时CP的长．4．△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，BD=CD．(1)如图（1），连接AD，求证：AD⊥BC；(2)如图（2），过点D作∠EDF=60°，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，延长ED交BC于点G．①求证：△DFC≌△DGB；②若BC=10，求△AEF的周长．5．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上．(1)如图1，∠BOD=60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数；(2)如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P；①若∠BOD=60°，则∠P=__________度（直接写出结果，不需说理）；②若∠BOD=α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）．(3)如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP，∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍；请直接写出∠OFE的度数．6．在△ABC中，作出∠ABC、∠ACB的内、外角平分线，两个内角平分线交于E点，两个外角平分线交于D点，直线BE与直线CD交于M点．(1)如图1，若∠BMC=20°，①直接写出∠BDC，∠BEC，∠BAC的度数．∠BDC=______，∠BEC=______，∠BAC=______．②连接AM，求出∠CAM的度数．(2)如图2，△ABC中，∠ABC=90°，BC=8cm，AB=15 cm，AC=17cm，∠ABC的内角平分线和∠ACB的外角平分线交于M点，过M作MN⊥BC，垂足为N7．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∘（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、8．已知：Rt△ABC中，∠B=90°,AE、CD分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AE、CD交于点F(1)如图1，求∠AFD；(2)如图2，过点F作FG⊥CD，交BC于点G，求证：DF=GF；(3)如图3，过点F作FH⊥AE，交AC于点H，连接DH，过点F作FM⊥BC于点M，延长MF交DH于点N，若FM=5,△DFN与△GFE面积之和为5，则FN=_______．9．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．(1)问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于(2)问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=3.2cm，DE=2.3cm，求(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，A5,2，点B在第一、第三象限的角平分线l上，点C在y轴上，△ABC为等腰直角三角形．直接写出符合条件的C10．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据证明△AOC≌△BOC，则AO=BO，AC=BC（即点C为AB的中点）．【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC=63°，∠B=38°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE=．【拓展延伸】（1）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D在线段BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．线段BE11．如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，点D在线段AB上，连结AC．(1)求证：AC=BD；(2)如图2，点E、F为线段AC、BD的中点，连结OE、OF、EF，点G是线段EF的中点，连结OG．求证：OG平分∠EOF；(3)如图3，若OB⊥OC，AO，CD交于点P，∠ACD=45°，AD=6，求△ACD的面积．12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．【方法初探】如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若CD=DB+AB，求证：∠B=2∠C．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在CD上截取DE=DB，连接AE，从而证明出结论．请你写出证明过程．【方法应用】如图3，点D为等边△ABC外一点，连接AD，CD，BD，其中BD交AC于点E，且∠ADB=60°，求证：BD=AD+CD；【实际应用】如图4，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的角平分线时，线段AB，AC，CD之间的数量关系为______．13．已知△ABC是边长为8的等边三角形，点P在射线AB上运动，点Q在线段AC上运动，连接PQ，以PQ为边向右作等边△MPQ，连接BM．(1)如图1，当点Q与点C重合，点P在点B右侧时，①求证：AP=BM；②过点M作MH⊥CB于H，且CH=3，求线段BP的长；(2)如图2，当点P在点B左侧，且AQ=2BP时，求线段BM的最小值．14．在Rt△ABC中，点D在线段AB上，点E，F分别在线段AC,BC上，DE=DF，2∠A+∠EDF=180°(1)如图1，当点B、F重合时，求证：点E是线段AC的中点；(2)如图2，当∠A=45°时，过点D作DG⊥AC于点G，请补全图形，探究线段AG与CE的数量关系，并证明；(3)如图3，过点F作FK∥AB于点K，探究线段AE与CK的数量关系，并证明．15．直角三角形ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AB，AC上，将△DEA沿DE翻折，得到(1)如图①，若∠CED=75°，则∠CEF=°；(2)如图②，∠BDF的平分线交线段BC于点G．若∠CED=∠BDG．求证BC∥DF．(3)已知∠A=α，∠BDF的平分线交直线BC于点G．当△DEF的其中一条边与BC平行时，直接写出∠BGD的度数（可用含α的式表示）．16．综合与探究(1)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．①如图1，试说明：△ADC≌△CBE．②如图2，则线段DE，AD，BE之间的等量关系是______．③如图3，若AD=5，BE=11，则DE的长______．(2)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=8，S△ABC=12，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，求出17．已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD=CE．(1)如图1，求∠AFD的度数；(2)如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF=BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN=120∘，∠ACF=2∠CBG，求证：(3)在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC=DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和．18．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．(1)观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为；∠APB=．(2)如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．(3)深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．1中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)连接CP，求证：PC平分∠BPE．19．阅读下列材料，完成（1）～（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CD，垂足为D，BE⊥CD，交CD的延长线于点E，求证：【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充：如图2，延长AD交BC于点G，如果CH=CG，CD所在直线交AB于点F，过F作FP⊥BH交AD延长线于点P，交BH于点Q，试探究线段AP，FP，同学们经过思考后，交流了自己的想法：小彤：“通过观察和度量，发现∠AFC与∠QFB有某种数量关系；”小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．”阅读上面材料，请回答下面问题：(1)求证：BE=AD−DE；(2)猜想∠AFC与∠QFB的数量关系，并证明；(3)探究线段AP，20．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AE⊥AB且AE=AB，点D在CA的延长线上，连接DE，∠ADE=①小明的解题思路：如图2，小明同学从∠ADE=135∘这个条件出发，给出如下解题思路：过E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠EDF=45∘，②小涛的解题思路：如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段CB上截取CG=AC，则△ACG是等腰直角三角形，得∠AGC=∠GAC=45∘，得到∠AGB=135∘，将线段BC，DC之间的数量关系转化为线段请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答．如图4，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CA至点D，使AD=AB，射线AM⊥AB，点E在线段AB上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，其中AF=8，AE=2【类比分析】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠C=90∘，延长CA至点D、使AD=AB，射线AM⊥AB，点E在线段BA的延长线上，点F在射线AM上，连接EF，DF，EF=DF且EF⊥DF，若BC=7，AE=2参考答案1．（1）解：∵∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，∴∠BAF=1∵∠F+∠BAF=∠EBF，∴∠F=∠EBF−∠BAF，∴∠F=1∴∠F=1∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，∴∠F=90°−1∵∠D=145°，∠C=85°，∴∠F=145°+85°故答案为：25°．（2）解：设分别在射线FA,FB上取一点M，点N，∵∠DAB和∠CBE的角平分线交于点F，∴∠MAB=1∵∠F+∠ABF=∠MAB，∠ABF=∠EBN，∴∠F=∠MAB−∠ABF=∠MAB−∠EBN，∴∠F=1∴∠F=1∵∠C+∠D+∠CBA+∠DAB=360°，∴∠F=1∵∠D=64°，∠C=60°，∴∠F=90°−64°+60°（3）解：如图，设FA,BG分别是∠DAB,∠CBE的角平分线，则∠BAF=1∵FA∥BG，∴∠BAF=1∴∠DAB=∠CBE，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°．2．(1)(8,0)(12,6)(2)∠ABC+∠PMC−∠DPM=180∘或(3)(2,6)或(14,6)或(26,6)【分析】（1）线段AB沿x轴向右平移12个单位，根据“右加左减”原则计算即可；（2）根据点P为射线AD上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可；（3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用△PNC的面积等于△AOB的面积列方程即可解答．【详解】（1）根据坐标平移的规律，将线段AB沿x轴向右平移12个单位长度，纵坐标不变，横坐标加12，即C(8,0)，D(12,6)．故C(8,0)，D(12,6)．（2）解：①当点P在点D右边时，如图，过点M作ME∥AD，∴∠DPM=∠PME，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=∴∠ADC=∠ABC，∵AD∥BC，∴ME∥BC，∴∠ADC=∠DME=∠PME+∠DMP=∠DPM+∠DMP，∴∠ABC=∠DPM+∠DMP，∵∠DMP=∴∠ABC=∠DPM+即∠ABC+∠PMC−∠DPM=②当点P在点D左边时，同理可得∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠EMC=∠PMC−∠PME=∠PMC−∠DPM，即∠ABC=∠PMC−∠DPM，故三个角的关系为∠ABC+∠PMC−∠DPM=180∘或（3）∵A0,6，B∴OA=6，∴S△AOB∵ON=OB，∴ON=4，∵C(8,0)，D(12,6)∴OC=8，①点P在点A右边，N在正半轴时，可得S△PNC设Pm,6，则PD=12−m∴12∴m=2，∴P2,6N在负半轴时，点C在PN的下方时，可得S△PNC设Pm,6∴12=12+8∴m=14，∴P14,6②点P在点D右边，点C在PN的上方时如图，连接AC，可得S△PNC设Pm,6∴12=1×m×∴m=26，∴P26,6故P点的坐标为2,6或14,6或26,6．【点睛】本题围绕平面直角坐标系中的平移变换展开，综合考查以下知识点：平面直角坐标系与点的平移，平行线的性质与判定，三角形面积计算，分类讨论思想；解题的关键点在于：平移坐标的确定，角度关系的转化，面积公式的应用，分类讨论的实施；易错点在于：平移坐标错误，角度关系推导错误，面积计算错误，分类讨论遗漏．3．(1)当CP=10时，△CPD与△CBD的面积相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）证明△PCD≌（2）由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，再分PC=PD，DP=DC，CP=CD利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在AD上时，存在DP=DC，根据等腰三角形的性质求解即可；（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P′，如图3所示：则MP′∥AC，证明△PCM≌△P′CMAAS得到MP=MP′，CP=CP′，则MP+ME=MP【详解】（1）解：当CP=10时，△CPD与△CBD的面积相等，理由如下：∵BC=10，∴CP=BC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCD=∠BCD=1在△PCD和△BCD中，CP=CB∠PCD=∠BCD∴△PCD≌∴△CPD与△CBD的面积相等．（2）解：由（1）得：∠PCD=45°，分两种情况：①点P在AC上，如图1所示：若PC=PD，则∠PDC=∠PCD=45°，∴∠CPD=180°−45°−45°=90°；若DP=DC时，则∠CPD=∠PCD=45°；若CP=CD，则∠CPD=∠CDP=1②点P在AD上时，如图2所示：存在DP=DC，∴∠CPD=∠PCD，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60∴∠CDP=∠BCD+∠B=45°+60°=105°，∴∠CPD=1综上所述，∠CPD的度数为45°或90°或67.5°或37.5°；（3）解：当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC则MP∵CD平分∠ACB，∴∠PCM=∠P又∵∠MPC=∠MP'C=90°∴△PCM≌∴MP=MP′，∴MP+ME=MP′+ME≥EP′，当点E∴MP+ME的最小值为EP此时EP′∥∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=10∴AB=2BC=20，∵点E是斜边AB的中点，∴BE=∴B∴CP=CP故答案为：5．【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．(1)见详解(2)①见详解，②△AEF的周长10【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．（1）延长AD交BC于点M，利用SSS证明△ABD≌△ACD，则∠BAD=∠CAD，结合等边三角形的性质得AD⊥BC；（2）①由等边三角形和已知∠EDF=60°得到∠DBC=∠DCB=30°，∠FCD=30°，∠BDG=∠FDC，可证明△DFC≌△DGB；②延长CD和BD交AB和AC于点Q和P，在AC上取一点K，使KP=QE，连接DK，由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，结合等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°和∠BPC=∠CQB=90°，PC=12BC，BQ=12BC，进一步证明Rt△BDQ≌Rt△CDP，有DQ=PD【详解】（1）证明：延长AD交BC于点M，如图1，∴AB=AC，∵BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACDSSS∴∠BAD=∠CAD，∵△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC；（2）证明：①∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°,∠FCD=30°，∵∠EDF=60°，∴∠FDC=120°，∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，∴∠FDC=∠BDC=120°，∴∠FDC=∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠GDC+∠FDC，即∠BDG=∠FDC，则△DFC≌△DGBASA②延长CD和BD交AB和AC于点Q和P，在AC上取一点K，使KP=QE，连接DK，如图，由①知∶BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠BPC=∠CQB=90°，∴PC=12BC∵BC=10，∴PC=BQ=AQ=AP=1在Rt△BDQ和RtBD=CD∴Rt△BDQ≌∴DQ=PD，∵∠DQE=∠DPK=90°，∵KP=QE，DQ=PD，∴△DQE≌△DPKSAS∴DE=DK,∠QDE=∠PDK，∵∠BDQ=60°,∠EDF=60°，∴∠QDE+∠FDP=60°，∴∠PDK+∠FDP=∠FDK=60°，则∠FDK=∠EDF=60°，∵FD=FD，DE=DK，∴△EDF≌△KDFSAS∴EF=FK=FP+PK，则△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+FP+PK=AE+AF+FP+QE=AP+AQ=5+5=10．5．(1)120°(2)①30；②1(3)60°或90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）由三角形内角和定理可得∠OFE+∠OEF的结果，再由角平分线的定义可推出∠PEF+∠PFE的结果，据此由三角形内角和定理可得答案；（2）①设∠OEF=2x，由三角形内角和定理可得∠OFE=120°−2x，则由平角的定义可得∠DFE=60°+2x，由角平分线的定义可推出∠OFP=∠DFG=30°+x，则∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°−x，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可；（3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明∠P=12∠OFE；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出∠Q=90°−12∠OFE，则可得到【详解】（1）解：∵∠BOD=60°，∴∠OFE+∠OEF=180°−∠EOF=120°；∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，∴∠PEF=1∴∠PEF+∠PFE=1∴∠EPF=180°−∠PEF+∠PFE（2）解：①设∠OEF=2x，∵∠BOD=60°，∴∠OFE=180°−∠OEF−∠EOF=120°−2x，∴∠DFE=180°−∠OFE=60°+2x，∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，∴∠PEF=1∴∠OFP=∠DFG=30°+x，∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=150°−x，∴∠P=180°−∠EFP−∠PEF=180°−150°+x−x=30°；②设∠OEF=2y，∵∠BOD=α°，∴∠OFE=180°−∠OEF−∠EOF=180°−α°−2y，∴∠DFE=180°−∠OFE=α°+2y，∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，∴∠PEF=1∴∠OFP=∠DFG=1∴∠EFP=∠OFE+∠OFP=180°−1∴∠P=180°−∠EFP−∠PEF=180°−180°+1（3）解：∵OP平分∠AOD，EP平分∠OEF，∴∠AOP=1∵∠AOD=∠OEF+∠OFE，∠AOP=∠P+∠AEP，∴12∴∠P=1∵EQ平分∠OEG，∴∠OEQ=1又∵∠EOQ=∠AOP=∠P+∠AEP=1∴∠Q=180°−∠OEQ−∠EOQ=90°−1∴∠PEQ=180°−∠P−∠Q=90°；当∠PEQ=2∠P时，则∠P=45°，∴∠OFE=90°；当∠Q=2∠P时，则2∠P=90°−∠P，∴∠P=30°，∴∠OFE=60°；综上所述，∠OFE的度数为60°或90°．6．(1)①70°，110°，(2)20【分析】（1）①利用角平分线的性质易得∠DBM=90°，则可求得∠BDC=70°，同理得∠MEC=70°，得∠EBC+∠ECB=70°，由角平分线性质得∠ABC+∠ACB=140°，由三角形内角和即可求得∠BAC；②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，由角平分线的性质定理得MG=MN，MH=MN，从而得MG=MH，点M在∠CAG的平分线上，则∠CAM=1（2）过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H，由角平分线的性质定理得MG=MN，MH=MN，从而MG=MH=MN，设MN=a，利用四边形ABCM的面积等于S△ABC+S【详解】（1）解：①∵BE、BD分别平分∠ABC及其补角，∴∠DBM=∠CBM+∠CBD=1∵∠BMC=20°，∴∠BDC=90°−∠BMC=70°，同理∠MCE=90°，∴∠MEC=90°−∠MBC=70°，∴∠EBC+∠ECB=∠MEC=70°，∠BEC=180°−∠MEC=110°，∵BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABC=2∠EBC，∴∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=140°，∴∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)=40°；故答案为：70°，②过点M分别作射线BA、线段AC、射线BC的垂线，垂足分别为G、H、N，如图1，∵BE平分∠ABC，∴MG=MN，∵CD平分∠ACB的外角，且点M在直线CD上，∴CM平分∠ACN，∴MH=MN，∴MG=MH，∴点M为∠CAG的平分线，∴∠CAM=由①知，∠BAC=40°，∴∠CAM=1（2）解：如图2，过点M分别作射线BA、线段AC的垂线，垂足分别为G、H，∵BM平分∠ABC，∴MG=MN，∵CM平分∠ACN，∴MH=MN，即MG=MH=MN，设MN=a，则MG=MH=MN=a，∵四边形ABCM的面积等于S△ABC∴12即15×8+17a=15a+8a，解得：a=20，即MN=20cm【点睛】本题考查了角平分线的性质定理与判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，构造垂线以便利用角平分线的性质定理是解题的关键．7．（1）1.5<AE<6.5；（2）见解析；（3）【分析】（1）如图①：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∘得到△EBD可得△BDE≅△CDA（2）如图②：△FDC绕着点D旋转180°得到△NDB可得△BND≅△CFD，得出BN=CF（3）将△DCF绕着点C按逆时针方向旋转100°得到△BCH可得△HBC≌△FDC，得出CH=CF，∠HCB【详解】解：（1）如图①：将△ACD绕着点D逆时针旋转180∴△BDE≅△CDA∴BE=AC=5，∵AD是BC边上的中线，∴BD=在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB∴8﹣5＜AE＜8+5，即∴1.5＜AD故答案为1.5＜AD（2）证明：如图②：△FDC绕着点D旋转180°得到∴△BND≅△CFD∴BN=CF，∵DE∴EN=在△BNE中，由三角形的三边关系得：BE∴BE+（3）BE+如图③，将△DCF绕着点C按逆时针方向旋转∴△DCF≌△BCH，∴CH＝∴∠∵∠ABC∴∠HBC∴点A、B、H三点共线∵∠FCH=100°∴∠ECH∴∠FCE在△HCE和△CF=∴△HCE≌△FCE∴EH＝∵BE∴BE+【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.8．(1)45°(2)见详解(3)2【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解；（2）如图所示，延长GF交AC于点K，证明△CFG≌△CFKASA，FG=FK,∠CGF=∠CKF，再证明△ADF≌△AKFAAS，（3）延长MF，过点D作DP⊥MF于点P，作DQ∥FH，由AAS判定△DPF≌△FMG，△DPQ≌△FME，结合全等三角形的性质及三角形的面积得FN+EG=2，设FN=x，则EG=2−x，可得FQ=2−x，NQ=FQ−FN=2−x−x=2−2x，作FS⊥AC交于S，结合角平分线的性质及AAS可判定△FEM≌△FHS，△DNQ≌△HNF（AAS），由全等三角形的性质得NQ=NF，即可求解．【详解】（1）解：∵∠B=90°，∴∠BAC+∠BCA=180°−∠B=90°，∵AE、CD分别是∠BAC和∠BCA的平分线，∴∠FAC=1∴∠FAC+∠FCA=1∴∠AFD=∠FAC+∠FCA=45°；（2）解：如图所示，延长GF交AC于点K，∵CD是角平分线，∴∠GCF=∠KCF，∵GF⊥CD，∴∠CFG=∠CFK=90°，且CF=CF，∴△CFG≌△CFKASA∴FG=FK,∠CGF=∠CKF，∵∠ABC=90°=∠CFG，∴∠BCD+∠BDC=90°,∠GCF+∠CGF=90°，∴∠BDC=∠CGF，∴∠BDC=∠CKF，∴∠ADF=∠AKF，∵AE平分∠BAC，∴∠DAF=∠KAF，且AF=AF，∴△ADF≌△AKFAAS∴DF=FK，∴DF=GF；（3）解：如图所示，延长MF，过点D作DP⊥MF于点P，作DQ∥FH，∵∠DPF=∠DFG=∠FMG=90°，∴∠DFP+∠GFM=∠GFM+∠FGM=90°，∴∠DFP=∠FGM，且FD=FG，∴△DPF≌△FMGAAS∴DP=FM=5，PF=MG，∵DQ∥FH，∴∠Q=∠QFH，∵FH⊥AE，∴∠AFH=∠EFH=∠B=90°，∵∠QFH+∠MFE=∠MFE+∠FEM=90°，∴∠Q=∠FEM，且∠DPQ=∠FME=90°,DP=FM，∴△DPQ≌△FMEAASDQ=FE，∴PQ=ME，∴PF+PQ=MG+ME，∴FQ=EG，∵FM=5,△DFN与△GFE面积之和为5，∴1∴1∴FN+EG=2，设FN=x，则EG=2−x，∴FQ=2−x，∴NQ=FQ−FN=2−x−x=2−2x，如图，作FS⊥AC交于S，∵CD是角平分线，FM⊥BC∴FM=FS，∠FME=∠FSH=90°，∴∠FHS+∠CAE=∠FEM+∠BAE=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠FEM=∠FHS，∴△FEM≌△FHS（AAS），∴FE=FH，∴DQ=FH，∵∠Q=∠QFH，∠DNQ=∠HNF，∴△DNQ≌△HNF（AAS），∴NQ=NF，∴2−2x=x，解得x=2∴FN=2故答案为：23【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等，能根据题意添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．9．(1)证明见解析(2)0.9(3)0,5，0,4，0,10，0,【分析】（1）因为AD⊥DE于D，∠ACB=90°，所以∠DAC=∠BCE，因为AC=BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB作答．（2）因为∠ACB=90°，BE⊥CE，得∠CBE=∠ACD，因为AC=BC，即可通过AAS证明△ADC≌△CEB，再运用全等三角形的性质，即可作答．（3）分类讨论，如图，当∠CBA=90°，AB=BC，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥EB的延长线于点D，如图，通过AAS证明△ADB≌△BEC，再设点B的坐标为a，a，C0，b，根据AD=EB，CE=BD【详解】（1）证明：∵AD⊥DE于D，∠ACB=90°，∴∠D=90°即∠DAC=∠BCE，∵BE⊥DE∴∠E=∠D=90°∵AC=BC∴△ADC≌△CEBAAS（2）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°∴∠CBE=∠ACD，∵AD⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°∵AC=BC∴△ADC≌△CEB则AD=CE=3.2∵DE=2.3∴CD=CE−DE=即BE=0.9cm（3）解：如图，当∠CBA=90°，AB=BC，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥EB的延长线于点D，如图：∴∠CBE+∠ABD=90°，∴∠CBE=∠BAD，∵过点B作BE⊥y轴，∴∠CEB=90°∵AB=BC，∴△ADB≌△BECAAS∴AD=EB，∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为a，a，∵AD=EB，CE=BD，∴2−a=a，b−a=5−a，解得a=1，b=5故点C的坐标为0，当∠ABC=90°，AB=BC，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作射线AF∥x轴，且过点B作DB⊥AF于D，如图：∴∠EBD=90°，∵∠ABC=90°∴∠CBE=∠ABD，∵过点B作BE⊥y轴，过点B作DB⊥AD，∴∠CEB=∠ADB=90°，∵AB=BC，∴△ADB≌△CEBAAS∴AD=CE，∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为a，a，∵AD=CE，BD=EB，∴a−5=b−a，a−2=a此时方程无解，当∠BAC=90°，AC=BA，过点A作直线l∥x轴，与y轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，如图：∵∠BAC=90°，∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BAE，即∠DCA=∠BAE，∵AC=AB，∴△ADC≌△BEAAAS∴AD=EB，∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为a，a，∵AD=EB，CD=AE，∴5=a−2，b−2=a−5，解得a=7，故点C的坐标为0，当∠BAC=90°，AC=BA，过点A作直线l∥y轴，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CD⊥l于点D，如图：∵∠BAC=90°，∠ADC=∠AEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BAE，即∠DCA=∠BAE，∵AC=AB，∴△ADC≌△BEAAAS∴AD=EB，∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为a，a，∵AD=EB，CD=AE，∴b−2=−a+5，5=2−a，解得a=−3，故点C的坐标为0，当∠ACB=90°时，AC=BC，过点C作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于点E，过点A作AD⊥l于点D，如图：∵∠ACB=90°，∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°=∠DAC+∠BCE，即∠DCA=∠BCE，∵AC=CB，∴△ADC≌△CEBAAS∴AD=EB，∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，∴设点B的坐标为a，a，∵AD=CE，CD=BE，∴b−2=−a，5=b−a，解得a=−3故点C的坐标为0，综上，C点的坐标为0，5，0，4，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．10．【问题情境】ASA；【类比解答】25°；【拓展延伸】（1）BE=12【分析】问题情境：根据角平分线的定义得到∠AOC=∠BOC，根据垂直的性质得到∠ACO=∠BCO=90°，再利用ASA证明△AOC≌△BOC即可；类比解答：延长AE交BC于点F，由问题情境可知：△FCE≌△ACE，得到∠EFC=∠EAC=63°，再利用三角形外角的性质即可求解；拓展延伸：（1）延长BE与CA交于点F，利用ASA证明△ABF≌△ACD，得到BF=CD，由问题情境可知：△BCE≌△FCE，则有BE=FE=12BF，即可得出结论；（2）过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，交AB于点H，同理（1）中的方法可证△HBG≌△HDF，得到BG=FD【详解】解：问题情境：∵OP平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC，∵AC⊥OP，∴∠ACO=∠BCO=90°，在△AOC和△BOC中，∠AOC=∠BOC∴△AOC≌△BOCASA∴AO=BO，AC=BC．故答案为：ASA；类比解答：延长AE交BC于点F，由问题情境可知：△FCE≌△ACE，∴∠EFC=∠EAC=63°，∵∠EFC=∠B+∠DAE∴∠DAE=∠EFC−∠B=63°−38°=25°；故答案为：25°；拓展延伸：（1）BE=1如图，延长BE与CA交于点F，∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BED=∠BAC，∠BAF=90°，又∵∠BDE=∠ADC，∴∠EBD=∠ACD，即∠ABF=∠ACD，又∵∠BAF=∠CAD=90°，AB=AC，∴△ABF≌△ACDASA∴BF=CD，由问题情境可知：△BCE≌△FCE，∴BE=FE=1∴BE=1（2）如图，过点D作DG∥AC，交BE的延长线于点G，交AB于点∵DG∥∴∠GDB=∠C，∠BHD=∠BAC=90°，∵∠EDB=1∴∠EDB=1∴∠EDB=∠EDG，同理（1）中的方法可得△HBG≌△HDF，∴BG=FD，由问题情境可知：△BDE≌△GDE，∴BE=GE=1∴BE=1故答案为：BE=1【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义以及平行线的性质，利用角平分线构造全等三角形是解题的关键．11．(1)见解析(2)见解析(3)9【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的定义，证明三角形全等是解题的关键．（1）根据角的转换证明∠AOC=∠BOD，再利用SAS证明△AOC≌△BOD即可得证；（2）根据△AOC≌△BOD可得AC=DB，∠ACO=∠BDO，再利用SAS证明△CEO≌△DFO，则OE=OF，再根据等腰三角形的判定和性质即可得证；（3）延长DA，过点C作CH⊥AD交AD延长线于点H，过点A作AM⊥AC交CD于点M，过点M作NM⊥AD于点N，证明△CHA≌△ANM可得CH=AN，再根据角的转换和等腰三角形的判断和性质可得AM=MD，再根据三线合一可得AN=ND=12AD=3【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD，∴∠AOB−∠AOD=∠COD−∠AOD，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；（2）证明：∵△AOC≌△BOD，∴AC=DB，∠ACO=∠BDO，∵E，F分别为AC，BD的中点，∴CE=12AC∴CE=DF，在△CEO和△DFO中，CE=DF∠ACO=∠BDO∴△CEO≌△DFOSAS∴OE=OF，又∵点G是线段EF的中点，∴∠EOG=∠GOF，∴OG平分∠EOF；（3）解：如图，延长DA，过点C作CH⊥AD交AD延长线于点H，过点A作AM⊥AC交CD于点M，过点M作NM⊥AD于点N，∴∠CHA=∠ANM=90°，∠CAM=90°，∵∠ACD=45°，∴∠CMA=∠ACD=45°，∠CAH+∠MAN=90°，∴AC=AM，又∵∠ACH+∠CAH=90°，∴∠ACH=∠MAN，在△CHA和△ANM中，∠ACH=∠MAN∠CHA=∠ANM∴△CHA≌△ANMAAS∴CH=AN，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OAB=∠B，∠OCD=∠ODC，∵∠AOB=∠COD，∴∠OAB=∠B=∠OCD=∠ODC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠B，∴∠OAB=∠B=∠OCD=∠ODC=∠OAC，∴∠CPO=∠CAP+∠ACP=∠PDO+∠POD，∴∠POD=∠ACP=45°∵OB⊥OC，∴∠COD=90°，∴∠COA=∠BOD=22.5°，∵∠CPA=∠COP+∠PCO=∠PDA+∠PAD，∠OCP=∠PAD，∴∠PDA=∠COP=22.5°，∵∠CMA=∠MAD+∠MDA=45°，∴∠MAD=∠MDA=22.5°，∴AM=MD，∵NM⊥AD，∴AN=ND=1∴CH=AN=3，∴S12．【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】CD=AB+AC【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】解：【方法初探】证明过程如下，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE．在△ADB和△ADE中，DB=DE∴△ADB≌△ADE(SAS∴AB=AE，∠B=∠AED．∵CD=DB+AB，∴CD=DE+AE=DE+CE，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C．∵∠AED=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠B=∠AED=2∠C，即∠B=2∠C．【方法应用】证明：如图，在BD上取一点F，使得AF=AD，又∵∠ADB=60°，∴△AFD是等边三角形，∴AF=AD=DF，∠FAD=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC−∠FAE=∠FAD−∠FAE，即∠BAF=∠CAD．在△BAF和△CAD中，AB=AC∴△BAF≌△CAD(SAS∴BF=CD，∴BD=BF+FD=CD+AD，即BD=AD+CD．【实际应用】解：CD=AB+AC，理由：如图，在BA的延长线上取一点G，AG=AC，连接DG，∵AD为∠BAC的补角的角平分线，即AD平分∠CAG，∴∠GAD=∠CAD．在△GAD和△CAD中，AG=AC∴△GAD≌△CAD(SAS∴GD=CD，∠AGD=∠ACD．∵∠AGD=180°−∠B−∠GDB，∠ACD=180°−∠ACB，∴180°−∠B−∠GDB=180°−∠ACB，∴∠B+∠GDB=∠ACB．∵∠ACB=2∠B，∴∠B+∠GDB=2∠B，∴∠GDB=∠B，∴GD=GB=AB+AG=AB+AC．又∵GD=CD，∴CD=AB+AC．13．(1)①见解析；②2(2)4【分析】（1）①根据等边三角形的性质证明△PAC≌△MBCSAS②过点P作PT⊥AC于点T，证明△PCT≌△MCHAAS得CT=CH=3，进而得出AT=AC−CT=5，AP=2AT=10，再利用线段的和差即可求出BP（2）如图，过点Q作QD⊥AB于D，作射线CM，过点B作BE⊥CM于E，证明△CQM≌△DPQSAS得∠QCM=∠PDQ=90°，从而得出∠BCM=∠QCM−∠ACB=30°，则点M在与BC成30°【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，∵△MPQ是等边三角形，点Q与点C重合，∴△MPC是等边三角形，∴PC=MC，∠PCM=60°，∴∠ACB=∠PCM，∴∠ACB+∠PCB=∠PCM+∠PCB，∴∠PCA=∠MCB，在△PAC和△MBC中，AC=BC∠PCA=∠MCB∴△PAC≌△MBCSAS∴AP=BM；②解：如图，过点P作PT⊥AC于点T，∴∠PTC=∠PTA=90°，∵MH⊥CB，CH=3，∴∠PTC=90°=∠MHC，由①知：PC=MC，∠PCA=∠MCB，即∠PCT=∠MCH，在△PCT和△MCH中，∠PTC=∠MHC∠PCT=∠MCH∴△PCT≌△MCHAAS∴CT=CH=3，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴∠A=60°，AC=AB=8，∴∠APT=90°−∠A=90°−60°=30°，AT=AC−CT=8−3=5，∴AP=2AT=2×5=10，∴BP=AP−AB=10−8=2；（2）解：如图，过点Q作QD⊥AB于D，作射线CM，过点B作BE⊥CM于E，∴∠ADQ=90°，∠BEC=90°，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC=8，∴∠AQD=90°−∠A=30°，∠DPQ+∠AQP=180°−∠A=120°，∴AQ=2AD，∵AQ=2BP，∴AD=BP，∴DP=AB−AD−BP=AB−2BP=AC−AQ=CQ，∵△MPQ是等边三角形，∴∠PQM=60°，QM=PQ，∴∠CQM+∠AQP=180°−∠PQM=120°，∴∠CQM=∠DPQ，在△CQM和△DPQ中，CQ=DP∠CQM=∠DPQ∴△CQM≌△DPQSAS∴∠QCM=∠PDQ=90°，∴∠BCM=∠QCM−∠ACB=90°−60°=30°，∴点M在与BC成30°夹角的定直线上运动，∴当点M在E处时，BM最小，∵∠BEC=90°，∠BCM=30°，BC=8，∴BE=1∴BM的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余、垂线段最短等知识，通过作辅助线构造全等三角形、确定点M的运动路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．14．(1)见解析(2)CE=2AG，证明见解析(3)AE=1【分析】（1）连接EF，设∠A=α，则∠EDF=180°−2α，则∠EDA=2α，由DE=DF得到∠DEF=∠DFE，∠DEF=∠DFE=α，故∠A=∠EFD=α，由互余关系得到∠C=∠EFC=90°−α，故EC=EF，即可得到EA=EC；（2）过点D作DM⊥AB交AC于点M，连接FM，则△AGD，△ADM,△DGM均为等腰直角三角形，那么AG=GD=GM,AD=DM，证明△ADE≌△MDFSAS，则AE=MF,∠A=∠4=45°，可得△CMF也为等腰直角三角形，则CM=MF=AE（3）在AC上取点N，连接DN，使得DN=DA，连接FN，设∠A=α，证明△DEA≌△DFNSAS，则∠DNF=∠A=α，AE=FN，取KC的中点P，连接FP，由∠ABC=90°,FK∥AB得到∠KFC=∠B=90°,∠CKF=∠A=α，则PF=PK=12KC，导角得到FP=FN，则【详解】（1）证明：连接EF，设∠A=α∵2∠A+∠EDF=180°∴∠EDF=180°−2α，∴∠EDA=180°−∠EDF=2α，∵DE=DF∴∠DEF=∠DFE，∵∠EDA=∠DEF+∠DFE，∴∠DEF=∠DFE=α，∴∠A=∠EFD=α，∴EA=EF，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠EFC=90°−α，∴EC=EF，∴EA=EC，∴点E是线段AC中点；（2）解：CE=2AG，理由如下：证明，补全如图，过点D作DM⊥AB交AC于点M，连接FM，∵∠ABC=90°,∠A=45°，DG⊥AC，∴∠3=45°=∠C，∴△AGD，△ADM,△DGM均为等腰直角三角形，∴AG=GD=GM,AD=DM，∵2∠A+∠EDF=180°，∠A=45°∴∠EDF=90°=∠ADM，∴∠1=∠2，∵DE=DF，∴△ADE≌△MDFSAS∴AE=MF,∠A=∠4=45°，∴∠FMA=∠3+∠4=90°，∵∠C=45°∴△CMF也为等腰直角三角形，∴CM=MF，∴CM=MF=AE∵CE=CM+ME=CM+MG+EG，CM=AE,MG=AG，∴CE=AE+EG+AG=2AG；（3）解：AE=1证明：在AC上取点N，连接DN，使得DN=DA，连接FN设∠A=α∵DN=DA，∴∠DNA=∠A=α∴∠ADN=180°−∠A−∠DNA=180°−2α，∵2∠A+∠EDF=180°∴∠EDF=180°−2α，∴∠EDF=∠ADN，∴∠1=∠2，∵DE=DF，∴△DEA≌△DFNSAS∴∠DNF=∠A=α，AE=FN∴∠FNA=2α，取KC的中点P，连接FP，∵∠ABC=90°,FK∥AB，∴∠KFC=∠B=90°,∠CKF=∠A=α，∴PF=PK=1∴∠PKF=∠PFK=α，∴∠FPN=∠PKF+∠PFK=2α，∴∠FPN=∠FNA，∴FP=FN，∴AE=FP，∴AE=1【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，外角定理，直角三角形的性质，难度较大，正确条件辅助线是解题的关键．15．(1)30(2)见解析(3)∠BGD=90°或∠BGD=45°+12α或【分析】（1）先求出∠AED=180°−∠CED=105°，再利用翻折即可得出答案；（2）根据角平分线的定义得出∠FDG=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，则∠ADF=180°−2β，根据翻折得出∠ADE=∠FDE=90°−β，再求出∠EMD=180°−∠EDF+∠DEC（3）分情况：①当ED∥BC，②当DF∥BC，③当EF∥BC，④当DF∥BC时，DF在AB的下方，⑤当EF∥BC时，【详解】（1）解：∵∠CED=75°，∴∠AED=180°−∠CED=105°，∵翻折，∴∠AED=∠DEF=105°，∴∠CEF=∠FED−∠CED=105°−75°=30°；（2）解：∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠FDG=∠BDG，∵∠CED=∠BDG，设∠FDG=∠BDG=β，∴∠ADF=180°−∠BDF=180°−2β，∵翻折，∴∠ADE=∠FDE=1∴∠EDF+∠DEC=90°−β+β=90°，∴∠EMD=180°−∠EDF+∠DEC∵∠C=90°，∴∠EMD=∠C，∴BC∥DF；（3）解：①当ED∥BC，如图①所示：

∴∠1=∠C=90°，∵∠A=α，∴∠2=180°−∠2−∠A=90°−α，∵翻折，∴∠3=∠2=90°−α，∴∠FDB=180°−∠2−∠3=2α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠4=1∵∠B=90°−α，∴∠BGD=180°−∠B−∠4=90°；②当DF∥BC，如图②所示：

∴∠1=∠C=90°，∴∠ADF=180°−∠1−∠A=90°−α，∴∠FDB=180°−∠ADF=90°+α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠2=1∵∠B=90°−α，∴∠BGD=180°−∠B−∠2=45°+1③当EF∥

∴∠1=∠C=90°，∵翻折，∠F=∠A=α，∴∠2=∠1+∠F=90°+α，∴∠FDB=∠A+∠2=90°+2α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠GDB=1∵∠B=90°−α，∴∠BGD=180°−∠B−∠GDB=45°；④当DF∥BC时，DF在AB的下方，如图④所示：

∴∠FDB=∠A=90°−α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠GDB=1∴∠BGD=∠1−∠GDB=45°−1⑤当EF∥BC时，F在

∴∠1=∠2=90°−α，∵翻折，∠F=∠A=α，∴∠FDB=∠1−∠F=90°−2α，∵∠BDF的平分线交线段BC于点G，∴∠GDB=1∴∠BGD=∠2−∠GDB=45°；综上所述，∠BGD=90°或∠BGD=45°+12α或∠BGD=45°【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，翻折，三角形内角和定理，角的平分线的定义，注意分情况讨论是解（3）题的关键．16．(1)①见解析；②AD=DE+BE；③6；(2)28或16【分析】（1）①由∠ACB=90°且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E可知，∠CBE=∠ACD即可证；②证明△ADC≌△CBE(AAS)，得出③证明△ADC≌△CBE(AAS)，得出BE=CD，（2）分两种情况：①当∠CAD=90°时；如图；过A点作AE⊥BC交BC于点E，过点D作EA的延长线的垂线交于点F；②当∠ACD=90°时；如图；过A点作AN⊥BC交BC于点E，过点D作BC的延长线的垂线交于点M；【详解】（1）解：①∵∠ACB=90°且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(②AD=DE+BE∵∠ACB=90°且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(∴BE=CD，∵CE=CD+DE∴AD=DE+BE③DE=6∵∠ACB=90°且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠ADC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△ADC与△CEB中；∠BEC=∠ADC∠CBE=∠ACD∴△ADC≌△CBE(∴BE=CD，∴CD=CE+DE∴DE=CD−CE=BE−AD=11−5=6∴DE=6（2）①当∠CAD=90°时；如图；过A点作AE⊥BC交BC于点E，过点D作EA的延长线的垂线交于点F；∵S△ABC=12∴AE=12÷1∵AB=AC，BC=8∴BE=EC=1∵以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD∴AD=AC，∠CAD=90°∴由（1）可得△AEC≌△DFA(∴AF=EC=4；∴EF=3+4=7∴S②当∠ACD=90°时；如图；过A点作AN⊥BC交BC于点E，过点D作BC的延长线的垂线交于点M；∵S△ABC=12∴AN=12÷1∵AB=AC，BC=8∴BN=NC=1∵以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD∴CD=AC，∠ACD=90°∴由（1）可得△ANC≌△DMC(∴DM=NC=4；∴S△BCD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等相关问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．17．(1)60°(2)见详解(3)4【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，证明△CBD≌△ACESAS，由全等三角形的性质得出∠BCD=∠CAE，根据角和关系得出∠BCD+∠ACF=60°，等量代换可得出∠CAE+∠ACF=60°，再根据三角形外角的定义和性质得出∠AFD=∠CAE+∠ACD（2）延长AE到H，使FH=AF，先证明△AFM≌△HFBSAS，由全等三角形的性质得出∠FAM=∠H，再证明△ANC≌△BHAAAS，由全等三角形的性质得出CN=AH=2AF，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出∠AFG=180°−∠CAE−∠AGF=60°+α=∠AGF，根据等角对等边得出AF=AG，即可得出（3）过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1，过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，设NH=h，AH1=h1和CH2=h2，根据等边三角形得AH1=CH2，即h【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，在△CBD和△ACE中，BD=CE∠B=∠ACE∴△CBD≌△ACE∴∠BCD=∠CAE，又∵∠BCD+∠ACF=60°，∴∠CAE+∠ACF=60°，∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°；（2）证明：延长AE到H，使FH=AF，连接BH，如图，又∵MF=BF，∠BFH=∠MFA，∴△AFM≌△HFBSAS∴∠FAM=∠H，又∵∠NAM=∠FAM+∠NAF=120°，∠AFD=60°，∴∠NAF+∠ANC=120°，∴∠FAM=∠ANC，∴∠H=∠ANC，∵∠ACF=2∠CBG，∴设∠CBG=α，则∠ACN=2α，∴∠BCD=60°−2α，由（1）知∠BCD=∠CAE，∴∠CAE=∠BCD=60°−2α，∴∠BAH=∠BAC−∠CAE=60°−又∵AB=AC，∴△ANC≌△BHAAAS∴CN=AH=2AF，∵∠CBG=α，∠BCD=60°−2α，∴∠CFG=∠CBG+∠BCD=60°−α，∴∠AGF=∠CFG+∠ACN=60°+α，∵∠CAE=∠BCD=60°−2α，∴∠AFG=180°−∠CAE−∠AGF=60°+α=∠AGF，∴AF=AG，∴CN=AH=2AF=2AG（3）解：过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1，过点C作CH设NH=h，AH1=∵△ABC为等边三角形，∴AH1=C由△AFM≌△HFB，∴S△ABM∵△ABM的面积为2，∴S△ABM∵△ANC≌△BHA，∴S△ANC∵∠CBG=α，∴∠ABG=60°−α，∵∠AFD=60°，∠AFG=60°+α，∴∠BFD=∠CFG=180°−∠DFA−∠AFG=60°−α，∴∠ABG=∠BFD，则DF=DB，由（2）AF=AG，∵AF+GC=DF+1，∴AG+GC=DF+1，即AC=DF+1，∵AC=AB，∴AB=DB+1=AD+DB，∴AD=1，∵S△ANC∴h+h∴h+h则点A到BC的距离与点N到AB的距离之和4．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法．18．(1)AE=BD；60°(2)FH∥(3)成立．证明见解析(4)见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．（1）根据等边三角形的性质得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，证明△ACE≌△BCD，即可得到AE=BD,∠EAC=∠DBC，进而根据三角形内角和计算即可；（2）同（1）可证△ACE≌△BCD，得到∠CAE=∠CBD，进而证明△CAH≌△CBF，根据等边三角形的判定和性质求出∠CHF=60°，得到∠DCE=∠CHF，即可证明FH∥（3）如图，设BD与AC交于点O．根据等边三角形的性质得到AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，进而得到∠BCD=∠ACE，证明△BCD≌△ACE，得到BD=AE,∠CBD=∠CAE，进而计算即可；（4）连接CP，过点C作CM⊥BD,CN⊥AE，垂足分别为M，N，由（3）得△BCD≌△ACE，进而得到BD=AE,S△BCD=S△ACE【详解】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACD=60°,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE．在△ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD,∠EAC=∠DBC，∴∠APB=180°−∠BAP−∠ABP=180°−∠BAC−∠CAE−∠ABP=180°−∠BAC−∠BCD−∠ABP=180°−∠BAC−∠ABC=180°−60°−60°=60°，故答案为：AE=BD；60°；（2）同（1）可证△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD．在△CAH和△CBF中，∠CAH=∠CBFAC=BC∴△CAH≌△CBF(ASA)，∴CH=CF．∵∠FCH=60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF=60°，∴∠DCE=∠CHF，∴FH∥（3）成立．证明：如图，设B