《等比数列的前n项和公式（第1课时）》导学案学生版

4.3.2《等比数列的前n项和公式（第1课时）》导学案【学习目标】说出等比数列前n项和的定义，理解错位相减法的推导思路.掌握等比数列前n项和公式，能根据已知条件选择合适公式进行计算.能运用等比数列前n项和公式解决简单的实际问题，体会数学与实际生活的联系.归纳等比数列前n项和公式中各量之间的关系，提升逻辑推理和运算能力.【学习重点】等比数列前n项和公式的推导及应用，“知三求二”的基本运算.【学习难点】错位相减法的推导原理，灵活运用公式解决实际问题.学习任务一情境引入与问题思考【合作探究】国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏发明者，发明者提出：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子放2颗，第3个格子放4颗……依此类推，每个格子的麦粒数是前一个格子的2倍，直到第64个格子.”你觉得国王能满足这个要求吗？上述问题中，各格子的麦粒数构成了什么数列？该问题本质上是求这个数列的什么量？若把该数列记为，首项，公比，则前64项和如何表示？尝试写出表达式.类比等差数列前n项和公式的推导方法，你能想出求等比数列前n项和的思路吗？学习任务二等比数列前n项和公式的推导与理解【自主梳理】等比数列前n项和的定义：对于等比数列，其前n项和表示为，其中（为公比）.公式推导（错位相减法）：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，则：①两边同乘公比：②用①②，消去相同项： 当时，整理得前n项和公式：（或，其中）当时，等比数列各项都相等，前n项和公式为：公式适用条件：当时，使用或；当时，使用，此时数列是常数列.核心关系：等比数列的相关量包括（首项）、（第n项）、（公比）、（项数）、（前n项和），已知其中3个量，可求另外2个量，即“知三求二”.【合作探究】推导公式时，为什么要分和两种情况讨论？如果不分类讨论，能否直接推导公式？用错位相减法推导公式的关键步骤是什么？该方法适用于哪些数列求和？已知等比数列中，，，，求；若，，求.结合情境引入问题，计算，并根据以下数据判断国王能否实现诺言：1000颗麦粒约重40g；2016—2017年度世界小麦产量约7.5亿吨.学习任务三公式的应用与拓展【自主梳理】实际问题中的等比数列模型：价格升降、细胞繁殖、利率、增长率、分期付款等问题，常可抽象为等比数列模型，需明确首项、公比、项数，再代入公式计算.解题步骤：审题：判断问题是否为等比数列问题，明确求还是，确定已知量和未知量；建模：将文字语言转化为数学语言，列出等比数列的相关量；计算：代入合适的前n项和公式求解；检验：验证结果是否符合实际意义.【合作探究】某企业今年的产值为100万元，计划今后每年的产值比上一年增长10%，则该企业未来5年的总产值是多少万元？（精确到0.1万元）已知等比数列的前n项和，求k的值及数列的通项公式.比较等差数列和等比数列前n项和公式的推导方法及适用条件，填写下表：比较项目等差数列前n项和等比数列前n项和推导方法倒序相加法错位相减法公式形式或时，；时，关键区别与公差相关，无需分类讨论与公比相关，需分和【自查自纠】正误判断：等比数列前n项和公式对任意等比数列都适用（）若等比数列的公比，，则（）已知等比数列中，，，则（）若数列的前n项和，则是等比数列（）【典例】已知等比数列中，，，，求公比和项数.【习题巩固】等比数列中，，，则（）A. B. C. D.31已知等比数列的前3项和为1，前6项和为9，则公比（）A.2 B.-2 C.3 D.-3某商场第一年的营业额为500万元，若每年的营业额比上一年增长10%，则第5年的营业额是多少万元？前5年的总营业额是多少万元？（精确到1万元）已知等