专题强化14相似三角形基本图形

第二十七章相似专题强化14相似三角形基本图形基本图形1

A字型相似1.

如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且

∠BDE＋∠ACB＝180°.(1)求证：△ADE∽△ACB；解：(1)证明：∵∠BDE＋∠ACB＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ACB.

又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.

解：(1)证明：∵∠BDE＋∠ACB＝180°，∠BDE＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠ACB.

又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.

12345678

解：(2)设AE＝x.∵E是AC的中点，∴AC＝2AE＝2x.由(1)得，△ADE∽△ACB，

∵AD＝8，AB＝10，

123456782.(教材P42T4变式)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，

AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.

(1)求证：△ADE∽△DBF；证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB.

∴∠AED＝∠DFB.

∴△ADE∽△DBF.

证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∵DF∥AC，∴∠C＝∠DFB.

∴∠AED＝∠DFB.

∴△ADE∽△DBF.

12345678

解：(2)∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE为平行四边形.∴DF＝CE，DE＝CF＝6.∵△ADE∽△DBF，BF＝3，

∵AE＝8，∴DF＝CE＝4.∴AC＝AE＋CE＝8＋4＝12.12345678基本图形2

8字型相似3.

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为AD上的

点，且DM＝2MA，连接CM交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD.

∴△DMN∽△BCN.

12345678∵DM＝2MA，AD＝MA＋DM，

设DN＝x.∵ON＝1，∴OB＝OD＝x＋1.

解得x＝4.∴OD＝5.∴BD＝2OD＝10.12345678(2)若△DMN的面积为4，求△BCD的面积.

∵S△DMN＝4，∴S△BCN＝9.

∴S△BCD＝S△BCN＋S△DCN＝9＋6＝15.12345678基本图形3

子母型相似4.

如图，点D为△ABC的边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4.求

证：△ACD∽△ABC.

证明：∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝8.

∴△ACD∽△ABC.

123456785.(教材P43T7变式)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB

上的高.(1)求证：△ACD∽△ABC；解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.

∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.

解：(1)证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.

∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.

12345678

解：(2)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

由(1)，得△ACD∽△ABC.

12345678基本图形4

一线三等角型相似6.

如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，对角线AC⊥BC，过点D

作DE⊥AC于点E.

求证：△ABC∽△DAE.

证明：∵∠BAD＝90°，DE⊥AC，∴∠BAC＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠BAC＝∠ADE.

又∠ACB＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△DAE.

证明：∵∠BAD＝90°，DE⊥AC，∴∠BAC＋∠DAE＝90°，∠ADE＋∠DAE＝90°.∴∠BAC＝∠ADE.

又∠ACB＝∠AED＝90°，∴△ABC∽△DAE.

123456787.

如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，E为边AC上一

点，且∠ADE＝∠B.

(1)求证：△ABD∽△DCE；证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.

∴△ABD∽△DCE.

证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.

∴△ABD∽△DCE.

12345678

解：(2)∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8.由(1)得，△ABD∽△DCE，

解得BD＝2或4.12345678基本图形5

旋转型相似8.

如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝

90°，AC＝BC，AE＝DE，B，D，E三点共线，线段BE，AC交于

点F，连接CE.

(1)求线段BD，CE之间的数量关系；解：(1)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝45°.∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAD＋∠CAE.

∴∠BAD＝∠CAE.

12345678在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2＋DE2＝AD2，即2AE2＝AD2，

在Rt△ABC和Rt△ADE中，∵∠ABC＝∠ADE＝45°，

∴△ABD∽△ACE.

12345678(2)求∠BEC的度数.解：(2)∵B，D，E三点共线，∴∠ADB＝180°－∠ADE＝180°－45°＝135°.∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°.