对数函数的图象与性质+教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

.4.2对数函数的图象和性质教学目标1.经历利用描点法或信息技术画出具体对数函数的图象的过程，结合图象的位置、变化趋势及公共点，探索并归纳对数函数的性质，能说出对数函数的定义域、值域、单调性和特殊点，在这一过程中，发展直观想象素养，进一步体会利用直观图象和代数运算研究函数的方法。2.通过利用对数函数解决简单的实际问题的过程，发展数学建模素养.3.知道对数函数y=log.x与指数函数y=ax互为反函数(a>0，且a教学重点与难点教学重点：掌握对数函数y=log理解图象的关键特征,掌握对数函数的图象与性质。教学难点：‌①学生可以从多个具体对数函数的图象中，抽象概括出对数函数的共性性质（如单调性、定义域等），通过类比指数函数的研究方法，引导学生从“特殊到一般”归纳规律。‌②结合图象解决实际问题，如比较对数值大小、解不等式等，需灵活运用性质并结合数形结合思想。（三）教学过程设计情境引入：复习幂函数、指数函数研究路径，得出研究函数的一般套路：上节课研究了对数函数的概念，学生复习回答：一般的，函数y=logax(a>0且有了概念，类比指数函数，你将如何研究对数函数的图象和性质？具体研究的内容有哪些？·教师提出问题，引导学生回顾认识函数的一般路径：解析式→图像→性质。·学生回忆指数函数的研究思路，并回答：可以通过画出它的图像来直观认识。·教师肯定学生的回答，并指出：今天我们就用这样的方法来研究对数函数的图像和性质。·设计意图：·通过设问，激发学生的认知冲突和求知欲。·引导学生建立知识和方法的前后联系，明确本节课的研究路径，渗透“类比”和“数形结合”的思想。教学环节2：动手实践，初探图像·问题：请同学们在同一平面直角坐标系中，用描点法画出函数y=log2x·步骤1（列表）：教师引导全班共同完成两个函数的取值表。以y=log2x为例，共同计算x=1·步骤2（描点连线）：学生在坐标纸上描点，并用光滑的曲线连接。·步骤3（展示与质疑）：教师巡视，选取有代表性的作品（包括正确的和有问题的，如用折线连接、走势错误等）进行投影展示。追问：他们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数图象画出另一个的图象教师利用信息技术展示y=log3x,y=同样的办法总结0<·追问：类比指数函数图像和性质，你还能发现什么？·教师引导学生理解，(1,0)是对数函数图像的一个关键特征点。·设计意图：·通过动手操作，让学生亲身经历图像的生成过程，积累基本的数学活动经验。·通过展示和质疑，强化“描点法”作图的标准流程，纠正可能出现的错误，培养学生严谨的科学态度。·通过追问，引导学生关注核心特征点，为归纳性质埋下伏笔。教学环节3：观察对比，归纳性质·问题：请大家仔细观察你们画出的两个函数的图像，它们有哪些共同的特征？又有哪些明显的差异？请尝试从代数性质的角度进行概括。·学生先独立思考，然后小组讨论，填写预设的表格（如下）。项目0<a<1a>1图象定义域值域性质单调性奇偶性定点·小组代表发言，教师板书学生的发现，并引导其他小组补充。·追问1：为什么这两个函数的定义域都是(0,+∞)？从图像上看，它们能跑到y轴的左边吗？·师生活动：引导学生从解析式y=logₐx中，真数x>0的角度理解，并从图像上直观验证。·追问2：它们的单调性有何不同？这与什么有关？·师生活动：引导学生将单调性与底数a的值联系起来，明确a>1时递增，0<a<1时递减，渗透分类讨论思想。·追问3：它们的图像有什么样的位置关系？你能从解析式的角度解释吗？·师生活动：学生可能观察到图像关于x轴对称。教师可引导学生思考y=log12·设计意图：·将直观的图像特征转化为抽象的代数语言，培养学生的概括能力和数学语言表达能力。·通过系列追问，引导学生深入思考性质背后的数学原理，突破难点。·表格化的处理，使得性质对比清晰，便于学生构建系统化的知识网络。教学环节4：应用性质，解决问题·问题：现在，我们已经成为对数函数的“知情人”，能利用它们的性质来解决一些问题吗？例3、1.比较下列各组中两个值的大小：(1)log23.4(2)log0.31.8(3)loga5.12、解下列不等式⑴log17(2x−5)·学生独立完成，并请两名学生板演。·对于第1、2题，教师引导学生口述判断依据：直接利用函数的单调性。·对于第3题，教师引导学生回顾求解复合对数型函数定义域的方法：真数大于0。并强调解不等式时需注意的细节。·追问：在比较logₐM和logₐN的大小时，我们的核心判断依据是什么？如果底数a不确定，又该怎么办？·师生活动：引导学生总结出“底数相同，利用单调性；底数不同，寻求中间量或画图分析”的策略，为后续学习设下伏笔。·设计意图：·及时巩固新知，检验学生对对数函数性质的理解和应用能力。·通过例题，训练学生运用性质进行逻辑推理和代数运算的基本技能。·追问旨在引导学生提炼解题方法和策略，培养其化归思想和解决问题的能力。溶液酸碱度的测量。溶液酸碱度是通过pH计量的。pH的计算公式为pH=−lg[H+]（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）一直纯净水中氢离子的浓度为[H问题：公式中自变量是什么？因变量是什么？师生活动：教师引导,学生得出结论，指出这个公式可以看成是pH关于[HpH=−lg[H追问：这个函数可以看成是以谁为底的对数函数？底数与1的关系如何？这个函数单调性如何？学生代表回答问题刚才我们解决了来自化学的实际问题，性质我们把目光转回纯粹的数学。提问1.我们之前学习了指数与对数间的关系，由y=(12通常我们用x表示自变量，y表示函数，为此，把x=log57301追问：通过这个具体的例子，你认为“两个函数互为反函数”最显著的特征是什么？请同学们总结结论师生活动：学生总结核心特征：1.定义域与值域互换。2.由同一个基本的数学关系（如指数与对数互化）所联系。引导学生从具体例子中提炼、概括出反函数的本质属性，实现知识的內化和迁移，为后续学习一般化的反函数性质打下基础。设计意图：通过问题解决学生符号习惯带来的认知障碍。强调“改写”的实质是“重命名”，不改变函数本质，这是理解上的一个易错点。追问旨在引导学生进行元认知回顾，从具体实例中抽离出普遍规律，完成整个概念的建构过程。追问：课本P135“探究”，学生总结回答。如果同学们对反函数的学习还有需求或兴趣，可以引导他们去研究“探索与发现”中的问题，从而进一步了解互为反函数的两个函数图象间的关系。教学环节5：课堂小结，布置作业课堂小结：问题：通过本节课的学习，你有哪些收获？（知识、方法、思想）·师生活动：·学生自由发言，教师从知识（图像与性质）、方法（数形结合、分类讨论、从特殊到一般）、思想（函数思想）等方面进行总结提升。·教师强调：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。这是我们下节课要深入探究的内容。·设计意图：·引导学生从多维度回顾整节课的内容，构建完整的认知结构。·设置悬念，激发学生对后续内容的学习兴趣。（2）目标检测设计1．函数是对数函数，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．32．已知对数函数（且）的图象过点，则（

）A． B． C．2 D．43.函数的图象恒过定点A，则A点的坐标为（

）A． B． C． D．4.比较下列各题中两个数的大小①lg0.6,lg0.8②log0.56,log5.不等式的解集为.(3)课后作业（分层）基础巩固：1