诱导公式（二）（三）（四）第一课时课件-高一上学期数学人教A版

5.3诱导公式 第一课时

诱导公式二、三、四1.借助单位圆推导诱导公式二、三、四；(重点)2.学会利用诱导公式求解任意角的三角函数值；(重点、难点)3.利用诱导公式会进行简单的化简与证明.(重点、难点)想一想:

前面学习的诱导公式一的内容是什么？它的作用是什么？cos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanαsin(α+2kπ)=sinα其中k∈Z诱导公式一：终边相同的角的对应三角函数相同：作用：把求任意角的三角函数值转化为0到360°角的三角函数值.

前面我们利用圆的几何性质（三角函数的定义），得到了同角三角函数之间的基本关系．

我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（奇偶性）也是函数的重要性质．

由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．

如图，在直角坐标系内，设任意角

α的终边与单位圆交于点P1，αP2P1P4P3

(2)如果作P1关于x轴(或

y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么结论？(1)作P1

关于原点的对称点P2，以OP2

为终边的角

β

与角α有什么关系？角

β，α的三角函数值之间有什么关系？xyOβ1诱导公式二、三、四

设

，

．因为

P1是

P2关于原点对称，所以

，

．因为以OP2

为终边的角为

π+α.根据三角函数的定义，得π+ααP2P1公式二

sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=

-cosαtan(π+α)=tanα从而得xyO

如图，以

OP2为终边的角β都是与角α＋π终边相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)(k∈Z)．因此只需要研究角α＋π和角α的三角函数关系即可．

设

P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因为

P1是

P2关于原点的对称点，所以

x1=－x2，

y1=y2．根据三角函数的定义，得

π+ααP2P1公式二

sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=

-cosαtan(π+α)=tanα从而得-ααP1P3公式三

sin(-α)=-sinαcos(-α)=

cosαtan(-α)=-tanα

如图，作

关于x轴的对称点

，则

，

，因为以OP3

为终边的角为

-α，根据三角函数的定义，得从而得xyO公式四

sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαπ-ααP1P4

如图，作

关于y轴的对称点

，则

，

，因为以OP4

为终边的角为π-

α，根据三角函数的定义，得从而得xyO对于公式一~四的概括：(1)这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限.”其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．例如cos(π-α)中，把α看成锐角，则π-α是第二象限角，此时cos(π-α)<0，所以cos(π-α)=-

cos

α.

α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．(2)对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上;(3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示.给角求值问题例1

利用公式求下列三角函数值：(1)(2)(3)(4)(5)(6)锐角的三角函数0~2π的角的三角函数任意正角的三角函数任意负角的三角函数利用诱导公式一

~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤：用公式一或公式三用公式二或公式四用公式一负化正、大化小、小化锐、锐求值.锐角的三角函数0~2π的角的三角函数任意正角的三角函数任意负角的三角函数利用诱导公式一

~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤：用公式一或公式三用公式二或公式四用公式一公式四:sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosα;tan(π-α)=-tanα.公式三:sin(-α)=-sinα;cos(-α)=

cosα;tan(-α)=-tanα.公式二:sin(π+α)=-sinα;cos(π+α)=

-cosα;tan(π+α)=tanα.公式一:sin(2kπ+α)=sinα;cos(2kπ+α)=cosα;tan(2kπ+α)=tanα.1.利用公式求下列三角函数值：(1)(2)

(3)(4)化简求值问题例2

化简：(1)(2)(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的;(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变;(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.利用诱导公式化简的一般思路切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.2.化简：(1)(2)给值求值问题例3已知

，求下列各式的值：(1)(2)解：(1)因为

所以

(2)因为

所以

(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.(化未知为已知)解决条件求值问题的技巧3.已知

，求下列各式的值：(1)(2)解：(1)因为

，

所以原式(2)因为