2025年CFA考试《数量方法》专项训练卷

2025年CFA考试《数量方法》专项训练卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、假设一个投资组合包含两种资产，资产A的预期收益率为12%，标准差为15%；资产B的预期收益率为8%，标准差为10%。两种资产的协方差为正0.0125。如果投资组合中资产A的权重为60%，资产B的权重为40%，计算该投资组合的预期收益率和标准差。二、根据以下样本数据，计算样本均值、样本方差和样本标准差：4,7,9,15,12,8,11三、某公司正在考虑是否投资一个新项目。已知该项目成功的概率为70%，成功时净现值（NPV）为1000万元；失败的概率为30%，失败时净现值（NPV）为-500万元。计算该项目的期望净现值和方差。四、简述贝叶斯定理的基本思想及其在投资分析中可能的应用。五、解释什么是正态分布。假设某股票的日收益率服从正态分布，其平均日收益率为1%，标准差为3%。计算该股票日收益率超过5%的概率。六、从一副标准的52张扑克牌（去掉大小王）中随机抽取一张牌，记下花色后放回，再抽取一张牌。计算两次都抽到红桃的概率。如果改为不放回抽样，两次都抽到红桃的概率是多少？七、某分析师对某股票的收益率进行了回归分析，得到以下结果（括号内为标准误）：收益率=0.5+1.2*市场指数（0.3）（0.4）R-squared=0.65，样本量为100。解释回归系数1.2的经济含义，并检验该系数是否在95%的置信水平下显著异于0。八、描述移动平均法和指数平滑法这两种时间序列平滑技术的区别。指出哪种方法更适用于具有较强趋势性的时间序列数据。九、解释假设检验中的第一类错误和第二类错误。为什么说降低第一类错误的概率通常会提高第二类错误的概率？十、某分析师估计，某股票的月收益率的标准差为20%。如果假设月收益率服从正态分布，计算该股票月收益率在平均值加减1个标准差范围内的概率。十一、解释相关系数和协方差在衡量两个随机变量之间线性关系强度方面的区别。十二、在进行线性回归分析时，为什么需要检验回归模型的整体显著性（例如，通过F检验）？试卷答案一、*预期收益率(E(Rp)):E(Rp)=wA*E(RA)+wB*E(RB)=0.60*12%+0.40*8%=7.2%+3.2%=10.4%*投资组合方差(σp²):σp²=wA²*σA²+wB²*σB²+2*wA*wB*Cov(A,B)=(0.60)²*(15%)²+(0.40)²*(10%)²+2*0.60*0.40*0.0125=0.36*0.0225+0.16*0.01+0.048*0.0125=0.0081+0.0016+0.0006=0.0103*投资组合标准差(σp):σp=√0.0103≈10.15%二、*样本均值(x̄):x̄=(4+7+9+15+12+8+11)/7=66/7≈9.43*样本方差(s²):s²=[Σ(xi-x̄)²]/(n-1)=[(4-9.43)²+(7-9.43)²+(9-9.43)²+(15-9.43)²+(12-9.43)²+(8-9.43)²+(11-9.43)²]/6=[28.06+5.94+0.19+32.46+7.10+1.94+2.46]/6=77.15/6≈12.86*样本标准差(s):s=√12.86≈3.58三、*期望净现值(E[NPV]):E[NPV]=0.70*1000+0.30*(-500)=700-150=550万元*方差(Var[NPV]):Var[NPV]=(0.70*(1000-550)²)+(0.30*(-500-550)²)=(0.70*455²)+(0.30*(-1050)²)=(0.70*207025)+(0.30*1102500)=145115+330750=475865(万元²)四、贝叶斯定理描述了在给定一些新信息（证据）后，对某个事件先验概率进行修正后得到后验概率的过程。其公式为P(A|B)=[P(B|A)*P(A)]/P(B)。在投资分析中，它可以用于根据市场的最新变化（B，证据）更新对某个投资策略或资产未来表现（A，假设）的概率估计（P(A|B)），例如根据新的宏观经济数据更新对某股票上涨概率的判断。五、正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形，关于均值对称，且均值、中位数和众数相等。大部分数据集中在均值附近，越远离均值，概率密度越小。计算概率需要知道均值(μ=1%)和标准差(σ=3%)。Z=(X-μ)/σ=(5%-1%)/3%=4/3≈1.33查找标准正态分布表或使用计算器，P(Z>1.33)=1-P(Z≤1.33)≈1-0.9082=0.0918。概率约为9.18%。六、*放回抽样:每次抽到红桃的概率为13/52=1/4。P(两次红桃)=P(第一次红桃)*P(第二次红桃)=(1/4)*(1/4)=1/16*不放回抽样:第一次抽到红桃的概率为13/52=1/4。抽走一张红桃后，剩下51张牌，其中12张是红桃。P(两次红桃)=P(第一次红桃)*P(第二次红桃|第一次红桃)=(1/4)*(12/51)=12/(4*51)=3/51=1/17七、*经济含义:回归系数1.2表示，当市场指数每变化一个单位（例如1%）时，该股票的收益率平均变化1.2%。它反映了该股票收益率对市场指数变动的敏感度或弹性。*显著性检验(t-test):*零假设H0:β1=0(股票收益率与市场指数无关)*备择假设H1:β1≠0(股票收益率与市场指数相关)*检验统计量t=β1/s(β1)=1.2/0.4=3.0*自由度df=n-2=100-2=98。*查t分布表或使用计算器，在95%置信水平（双边检验，α=0.05），df=98时，临界值约为±2.00。*由于|t|=3.0>2.00，拒绝零假设H0。*结论：该系数在95%的置信水平下显著异于0，表明市场指数对该股票收益率有显著影响。八、移动平均法是对过去N期数据计算平均值，将最新数据纳入计算并剔除最旧数据，形成一个移动的均值序列。指数平滑法给近期数据更高的权重（通过平滑常数α），给较早数据递减的权重。移动平均法对近期变化反应较慢，指数平滑法反应更快。移动平均法更适用于数据平滑和去除季节性波动，而指数平滑法（尤其是带有趋势和季节性调整的）更适用于具有较强趋势性的时间序列数据的预测。九、第一类错误是指在原假设H0实际上为真时，错误地拒绝了H0，即“以真为假”。犯第一类错误的概率用α表示。第二类错误是指在原假设H0实际上为假时，错误地未能拒绝H0，即“以假为真”。犯第二类错误的概率用β表示。在固定的样本量和显著性水平α下，降低α（减少第一类错误的可能性）通常意味着检验统计量的临界值会变得更严格，从而增加了未能检测出真实差异（即犯第二类错误）的可能性（β会增大）。反之亦然。十、根据正态分布特性，约68%的数据落在平均值加减1个标准差（μ±σ）的范围内。因此，该股票月收益率在平均值加减1个标准差（即1%±20%）范围内的概率约为68%。十一、相关系数(ρ或r)是一个介于-1和+1之间的标准化指标，用于衡量两个随机变量X和Y之间线性关系的强度和方向。其计算考虑了变量的量纲和标准差，值域固定。协方差(Cov(X,Y))反映了两个随机变量的联合变动程度，其数值大小与变量的量纲和标准差相关，没有固定的量纲和界限，无法直接比较不同变量组之间的相关强度。相关系数消除了量纲影响，更适合比较不同变量间的线性相关程度。|ρ|越接近1，线性关系越强；|ρ|越接近0，线性关系越弱。Cov(X,Y)的符号表示同向或反向变动，但大小难以直接比较。十二、线性回归模型的整体显著性检验（通常用F检验）旨在判断整个回归方程是否具有统计学意义，即自变量（解释变量）的整体组合是否能