高三二轮复习试题数学专题突破练11空间角空间距离

专题突破练11空间角、空间距离1.(15分)(2025河北唐山一模)如图,在三棱台ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1B1=1,AB=AC=2,D为BC的中点,AC⊥C1D.(1)证明:AC⊥AB;(2)若AA1=2,求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值.2.(15分)(2025山东菏泽一模)如图,在四棱锥PABCD中,CD∥BE,∠BED=60°,BC=CD=1,AE=2ED=2,PB=22,PE=EB,F为PB的中点.(1)求证:CF∥平面PAD;(2)若平面PBE⊥平面ABCD,求DF与平面ABP所成角的正弦值.3.(15分)(2025山东烟台模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,二面角APDC的大小为120°,E,F分别为AB,PD的中点.(1)求证:EF⊥CD.(2)已知AD=23,二面角EFCD的大小为60°.(ⅰ)求PB和AD所成角的余弦值;(ⅱ)求直线AC与平面EFC所成角的正弦值.4.(17分)(2025山西临汾二模)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,BC=12AD,M为棱PD的中点,四面体PABC的体积为43,△PBC的面积为22(1)求证:CM∥平面PAB;(2)求点D到平面PBC的距离;(3)若AP=AB,平面PBC⊥平面ABP,点N为棱PC上一点,当平面ABN与平面BNC夹角为60°时,求NC的长.

答案：1.(1)证明在三棱台ABCA1B1C1中,∵A1B1=1,AB=AC=2,∴A1C1=1,BC=2B1C1.∵D为BC的中点,∴B1C1=BD,B1C1∥BD,∴四边形BDC1B1为平行四边形,故B1B∥C1D.∵AC⊥C1D,∴AC⊥B1B.∵AA1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AC.∵AA1,BB1⊂平面ABB1A1,AA1,BB1为相交直线,∴AC⊥平面ABB1A1,∵AB⊂平面ABB1A1,∴AC⊥AB.(2)解以A为原点,以AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,2),C1(0,1,2),D(1,1,0).∴BC=(2,2,0),BB1=(1,0,2),AC1=(0,1,2),设m=(x1,y1,z1)是平面BCC1B1的法向量,则BC令x1=2,则y1=2,z1=1,故m=(2,2设n=(x2,y2,z2)是平面ADC1的法向量,则AD令x2=2,则y2=2,z2=1,故n=(2,2,1).∴cos<m,n>=m·n|m||n|=152.(1)证明由CD∥BE,BC=CD=DE=1,∠DEB=60°,易求BE=2.取PE的中点M,连接MF,F为PB的中点,所以MF∥BE,MF=12BE所以MF=1,MF∥CD,所以四边形CDMF为平行四边形.所以CF∥DM,又CD⊄平面PAD,DM⊂平面PAD,所以CF∥平面PAD.(2)解由PE=EB=2,PB=22,所以PE2+EB2=PB2,所以PE⊥EB,又平面PBE⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,以E为原点,EB所在直线为y轴,过E与EB垂直的直线为x轴,EP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(32,12,0),P(0,0,2),B(0,2,0),F(0,1,1),APA=(3,1,2),PB=(0,2,2),DF=(32,1设平面ABP的法向量为n=(x,y,z),则n⊥PA,n⊥PB,所以n·PA=0,n·PB=0,所以平面ABP的一个法向量为n=(3,1,1).设DF与平面ABP所成角为θ,则sinθ=|n所以直线DF与平面ABP所成角的正弦值为33.(1)证明如图,连接BD,PE,由PD⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD,得PD⊥AD,PD⊥CD,∴∠ADC是二面角APDC的平面角,即∠ADC=120°.∵四边形ABCD为菱形,∴∠DAB=60°,AB∥CD,故△ABD为等边三角形,∵E为AB的中点,∴AB⊥DE,故DE⊥CD.∵DE⊥CD,PD⊥CD,DE∩PD=D,DE,PD⊂平面PDE,∴CD⊥平面PDE,∵EF⊂平面PDE,∴EF⊥CD.(2)解(ⅰ)由CD⊥平面PDE,DE⊂平面PDE,得DE⊥CD.以D为原点,DE,DC,DP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,∵△ADB为正三角形,且AD=23,∴DE=3.设PD=2a(a>0),则F(0,0,a),E(3,0,0),C(0,23,0),P(0,0,2a),B(3,3,0),A(3,3,0),∴EF=(3,0,a),EC=(3,23,0)由题意得,平面FCD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面EFC的法向量为n2=(x,y,z),则n取x=2a,可得n2=(2a,3a,6).∴|cos<n1,n2>|=|n1·n∴PB=(3,3,4),AD=(3,3∴|cos<PB,AD>|=即PB和AD所成角的余弦值为21(ⅱ)设直线AC与平面EFC所成的角为θ.由(ⅰ)知,平面EFC的一个法向量为n2=(4,23,6),∵AC=(3,33∴sinθ=|cos<AC,n2>|=|AC即直线AC与平面EFC所成角的正弦值为14.(1)证明在四棱锥PABCD中,取PA的中点E,连接EM,EB,在△PAD中,由E,M分别为PA,PD的中点,得EM∥AD,EM=12AD,又BC∥AD,BC=12AD,则EM∥BC,EM=BC,即四边形BCME为平行四边形,BE∥MC,而BE⊂平面PAB,MC⊄平面PAB,所以CM∥平面(2)解设点A到平面PBC的距离为h,由四面体PABC的体积为43,△PBC的面积为22,得13S△PBC·h=13·22·h=43,解得h=2,而AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,则AD∥平面PBC,(3)解取PB的中点F,连接AF,由AP=AB,得AF⊥PB,由平面PBC⊥平面ABP,平面PBC∩平面ABP=PB,AF⊂平面ABP,得AF⊥平面PBC,即AF=h=2,则AP=AB=2,BP=22,由AF⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,得AF⊥BC,又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,则PA⊥BC,而PA∩AF=A,PA,AF⊂平面ABP,因此BC⊥平面ABP,又AB,PB⊂平面ABP,则AB⊥BC,PB⊥BC,而△PBC的面积为22,BP=22,则BC=2,AD=4,PC=23,由AD∥BC,得AD⊥AB,以A为原点,直线AB,AD,AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设CN=λCP(0≤λ≤1),则N(22λ,22λ,2λ),BC=(0,2,0),PB=(2,0,2),AB=(