高中数学北师大版选修2-1第一章章末检测（一）

章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1 B.2 C.3 D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①不是陈述句，不是命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝eq\r(3)，y＝－eq\r(3).⑤是祈使句，不是命题.答案B2.命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是()A.若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1B.若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)D.若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)解析命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4)”，故选C.答案C3.设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，∴“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.答案A4.设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是()A.任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数B.存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数C.任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数D.存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数解析存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.答案D5.下列命题中的假命题是()A.存在x∈R，sinx＝eq\f(\r(5),2) B.存在x∈R，log2x＝1C.任意x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0 D.任意x∈R，x2≥0解析因为任意x∈R，sinx≤1<eq\f(\r(5),2)，所以A是假命题；对于B，存在x＝2，log2x＝1；对于C，根据指数函数图像可知，任意x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>0；对于D，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.答案A6.下列命题正确的是()A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a>b是cosA<cosB的充要条件B.命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则綈p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0C.已知p：eq\f(1,x＋1)>0，则綈p：eq\f(1,x＋1)≤0D.存在实数x∈R，使sinx＋cosx＝eq\f(π,2)成立解析对于A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cosA<cosB；又由A，B∈(0，π)，cosA<cosB时得A>B，故a>b，故A正确.对于B，命题p的否定綈p应为：存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋1≤0，故B不正确.对于C，p：eq\f(1,x＋1)>0⇔p：x>－1，故綈p为x≤－1，而不是eq\f(1,x＋1)≤0，故C不正确.对于D，sinx＋cosx的最大值为eq\r(2)，小于eq\f(π,2)，故D不正确.答案A7.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0解析全称命题：任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：存在x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0.答案C8.命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是()A.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数解析先对命题取逆，然后取否可得“若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”，选A.答案A9.下列命题中真命题的个数是()①任意x∈R，x4>x2；②若p且q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋1>0”.A.0 B.1 C.2 D.3解析对于①，当x＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题.对于②，p，q有一个为假时，p且q也为假，故②为假命题.③为真命题.故真命题有1个.答案B10.已知命题p：任意x∈R，eq\r(1－x2)≤1，则()A.綈p：存在x∈R，eq\r(1－x2)≥1B.綈p：任意x∈R，eq\r(1－x2)≥1C.綈p：存在x∈R，eq\r(1－x2)>1D.綈p：任意x∈R，eq\r(1－x2)>1解析根据全称命题的否定方法，当命题p：任意x∈R，eq\r(1－x2)≤1时，綈p：存在x∈R，eq\r(1－x2)>1.故选C.答案C11.已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，使得3x0<4x0；命题q：任意x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，有tanx>x，则下列命题中的真命题是()A.p且q B.p或(綈q)C.p且(綈q) D.(綈p)且q解析由3x<4x得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)>1，当x<0时不等式不成立，故p为假命题，由图像知，tanx>x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上恒成立.故q为真命题.故D项为真.答案D12.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B.若p或q为假命题，则p，q均不为假命题C.命题“存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”D.命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解析选项A中否命题为“若x2≠1，则x≠1”；选项B中，若p或q为假命题，则p，q均为假命题；选项C中命题的否定为“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”.故A，B，C三项说法均不正确.选项D中，“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，故其逆否命题也为真命题.答案D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题：“存在一个实数对，使2x＋3y＋3<0成立”的否定是_____________________________________________________________________.解析特称命题的否定是全称命题.答案对任意实数对，2x＋3y＋3≥0恒成立14.命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________________________________.解析一个命题的否命题是对条件和结论都否定.答案若a≤b，则2a≤2b－115.在下列四个命题中，真命题的个数是________.①任意x∈R，x2＋x＋3>0；②存在α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；③存在x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.解析①中x2＋x＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(11,4)≥eq\f(11,4)>0，故①是真命题.②中α＝eq\f(π,4)，β＝－eq\f(π,4)时，sin(α＋β)＝0，sinα＋sinβ＝0，故②是真命题.③中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故③是真命题.答案316.已知命题p：不等式eq\f(x,x－1)<0的解集为{x|0<x<1}；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p真q假；②“p且q”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________.解析解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，∴命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误.答案①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零.(2)写出下列命题的否定并判断真假：①所有自然数的平方是正数；②任何实数x都是方程5x－12＝0的根；③任意x∈R，x2－3x＋3>0；④有些质数不是奇数.解(1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.②逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)①綈p：有些自然数的平方不是正数，真命题.②綈p：存在x0∈R，使得5x0－12≠0，真命题.③綈p：存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋3≤0，假命题.④綈p：所有的质数都是奇数，假命题.18.(10分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq\f(1,3).证明(1)充分性：∵0<m<eq\f(1,3)，∴方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m>0，且eq\f(3,m)>0，∴方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－12m>0，,x1x2＝\f(3,m)>0，))解得0<m<eq\f(1,3).综合(1)(2)知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<eq\f(1,3).19.(12分)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解由q：x2－2x＋1－m2≤0，m>0，得1－m≤x≤1＋m，∴綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}.由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，解得－2≤x≤10，∴綈p：B＝{x|x>10或x<－2}.∵綈p是綈q的必要不充分条件.∴AB，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))即m≥9或m>9，∴实数m的取值范围是{m|m≥9}.20.(12分)设p：关于x的不等式ax>1(a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求a的取值范围.解当p真时，0<a<1，当q真时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－4a2<0，))即a>eq\f(1,2)，∴p假时，a>1，q假时，a≤eq\f(1,2).又p和q有且仅有一个为真命题.∴当p真q假时，0<a≤eq\f(1,2)，当p假q真时，a>1.综上得，a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(1，＋∞).21.(13分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围.解∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3＝[x＋(a2－a)]2－a2在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.即p：a≤－1或a≥2.由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,（－a）2－4a<0，))解得0≤a<4，∴q：0≤a<4.∵p且q假，p或q真，∴p与q一真一假，∴p真q假或p假q真，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－1或a≥2，,a<0或a≥4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(