山东省淄博市张店区科技苑中学2025-2026学年上学期八年级月考数学试卷（五四制）（学生版+答案版）

初三上月考数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．2．下列4道因式分解练习题①x2﹣x＝x（x+1），②a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4，③a2+b2﹣2ab＝（a+b）2，④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝3，EC＝2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4第3题图第5题图第6题图4．将分式xyx+y中的x，yA．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的15．某校足球队队员的年龄分布情况如所画条形图所示，那么下列关于该队队员年龄统计数据的说法正确的是（）A．年龄的平均数比16大 B．年龄的中位数比众数小 C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年年龄的方差比去年大 D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小6．如图，在△ABC中，将△ABC将绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别是点B′、C′，连接BB′，若∠ABB′＝54°，则旋转角的度数为（）A．84° B．72° C．58° D．36°7．关于x的分式方程mx−2+1A．﹣1 B．1 C．2 D．58．在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则∠C的度数为（）A．120° B．100° C．80° D．110°9．如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB＝5cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm第9题图第10题图第13题10．如图，△ABC是等边三角形，AB=83，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AFA．43 B．23+4 C．8二．填空题（共5小题，每题4分）11．若分式x+23−x的值为0，则x的值是12．1.23×512﹣1.23×492＝．13．如图，将透明直尺叠放在五个内角均相等的五边形ABCDE上，若直尺的下沿与边AE垂直于点A，与BC交于点F，则∠AFC的度数为．14．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是．15．在▱ABCD中，点E为CD的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF的长为．三．解答题（共8小题）16．（10分）（1）解方程：xx+2（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．化简：x2x2+2x+1解：原式=x2x＝……①若M是一个单项式，则这个单项式是x；②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“＝”后面继续写．原式=＝17．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）四边形DEBF是平行四边形．18．某初中为了解学生每周在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为，图①中m＝．（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据统计的数据，若该校共有800名学生，估计该校每周在校体育活动时间大于1h的学生人数．

19．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍．（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元，每个B种哪吒玩偶售价定为45元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？20．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）以原点O为旋转中心，作出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出点C3的坐标；（4）连接C1，C2，C3，求△C1C2C3的面积．

21．问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）．迁移应用：如图1，AB∥CD，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2．拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图）（1）如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由；（2）如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由．22．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上的一动点，以点D为旋转中心，把线段DA顺时针旋转60°，得到线段DF，过点F作FE⊥BC交BC的延长线于点E，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）在（1）补全的图形中的AC上截取CP，使CP＝BD，连接BP，FP，请判断四边形BDFP的形状，并说明理由；（3）若点M是线段CF的中点，连接AE，BM，线段AE与BM交于点O，求∠AOB的度数．

23．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，AM＝MD=2，AN＝CN＝22．（温馨提示：8=22），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△

初三上月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，B不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故选：D．2．下列4道因式分解练习题①x2﹣x＝x（x+1），②a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4，③a2+b2﹣2ab＝（a+b）2，④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣x＝x（x﹣1），错误，不符合题意；②a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），错误，不符合题意；③a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，错误，不符合题意；④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，符合题意；故选：A．3．如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝3，EC＝2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝3，EC＝2，∴BE＝BC﹣EC＝3﹣2＝1．故选：A．4．将分式xyx+y中的x，yA．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的1【解答】解：∵分式xyx+y中的x，y的值都变为原来的3倍，分式变为3x⋅3y3(x+y)=∴该分式的值扩大为原来的3倍．故选：A．5．某校足球队队员的年龄分布情况如所画条形图所示，那么下列关于该队队员年龄统计数据的说法正确的是（）A．年龄的平均数比16大 B．年龄的中位数比众数小 C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年年龄的方差比去年大 D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小【解答】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、15、15、15、15，16、16、16、17、17、18，A、平均数为：122B、中位数为：15+152C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，将△ABC将绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别是点B′、C′，连接BB′，若∠ABB′＝54°，则旋转角的度数为（）A．84° B．72° C．58° D．36°【解答】解：∵将△ABC将绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB′＝AB，∴∠AB′B＝∠ABB′＝54°，∵∠BAB′+∠AB′B+∠ABB′＝180°，∴∠BAB′+54°+54°＝180°，∴∠BAB′＝72°，∴旋转角的度数为72°，故选：B．7．关于x的分式方程mx−2+1A．﹣1 B．1 C．2 D．5【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得m﹣1＝x﹣2，解这个方程，得x＝m+1，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，即m+1﹣2＝0，解这个方程，得m＝1，那么（﹣1）m＝﹣1．故选：A．8．在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则∠C的度数为（）A．120° B．100° C．80° D．110°【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A，∠B的度数之比为5：4，∴∠A＝100°，∠B＝80°，∴∠C＝∠A＝100°故选：B．9．如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB＝5cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【解答】解：∵△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，AB＝5cm，AC＝6cm，∴EF=1∴四边形ADEF的周长为2（2.5+3）＝11（cm），故选：C．9．如图，△ABC是等边三角形，AB=83，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AFA．43 B．23+4 C．8【解答】解：如图，连接BE，延长EC到N，使EN＝BE，连接FN，过点A作AG⊥BC于G，过点A作AH⊥FN于H，∵△ABC是等边三角形，AB＝83，E是AC的中点，AG⊥BC，∴AC＝AB＝83，AE＝EC＝43，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝12＝EN，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∵∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠BED＝∠FEN，且DE＝EF，BE＝EN，∴△BED≌△NEF（SAS），∴∠EBC＝∠ENF＝30°，∴∠GAC＝∠ENF，∴AG∥NF，∴点F在过点N且平行于AG的直线上，∴当AF⊥FN时，AF的值最小，∵AH⊥FN，∠ENF＝30°，∴AH=12AN=12（4∴线段AF的最小值为23+故选：D．二．填空题（共5小题）11．若分式x+23−x的值为0，则x的值是﹣2【解答】解：依题意得：x+2＝0且3﹣x≠0，解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．12．1.23×512﹣1.23×492＝246．【解答】解：1.23×512﹣1.23×492＝1.23×（512﹣492）＝1.23×（51+49）×（51﹣49）＝1.23×100×2＝246，故答案为：246．13．如图，将透明直尺叠放在五个内角均相等的五边形ABCDE上，若直尺的下沿与边AE垂直于点A，与BC交于点F，则∠AFC的度数为126°．【解答】解：∵五边形ABCDE的五个内角均相等，∴∠B＝∠EAB=(5−2)×180°∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠FAB＝108°﹣90°＝18°，∴∠AFC＝18°+108°＝126°，故答案为：126°．14．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是61．【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG=12BDFG∥AC且FG=12AC∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF=E故答案为：61．15．在▱ABCD中，点E为CD的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF的长为34．【解答】解：连接BD，取BD中点M，连接ME，MF，∵E是CD中点，∴ME是△DBC的中位线，∴ME=12BC=12×同理：MF=12GD=12×∵DG⊥BC，∴四边形MNGF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴EF=M故答案为：34．三．解答题（共8小题）16．（1）解方程：xx+2（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．化简：x2x2+2x+1解：原式=x2x＝……①若M是一个单项式，则这个单项式是x；②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“＝”后面继续写．原式=＝【解答】（1）原方程去分母得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x=2经检验，x=2（2）①由计算步骤可得M＝x，故答案为：x；②原式==x=x2(x+1=117．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）四边形DEBF是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAF＝∠DCE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）证明：∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形．18．某初中为了解学生每周在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为40，图①中m＝25%．（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据统计的数据，若该校共有800名学生，估计该校每周在校体育活动时间大于1h的学生人数．【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），10÷40＝25%，即m＝25%，故答案为：40；25%；（2）在这组数据中，3h出现的次数最多是15次，因此众数是3，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是3，因此中位数是3，平均数为x=答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是3；（3）800×（20%+37.5%+25%+7.5%）＝800×90%＝720（人），答：大约有720人．19．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍．（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元，每个B种哪吒玩偶售价定为45元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设A种哪吒玩偶的单价为x元，则B种哪吒玩偶的单价为（x+10）元，根据题意得：2500x解得：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝30，答：A种哪吒玩偶的单价为20元，B种哪吒玩偶的单价为30元；（2）设玩具店购进A种玩偶m个，则购进B种哪吒玩偶（120﹣m）个，根据题意得：20m+30（120﹣m）≤3000，解得：m≥60，设总获利为w元，根据题意得：w＝（32﹣20）m+（45﹣30）（120﹣m）＝﹣3m+1800，∵﹣3＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝60时，w有最大值，最大值＝﹣3×60+1800＝1620元，此时，120﹣m＝60，答：A种哪吒玩偶购进60个，B种哪吒玩偶购进60个时获利最多，最大利润为1620元．20．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）以原点O为旋转中心，作出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出点C3的坐标；（4）连接C1，C2，C3，求△C1C2C3的面积．【解答】解：（1）△A1B1C1如图1：∵A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1），∴先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（2，3），∴△A1B1C1，即为所求，C1（2，3）．（2）△A2B2C2如图2：∵点关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴A2（﹣1，4），B2（﹣5，4），C2（﹣4，1），∴△A2B2C2，即为所求，C2（﹣4，1）．（3）△A3B3C3如图3：∴A3（﹣4，﹣1），B3（﹣4，﹣5），C3（﹣1，﹣4），∴△A3B3C3即为所求，C3（﹣1，﹣4）．（4）连接C1，C2，C3，如图4，∴S△21．问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）．迁移应用：如图1，AB∥CD，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2．拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图）（1）如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由；（2）如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由．【解答】解：问题背景：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB，GH⊥AB．求证：EF＝GH．证明：假设EF≠GH，将GH沿着直线BA的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线AB上，∵EF≠GH，∴点Q与点F不重合，∵EQ∥GH，GH⊥AB，∴EQ⊥AB，而EF⊥AB，同时EQ⊥AB，这与基本事实在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾．∴假设不正确，∴EF＝GH．迁移应用：∵AB∥CD∴△EFH与△GFH是等高的两个三角形∴S△EFH＝S△GFH，∴S△EFO＝S△GHO，∴S1＝S2，拓展延伸：（1）如图2，取BC中点E，连接AE，则直线AE为所求直线．（2）如图3，取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC与点F，连接NF，则直线NF为所求直线．22．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上的一动点，以点D为旋转中心，把线段DA顺时针旋转60°，得到线段DF，过点F作FE⊥BC交BC的延长线于点E，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）在（1）补全的图形中的AC上截取CP，使CP＝BD，连接BP，FP，请判断四边形BDFP的形状，并说明理由；（3）若点M是线段CF的中点，连接AE，BM，线段AE与BM交于点O，求∠AOB的度数．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1；（2）四边形BDFP是平行四边形．理由如下：连接AF，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°．以D为中心线段DA顺时针旋转60°得到线段DF，∴∠ADF＝60°，AD＝DF．∴△ADF是等边三角形．∴AD＝AF，∠DAF＝∠ADF＝60°．∵∠DAF＝∠DAC+∠2＝60°，∠DAC+∠1＝60°，∴∠1＝∠2，在△ADB与△AFC中，AB=AC∠1=∠2∴△ADB≌△AFC（SAS），∴DB＝CF，∠ACF＝∠ABD＝60°，∵CP＝BD，∴CP＝CF，∴△PCF是等边三角形，∴∠CPF＝∠ACB＝60°，PF＝CP＝BD，∴PF∥BD，∴四边形BDFP是平行四边形；（3）如图3，∵△ADB≌△AFC，∴∠ACF＝∠ABC＝60°，∵∠ACB＝60°，点B，C，E在一条直线上，∴∠FCE＝60°，∴∠ACB+∠ACF＝∠FCE+∠ACF＝120°，∴∠BCM＝∠ACE．∵FE⊥BC，∠FCE＝60°，∴∠CFE＝30°，∴CE＝CF；又∵M为CF的中点，∴CM＝CF，∴CM＝CE．在△BCM与△ACE中，BC=AC∠BCM=∠ACE∴△BCM≌△ACE（SAS），∴∠CBM＝∠CAE．设AC与BM交于点N，∴∠BNC＝∠ANO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．23．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．则线段PM与PN的数量关系是相等，位置关系是垂直．（2）在（1）的条件下，在△ABC所在的平面内把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由．（3）如图3，等腰Rt△AMD和等腰Rt△ANC中，AM＝MD=2，AN＝CN＝22．（温馨提示：8=22），连接CD，点P为CD的中点，连接MP，PN，MN．若等腰Rt△AMD绕着点A旋转（在△AMD和△ANC所在的同一平面内自由旋转），旋转的过程中△MPN的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出△【解答】解：（1）∵PN是△BCD的中位线，∴PN=1同理可得：PM=1∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵AB⊥AC，∴PM⊥PN，故答案为：相等，垂直；（2）如图1，延长BD交CE于Q，交AC于O，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOB＝∠COQ，∴∠CQO＝∠BAC＝90°，∴BQ⊥CE，∵PN是△BCD的中位线，∴PN=12BD，PN同理可得：PM=12CE，PM∴PM＝PN，PM⊥PN；（3）如图2，作ME⊥AD于E，NF⊥AC于F，∴∠MED＝∠CFN＝90°，∵AM＝MD，AN＝CN，∴ME＝DE＝AE=12AD，CF＝AF＝∵P是CD的中点，∴PF=12AD，PE=12AC，PE∥∴DE＝PF，PE＝FN，∠DPE＝∠DAC＝∠PFC，∠FPE＝∠DEP，∵∠PEM＝∠MED+∠DEP＝90°+∠DEP，∠PFN＝∠NFC+∠PFC＝90°+∠DEP，∴∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△NFP（SAS），∴PM＝PN，∠FPN＝∠PME，∴∠MPN＝∠MPE+∠FPN+∠EPF＝（∠MPE+∠PME）+∠PED＝180°﹣∠MEP+∠PED＝180°﹣（∠MEP﹣∠PED）＝180°﹣∠MED＝90°，∴△MPN是等腰直角三角形，∴S△MPN=1∴当MN最大时2，△MPN的面积最大，当MN最小时，△MPN的面积最小，∵MN≤AM+AN，MN≥AN﹣AM，∴当M在NA的延长线上时，MN最大＝AN+AM＝22+2=当点M在AN上上，MN最小＝AN﹣AM＝22−∴S△MPN最大=14×(32)2=92，S△MPN最小【2025.12.23】初三上月考数学试卷-科技苑中学一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意，B不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意，C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故选：D．2．下列4道因式分解练习题①x2﹣x＝x（x+1），②a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4，③a2+b2﹣2ab＝（a+b）2，④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣x＝x（x﹣1），错误，不符合题意；②a2﹣3a﹣4＝（a﹣4）（a+1），错误，不符合题意；③a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2，错误，不符合题意；④x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确，符合题意；故选：A．3．如图，△ABC沿BC方向平移得到△DEF，已知BC＝3，EC＝2，则平移的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝3，EC＝2，∴BE＝BC﹣EC＝3﹣2＝1．故选：A．4．将分式xyx+y中的x，yA．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍 C．不变 D．缩小为原来的1【解答】解：∵分式xyx+y中的x，y的值都变为原来的3倍，分式变为3x⋅3y3(x+y)=∴该分式的值扩大为原来的3倍．故选：A．5．某校足球队队员的年龄分布情况如所画条形图所示，那么下列关于该队队员年龄统计数据的说法正确的是（）A．年龄的平均数比16大 B．年龄的中位数比众数小 C．若今年和去年的球队成员完全一样，则今年年龄的方差比去年大 D．若年龄最大的选手离队，则方差将变小【解答】解：足球队队员年龄按由小到大的顺序排列为：13、13、14、14、14、14、14、14、15、15、15、15、15、15、15、15，16、16、16、17、17、18，A、平均数为：122B、中位数为：15+152C、若今年和去年的球队成员完全一样，则今年方差与去年相等，故选项表述错误，不符合题意；D、若年龄最大的选手离队，则方差将变小，故选项表述正确，符合题意；故选：D．6．如图，在△ABC中，将△ABC将绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B、C的对应点分别是点B′、C′，连接BB′，若∠ABB′＝54°，则旋转角的度数为（）A．84° B．72° C．58° D．36°【解答】解：∵将△ABC将绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AB′＝AB，∴∠AB′B＝∠ABB′＝54°，∵∠BAB′+∠AB′B+∠ABB′＝180°，∴∠BAB′+54°+54°＝180°，∴∠BAB′＝72°，∴旋转角的度数为72°，故选：B．7．关于x的分式方程mx−2+1A．﹣1 B．1 C．2 D．5【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得m﹣1＝x﹣2，解这个方程，得x＝m+1，∵方程有增根，∴x﹣2＝0，即m+1﹣2＝0，解这个方程，得m＝1，那么（﹣1）m＝﹣1．故选：A．8．在平行四边形ABCD中，若∠A与∠B的度数之比为5：4，则∠C的度数为（）A．120° B．100° C．80° D．110°【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A，∠B的度数之比为5：4，∴∠A＝100°，∠B＝80°，∴∠C＝∠A＝100°故选：B．9．如图，△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，且AB＝5cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【解答】解：∵△ABC的边AB，BC，CA上的中点分别是D，E，F，AB＝5cm，AC＝6cm，∴EF=1∴四边形ADEF的周长为2（2.5+3）＝11（cm），故选：C．9．如图，△ABC是等边三角形，AB=83，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AFA．43 B．23+4 C．8【解答】解：如图，连接BE，延长EC到N，使EN＝BE，连接FN，过点A作AG⊥BC于G，过点A作AH⊥FN于H，∵△ABC是等边三角形，AB＝83，E是AC的中点，AG⊥BC，∴AC＝AB＝83，AE＝EC＝43，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝12＝EN，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∵∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠BED＝∠FEN，且DE＝EF，BE＝EN，∴△BED≌△NEF（SAS），∴∠EBC＝∠ENF＝30°，∴∠GAC＝∠ENF，∴AG∥NF，∴点F在过点N且平行于AG的直线上，∴当AF⊥FN时，AF的值最小，∵AH⊥FN，∠ENF＝30°，∴AH=12AN=12（4∴线段AF的最小值为23+故选：D．二．填空题（共5小题）11．若分式x+23−x的值为0，则x的值是﹣2【解答】解：依题意得：x+2＝0且3﹣x≠0，解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．12．1.23×512﹣1.23×492＝246．【解答】解：1.23×512﹣1.23×492＝1.23×（512﹣492）＝1.23×（51+49）×（51﹣49）＝1.23×100×2＝246，故答案为：246．13．如图，将透明直尺叠放在五个内角均相等的五边形ABCDE上，若直尺的下沿与边AE垂直于点A，与BC交于点F，则∠AFC的度数为126°．【解答】解：∵五边形ABCDE的五个内角均相等，∴∠B＝∠EAB=(5−2)×180°∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠FAB＝108°﹣90°＝18°，∴∠AFC＝18°+108°＝126°，故答案为：126°．14．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是61．【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG=12BDFG∥AC且FG=12AC∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF=E故答案为：61．15．在▱ABCD中，点E为CD的中点，过点D作DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG＝6，BC＝10，则EF的长为34．【解答】解：连接BD，取BD中点M，连接ME，MF，∵E是CD中点，∴ME是△DBC的中位线，∴ME=12BC=12×同理：MF=12GD=12×∵DG⊥BC，∴四边形MNGF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴EF=M故答案为：34．三．解答题（共8小题）16．（1）解方程：xx+2（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．化简：x2x2+2x+1解：原式=x2x＝……①若M是一个单项式，则这个单项式是x；②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“＝”后面继续写．原式=＝【解答】（1）原方程去分母得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x=2经检验，x=2（2）①由计算步骤可得M＝x，故答案为：x；②原式==x=x2(x+1=117．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）四边形DEBF是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAF＝∠DCE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）证明：∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴BF∥DE，∴四边形DEBF是平行四边形．18．某初中为了解学生每周在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分学生．根据调查结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为40，图①中m＝25%．（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（3）根据统计的数据，若该校共有800名学生，估计该校每周在校体育活动时间大于1h的学生人数．【解答】解：（1）4÷10%＝40（人），10÷40＝25%，即m＝25%，故答案为：40；25%；（2）在这组数据中，3h出现的次数最多是15次，因此众数是3，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是3，因此中位数是3，平均数为x=答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是3；（3）800×（20%+37.5%+25%+7.5%）＝800×90%＝720（人），答：大约有720人．19．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进A，B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶比一个A种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍．（1）求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？（2）六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个A种哪吒玩偶售价定为32元，每个B种哪吒玩偶售价定为45元，那么A，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设A种哪吒玩偶的单价为x元，则B种哪吒玩偶的单价为（x+10）元，根据题意得：2500x解得：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝30，答：A种哪吒玩偶的单价为20元，B种哪吒玩偶的单价为30元；（2）设玩具店购进A种玩偶m个，则购进B种哪吒玩偶（120﹣m）个，根据题意得：20m+30（120﹣m）≤3000，解得：m≥60，设总获利为w元，根据题意得：w＝（32﹣20）m+（45﹣30）（120﹣m）＝﹣3m+1800，∵﹣3＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝60时，w有最大值，最大值＝﹣3×60+1800＝1620元，此时，120﹣m＝60，答：A种哪吒玩偶购进60个，B种哪吒玩偶购进60个时获利最多，最大利润为1620元．20．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出△ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）以原点O为旋转中心，作出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A3B3C3，并写出点C3的坐标；（4）连接C1，C2，C3，求△C1C2C3的面积．【解答】解：（1）△A1B1C1如图1：∵A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1），∴先向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（2，3），∴△A1B1C1，即为所求，C1（2，3）．（2）△A2B2C2如图2：∵点关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴A2（﹣1，4），B2（﹣5，4），C2（﹣4，1），∴△A2B2C2，即为所求，C2（﹣4，1）．（3）△A3B3C3如图3：∴A3（﹣4，﹣1），B3（﹣4，﹣5），C3（﹣1，﹣4），∴△A3B3C3即为所求，C3（﹣1，﹣4）．（4）连接C1，C2，C3，如图4，∴S△21．问题背景：证明“两条平行线之间的距离处处相等”（自己画图，写出已知和求证，并证明）．迁移应用：如图1，AB∥CD，点F和点H在直线AB上，点E和点G在直线CD上，S1表示△EFH的面积，S2表示△GFH的面积．求证：S1＝S2．拓展延伸：按照要求画出图形，并简要说明画法．（注：只需简要说明画法并画出图形，不需尺规作图）（1）如图2，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由；（2）如图3，在△ABC中，点N是AB上的一点（不是中点），过点N画一直线将△ABC分成面积相等的两部分，并说明面积等分的理由．【解答】解：问题背景：已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB，GH⊥AB．求证：EF＝GH．证明：假设EF≠GH，将GH沿着直线BA的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线AB上，∵EF≠GH，∴点Q与点F不重合，∵EQ∥GH，GH⊥AB，∴EQ⊥AB，而EF⊥AB，同时EQ⊥AB，这与基本事实在同一平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾．∴假设不正确，∴EF＝GH．迁移应用：∵AB∥CD∴△EFH与△GFH是等高的两个三角形∴S△EFH＝S△GFH，∴S△EFO＝S△GHO，∴S1＝S2，拓展延伸：（1）如图2，取BC中点E，连接AE，则直线AE为所求直线．（2）如图3，取BC中点E，连接AE，NE，过点A作AF∥EN交BC与点F，连接NF，则直线NF为所求直线．22．如图，在等边△ABC中，点D为边BC上的一动点，以点D为旋转中心，把线段DA顺时针旋转60°，得到线段DF，过点F作FE⊥BC交BC的延长线于点E，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）在（1）补全的图形中的AC上截取CP，使CP＝BD，连接BP，FP，请判断四边形BDF