倾斜角与斜率课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

.1.1倾斜角与斜率一、选择题1．(多选)在下列四个命题中，正确的有()A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π)C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45°D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝()A．33 C．－33 D．－3．已知直线l的斜率的范围为[－1，1]，则直线l的倾斜角α的取值范围为()A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°B．45°≤α≤135°C．45°＜α＜135°D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°4．直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，其图象如图所示，则下列结论正确的是()A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k15．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84m，|OA1|＝78m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为()A．13 C．4239 6．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是()A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k17．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈−33−1，3A．π6，C．π6，二、填空题8．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．9．已知直线l的方向向量n＝(2，－23)，则直线l的倾斜角为________．10．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．11．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则m的值为________．12．已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则yx−1三、解答题13．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时：(1)直线l与x轴平行？(2)直线l与y轴平行？(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)?(4)直线l的倾斜角为45°？(5)直线l的倾斜角为锐角？14．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．答案解析1．BCD[对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，故坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率不成立，故A错误；对于B，直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确；对于C，由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的倾斜角为45°，故C正确；对于D，与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．故选BCD．]2．D[设直线斜率为k，则k＝tan120°＝y−03−2＝y3．D[由直线l的斜率的范围为[－1，1]，0°≤α<180°，故倾斜角α的范围为0°≤α≤45°或135°≤α<180°．故选D．]4．C[由k＝tanα，结合y＝tanx的函数图象，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2对应的倾斜角都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3．故选C．]5．B[如图，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84m，|OA1|＝78m，且|PiPi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i＝1，2，3，…，9)均为18m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240m，即点A10(240，0)，同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)，所以kB10P10＝120−00＋2406．ACD[由k＝tanx在0，π2且当x∈0，π2时，k>0；当x∈π2，π时若0<θ1<θ2<θ3<π2，或π2<θ1<θ2<θ3<π，则k1<k2<k3，故A若0<θ1<θ2<π2<θ3<π，则k3<k1<k2，故C正确若0<θ1<π2<θ2<θ3<π，则k2<k3<k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立故选ACD．]7．D[因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈−3当m＝－1时，m＝－1∈−33−1，3当m≠－1时，直线的斜率k＝3−2m可得m＋1∈−33，3，可得k＝1m＋1≥33或k≤－3，即tanα≥33或tanα≤－3，可得综上所述，直线的倾斜角α∈π6故选D．]8．135°[设直线l2的倾斜角为α2，直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1与l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，故α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°．]9．2π3[由于直线l的方向向量n＝(2，－23)，则直线l的斜率为−2设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝－3，θ∈[0，π)，∴θ＝2π3．10．－12[设点P(a，b)是直线l上的一点将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P'(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝(b−2)−11．4[由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1，所以kAC＝(−m＋3)−4m−(−1)，k所以(−m＋3)−4m−(−1)整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4．]12．(－∞，－1]∪[3，＋∞)[由题意，yx−1表示点P(x，y)与点Q(1，0)因为点P(x，y)在线段AB上，A(2，3)，B(－1，2)，所以kAQ＝3−02−1＝3，kBQ＝2−0−1−1＝－1，kPQ＝所以kPQ＝yx−1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞即yx−1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)13．解：(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，即1−mm−(−1)＝0，(2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以m＝－1．(3)直线l的一个方向向量的坐标为(3，1)，故k＝13，即1−mm−(−1)＝1(4)由题意可知，直线l的斜率k＝1，即1−mm−(−1)＝1，(5)由题意可知，直线l的斜率k>0，即1−mm−(−1)>0，解得14．解