高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（三十八）平面与平面垂直的判定定理

课时跟踪检测(三十八)平面与平面垂直的判定定理(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个 B．1个C．无数个 D．1个或无数个2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等 B．互补C．互余 D．无法确定4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30° B．45°C．60° D．90°5．(多选)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC6.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有________对.8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝__________.9．(8分)如图，在直角三角形ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PB⊥CD.求证：平面PBD⊥平面BCD.10．(10分)如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.B级——重点培优11.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”．如图，在正双三棱锥P－ABC－Q中，PA，PB，PC两两互相垂直，则二面角P－AB－Q的余弦值为()A．－eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,3)12．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是()A．平面CBP⊥平面BB1PB．DC1⊥PCC．三棱锥C1－D1PC的体积为定值D．∠APD1的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))13．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)14．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：(1)直线PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.15．(12分)如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；(2)求二面角C－BD－A的余弦值.课时跟踪检测(三十八)1．选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β.又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.3.选B如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α­l­β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.4．选C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.故选C.5.选ABD如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．若平面PDF⊥平面ABC，设DF∩AE＝O，连接PO，易知PO⊥平面ABC，即点P在平面ABC的射影为点O，而在正四面体P­ABC中，点P在平面ABC的射影为正三角形ABC的中心，矛盾，∴C错误．6．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)7．解析：∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD，∴DC⊥平面ABC.又DC⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABC，∴共有3对互相垂直的平面．答案：38．解析：如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得，AF＝CF＝eq\f(\r(2),2)a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.答案：90°9．证明：∵在直角三角形ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD.∵CD⊂平面BCD.∴平面PBD⊥平面BCD.10．解：因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD.所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.11.选D取AB中点D，连接PD，QD，PQ，交平面ABC于点O，连接OD，由正棱锥性质及对称性易知O为△ABC的中心，且PD⊥AB，DQ⊥AB，故∠PDQ为二面角P­AB­Q的平面角，设正三棱锥侧棱长为2，易得AB＝2eq\r(2)，PD＝DQ＝eq\r(2)，OD＝eq\f(\r(3),6)AB＝eq\f(\r(6),3)，则PQ＝2PO＝2eq\r(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)))2)＝eq\f(4\r(3),3)，在△PDQ中，由余弦定理得cos∠PDQ＝eq\f(2＋2－\f(16,3),2×\r(2)×\r(2))＝－eq\f(1,3).故选D.12．选ABC连接PB1(图略)，∵CB⊥平面BB1P，CB⊂平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，故A正确；连接DC1，CD1(图略)，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，故B正确；连接C1P(图略)，V三棱锥C1­D1PC＝V三棱锥P­C1D1C，底面积S△C1D1C为定值，高BC为定值，因此体积为定值，故C正确；连接AD1，设正方体的棱长为1，BP＝x(0＜x＜eq\r(2))，在△APB中，∠ABP＝eq\f(π,4)，由余弦定理得AP2＝AB2＋BP2－2AB·BP·coseq\f(π,4)＝x2＋1－eq\r(2)x.易知A1D1⊥A1P，则在Rt△D1A1P中，A1P＝eq\r(2)－x(0＜x＜eq\r(2))，D1P2＝A1Deq\o\al(2,1)＋A1P2＝1＋(eq\r(2)－x)2＝x2－2eq\r(2)x＋3，由余弦定理得cos∠APD1＝eq\f(AP2＋PD\o\al(2,1)－AD\o\al(2,1),2AP·PD1)＝eq\f(2x2－3\r(2)x＋2,2AP·PD1)＝eq\f(2x－\r(2)x－\r(2),2AP·PD1)，当x＝eq\f(\r(2),2)时，∠APD1为直角，当eq\f(\r(2),2)＜x＜eq\r(2)时，cos∠APD1＜0，此时∠APD1为钝角，故D错误．13．选D由题意，作出正四棱台的对角面，如图，AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四棱台下底面正方形对角线，O为外接球球心，且为线段BC的中点，则OD＝OA＝OB＝OC＝50，过点D作DE⊥BC，垂足为E，则∠DCE即为所求角．因为OD＝50，DE＝40，所以OE＝30，所以EC＝20，所以DC＝20eq\r(5)，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为eq\f(2\r(5),5).故选D.14．证明：(1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点．又E为PC的中点，所以OE∥PA.因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE.(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.15．解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接OD，OC.∵△ABD是等腰直角三角形，∴DO⊥AB，且DO＝eq\f(\r(2),2)AD.同理得CO⊥AB，且CO＝eq\f(\r(2),2)AC.∵AD＝AC，∴DO＝CO＝eq\f(\r(2),2)AC.∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2.∴△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO.又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC.又DO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.(