分式的概念课件-湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第2章

分式2.1.1分式的概念1.了解分式的概念；2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件；（重点）3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．（难点）2.1.1分式的概念一、分式的定义$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母）-整式：分母不含字母（如$\frac{x}{3}$、$2x+1$）-分式：分母含字母（如$\frac{3}{x}$、$\frac{x+1}{x-2}$）二、三个关键条件1.有意义：分母$B≠0$2.无意义：分母$B=0$3.值为0：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（缺一不可）#2.1.1分式的概念（七年级数学课件+教案）##一、幻灯片分页内容（可直接复制制作PPT）###第1页：标题页-标题：2.1.1分式的概念-副标题：——从分数到分式的跨越-作者：XXX（教师姓名）-班级：七年级（X）班-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：学习目标1.理解分式的定义，能准确区分整式与分式2.掌握分式有意义、无意义及值为0的条件3.能根据条件求分式中字母的取值范围，提升代数推理能力4.体会类比思想（分数→分式）在数学学习中的应用###第3页：复习回顾1.什么是整式？请举例说明（单项式和多项式统称为整式，如：$3x$、$2a+b$、$-5$）2.分数的结构：$\frac{a}{b}$（$a$、$b$为整数，且$b≠0$），思考：若$a$、$b$为整式，且分母含有字母，这样的式子是什么？3.计算：$\frac{10}{3}$表示把10平均分成3份，若把10kg苹果平均分给$x$个同学，每人分得多少kg？（引出$\frac{10}{x}$）###第4页：情境导入1.问题1：某长方形草坪的面积为$20m^2$，长为$3m$，则宽为______$m$；若长为$am$，则宽为______$m$（答案：$\frac{20}{3}$，$\frac{20}{a}$）2.问题2：一辆汽车行驶了$s$km，用时$t$小时，则它的速度为______km/h；若速度为$v$km/h，行驶$s$km需要______小时（答案：$\frac{s}{t}$，$\frac{s}{v}$）3.问题3：有两块稻田，第一块产稻谷$m$kg，面积为$n$亩，第二块产稻谷$p$kg，面积为$q$亩，则两块稻田的平均亩产量为______kg/亩（答案：$\frac{m+p}{n+q}$）4.观察：上述式子$\frac{20}{a}$、$\frac{s}{t}$、$\frac{s}{v}$、$\frac{m+p}{n+q}$与分数$\frac{20}{3}$有什么异同？（引出分式概念）###第5页：核心概念——分式的定义1.定义：一般地，如果$A$、$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式（fraction）2.各部分名称：-$A$叫做分式的分子（numerator）-$B$叫做分式的分母（denominator）3.关键词：$A$、$B$是整式、分母$B$含字母（缺一不可）4.辨析：分式与整式的区别-整式：分母中不含字母（如：$3x$、$\frac{5}{2}a-b$、$-7$）-分式：分母中含有字母（如：$\frac{1}{x}$、$\frac{a}{b+2}$、$\frac{x^2-1}{x+1}$）###第6页：即时练习——判断整式与分式1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？-（1）$\frac{3}{x}$（2）$\frac{x}{3}$（3）$\frac{1}{x+y}$（4）$\frac{x+y}{5}$（5）$\frac{2a-3b}{7}$（6）$\frac{5}{x^2-1}$2.答案：-整式：（2）、（4）、（5）（分母不含字母）-分式：（1）、（3）、（6）（分母含字母）3.易错提醒：$\frac{x}{3}$是整式（单项式），不是分式；$\frac{3}{x}$是分式（分母含字母$x$）###第7页：分式有意义、无意义的条件（重点）1.类比分数：分数$\frac{2}{0}$无意义，因为分母不能为02.分式有意义的条件：分母$B≠0$（分子$A$可以为任意整式）3.分式无意义的条件：分母$B=0$（与分子无关）4.例题1：当$x$取什么值时，分式$\frac{x+2}{3x-1}$有意义？无意义？-解：要使分式有意义，分母不为0→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$-要使分式无意义，分母为0→$3x-1=0$→$x=\frac{1}{3}$-答：当$x≠\frac{1}{3}$时，分式有意义；当$x=\frac{1}{3}$时，分式无意义###第8页：分式值为0的条件（难点）1.思考：分式$\frac{A}{B}$的值为0，需要满足什么条件？-类比：分数$\frac{0}{5}=0$，$\frac{5}{0}$无意义，$\frac{2}{3}≠0$→

分子为0且分母不为02.分式值为0的条件：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（两者同时满足，缺一不可）3.例题2：当$x$取什么值时，分式$\frac{x^2-4}{x+2}$的值为0？-解：要使分式值为0，需同时满足：

（1）分子为0：$x^2-4=0$→$x=2$或$x=-2$

（2）分母不为0：$x+2≠0$→$x≠-2$-综上：$x=2$-答：当$x=2$时，分式的值为0###第9页：综合例题讲解例3：当$x$取什么值时，分式$\frac{2x-6}{x^2-5x+6}$（1）有意义？（2）无意义？（3）值为0？-解：先对分母因式分解：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$-（1）有意义：分母≠0→$(x-2)(x-3)≠0$→$x≠2$且$x≠3$-（2）无意义：分母=0→$(x-2)(x-3)=0$→$x=2$或$x=3$-（3）值为0：$\begin{cases}分子=0→2x-6=0→x=3\\分母≠0→x≠2且x≠3\end{cases}$

→

没有满足条件的$x$，故分式的值不可能为0-答：（1）$x≠2$且$x≠3$；（2）$x=2$或$x=3$；（3）不存在这样的$x$###第10页：易错点警示1.混淆整式与分式：认为$\frac{x}{5}$是分式（错误，分母不含字母，是整式）2.分式有意义条件遗漏：如$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+2}$，只考虑$x-1≠0$，忽略$x+2≠0$（需所有分母均不为0）3.分式值为0忽略分母不为0：如$\frac{x-3}{x+1}$，只看分子$x-3=0$得$x=3$，未检验分母（虽$x=3$时分母≠0，但需养成检验习惯）4.分母因式分解不彻底：如例3中分母未分解，导致判断$x$的取值错误###第11页：课堂练习（分层）####基础题（必做）1.下列式子中，属于分式的是（

）A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{x}{4}$C.$\frac{1}{x-1}$D.$\frac{2x+3}{5}$（答案：C）2.当$x$______时，分式$\frac{5}{2x-3}$有意义；当$x$______时，分式无意义（答案：$≠\frac{3}{2}$；$=\frac{3}{2}$）3.当$x$______时，分式$\frac{x^2-1}{x-1}$的值为0（答案：$=-1$）####提升题（选做）1.当$x$取整数时，分式$\frac{2x+1}{x-1}$的值为整数，求$x$的取值（答案：$x=0$、$2$、$-2$、$3$）2.已知分式$\frac{ax+b}{cx+d}$（$a$、$b$、$c$、$d$为常数，$c≠0$），当$x=1$时无意义，当$x=2$时值为0，当$x=0$时值为$-2$，求这个分式（答案：$\frac{2x-4}{x-1}$）###第12页：课堂小结1.核心概念：分式的定义（$A$、$B$为整式，$B$含字母）2.三个关键条件：-有意义：分母$B≠0$-无意义：分母$B=0$-值为0：分子$A=0$且分母$B≠0$3.数学思想：类比思想（分数→分式）、分类讨论思想（字母取值范围）###第13页：布置作业1.基础题：课本习题2.1第1、2、3题2.提升题：-（1）当$x$为何值时，分式$\frac{x-2}{x^2-4x+4}$有意义？值为0？（答案：$x≠2$；无值为0的情况）-（2）已知分式$\frac{2-|x|}{x+2}$的值为0，求$x$的值（答案：$x=2$）3.思考题：当$x$取什么值时，分式$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$有意义？（提示：多层分母均不为0，答案：$x≠0$且$x≠-1$）###第14页：结束页-感谢观看！-疑问解答：XXX（教师联系方式）##二、配套教案（详细教学过程）###课题：2.1.1分式的概念###教学目标：1.知识与技能：理解分式的定义，能区分整式与分式；掌握分式有意义、无意义及值为0的条件；能熟练求分式中字母的取值范围2.过程与方法：通过类比分数的概念和性质，探究分式的相关知识，培养学生的类比推理能力和抽象概括能力；通过例题和练习，提升学生的代数运算和逻辑推理能力3.情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性和类比思想的实用性，激发学生的学习兴趣；培养学生严谨的思维习惯和主动探究的意识###教学重难点：-重点：分式的定义，分式有意义、无意义的条件-难点：分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），多层分母分式有意义的条件###教学准备：-多媒体课件（上述幻灯片内容）-课堂练习单（打印分层练习题）-预习任务单（提前让学生复习整式和分数的相关知识）###教学过程：####一、复习导入（5分钟）1.回顾旧知：-提问1：同学们，我们之前学过整式，谁能说说什么是整式？请举几个例子（学生口答，教师板书：整式包括单项式和多项式，如$3x$、$2a+b$、$-5$）-提问2：我们还学过分数，比如$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{7}$，分数的分母可以为0吗？（学生回答：不能，分母为0时分数无意义）2.情境引入：-教师：出示课件第4页的实际问题，让学生列式表示结果（学生口答，教师板书式子：$\frac{20}{a}$、$\frac{s}{t}$、$\frac{m+p}{n+q}$）-追问：这些式子和我们学过的分数有什么相同点和不同点？（相同点：都有分子和分母，都是除法形式；不同点：这些式子的分母中含有字母）-引出课题：像这样分母中含有字母的式子，就是我们今天要学习的新内容——分式（板书课题：2.1.1分式的概念）####二、探究新知（20分钟）###（一）分式的定义与辨析（7分钟）1.给出定义：-教师：出示课件第5页，板书分式的定义：一般地，如果$A$、$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。强调定义中的两个关键条件：$A$、$B$是整式；分母$B$含有字母。2.各部分名称：-指出分式中$A$是分子，$B$是分母，举例说明（如分式$\frac{x+1}{x-2}$中，分子是$x+1$，分母是$x-2$）3.整式与分式的辨析：-出示课件第6页的即时练习，让学生分组讨论判断哪些是整式，哪些是分式-指名回答，教师点评：重点强调$\frac{x}{3}$是整式（分母不含字母），$\frac{3}{x}$是分式（分母含字母），纠正学生的易错认知###（二）分式有意义、无意义的条件（6分钟）1.类比迁移：-教师：分数的分母不能为0，否则无意义，那么分式呢？（引导学生类比分数，得出分式的分母也不能为0）-总结：分式有意义的条件是分母$B≠0$；分式无意义的条件是分母$B=0$（与分子无关）2.例题讲解：-出示例题1（$\frac{x+2}{3x-1}$），教师板书完整解题过程，强调“列不等式→解不等式→得出结论”的步骤-让学生模仿练习：当$x$取什么值时，分式$\frac{4}{x^2-9}$有意义？（指名板演，教师纠错，强调分母是多项式时，需先判断分母不为0的条件）###（三）分式值为0的条件（7分钟）1.探究规律：-提问：分式的值为0，是不是只要分子为0就可以了？比如分式$\frac{0}{x-1}$，当$x=1$时，分子为0，但分母也为0，分式无意义，所以值不能为0（引导学生发现需同时满足分子为0和分母不为0）-总结：分式值为0的条件是$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（两者缺一不可）2.例题讲解：-出示例题2（$\frac{x^2-4}{x+2}$），教师板书解题过程，强调“先求分子为0的解→再排除分母为0的解→得出最终答案”的逻辑-出示综合例题3，引导学生先对分母因式分解，再分别判断有意义、无意义、值为0的条件，突破“分母为多项式”和“值为0时无解”的难点####三、巩固练习（12分钟）1.基础题练习（8分钟）：-出示课堂练习单上的基础题，让学生独立完成，教师巡视，重点关注学困生对“分式值为0”条件的掌握情况-集体订正：针对第3题（$\frac{x^2-1}{x-1}$），强调分子为0时$x=1$或$x=-1$，但$x=1$时分母为0，故只能取$x=-1$，强化“分子为0且分母不为0”的核心条件2.提升题练习（4分钟）：-让学有余力的学生尝试完成提升题，鼓励小组合作讨论-指名分享解题思路（如第1题需将分式变形为$\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$，再分析整数解），教师补充讲解，拓展学生思维####四、课堂小结（2分钟）1.学生自主总结：-提问：今天我们学习了分式的哪些知识？分式有意义、无意义、值为0的条件分别是什么？（让学生自由发言）2.教师梳理升华：-核心内容：分式的定义、三个关键条件（有意义、无意义、值为0）-解题技巧：判断字母取值范围时，先看分母（有意义/无意义），再看分子（值为0）；分母为多项式时，需保证所有因式均不为0-数学思想：类比思想（分数→分式）、分类讨论思想（字母不同取值情况）####五、布置作业（1分钟）1.基础题：课本习题2.1第1、2、3题（巩固分式的基本概念和条件判断）2.提升题：分解因式相关题目（强化分母因式分解能力）和分式值为0的综合题（提升逻辑推理能力）3.思考题：多层分母分式有意义的条件（为后续复杂分式学习做铺垫）###板书设计：```2.1.1分式的概念一、分式的定义$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母）-整式：分母不含字母（如$\frac{x}{3}$、$2x+1$）-分式：分母含字母（如$\frac{3}{x}$、$\frac{x+1}{x-2}$）二、三个关键条件1.有意义：分母$B≠0$2.无意义：分母$B=0$3.值为0：$\begin{cases}分子A=0\\分母B≠0\end{cases}$（缺一不可）三、例题例1：$\frac{x+2}{3x-1}$有意义→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$例2：$\frac{x^2-4}{x+2}$值为0→$\begin{cases}x^2-4=0→x=±2\\x+2≠0→x≠-2\end{cases}$→$x=2$四、易错点1.混淆整式与分式2.分式值为0忽略分母不为03.分母为多项式时未全面考虑不为0的条件```三、例题例1：$\frac{x+2}{3x-1}$有意义→$3x-1≠0$→$x≠\frac{1}{3}$例2：$\frac{x^2-4}{x+2}$值为0→$\begin{cases}x^2-4=0→x=±2\\x+2≠0→x≠-2\end{cases}$→$x=2$四、易错点1.混淆整式与分式2.分式值为0忽略分母不为03.分母为多项式时未全面考虑不为0的条件问题1：已知6=3×2，那从这个式子能得到什么除法运算结果？问题2(类比数的整除)：已知

x2－1＝(x＋1)(x－1)，那

x2－1除以

x＋1的结果应该是多少呢？(x2－1)÷(x＋1)＝x－1.6÷3＝2.问题3：已知

8=3×2＋2，显然

8

不能被

3

整除，那我们怎么表示

8

除以

3

的结果呢？分式的概念1

问题4(类比数不能整除的表示)：已知

x2＋1＝(x＋1)(x－1)＋2，那

x2＋1能被

x＋1整除吗？不能整除的话，该怎么表示这个结果呢？

分式的定义设

f和

g都是多项式，其中

g不为0.我们把

f除以

g的结果记作

，称

是分式，其中

f称为分子，g称为分母.知识要点思考：（1）分式与分数有何联系？②分数是分式中的字母取某些值的结果，更具一般性.整数整数整式整式(分母含有字母）分数分式类比思想特殊到一般的思想①7100a

+

1

100

(是一个数）判一判：下面的式子哪些是分式？分式:归纳：1.判断时，注意含有

π的式子中

π是常数.2.式子中含有多项时，若其中至少一项分母含有字母，其他项为整式，则该式也为分式，如：.问题3：

已知分式.(1)当x=3

时，分式的值是多少?(2)当

x=-2时，分式的值能算出来吗?不能，当

x=-2时，分式分母为0，没有意义.

当

x_____时，分式有意义.(3)当

x为何值时，分式有意义？一般到特殊的思想类比思想≠-2当x=3时，分式值为分式有意义的条件2对于分式

：当_______时分式有意义；当_______时无意义.g≠0g=0分式有意义的条件知识要点例1

已知分式有意义，则

x应满足的条件是(

)A．x≠1B．x≠2C．x≠1且

x≠2D．以上结果都不对方法总结：分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，那么每个因式都不为零.C（4）当

时，分式有意义；（2）当

x

时，分式

有意义；（1）当

x

时，分式有意义；x≠y（3）当

b

时，分式有意义；（5）当

x

时，分式有意义.做一做：为任意实数≠0≠1想一想：分式的值为零应满足什么条件？当

f=0而g≠0

时，分式的值为零.注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.分式值为零的条件及求分式的值3解：当分子等于零而分母不等于零时，分式的值为零.的值为零.所以

当

x=1

时分式所以

x≠-1.而

x+1≠0，所以

x=±1.则

x2

-1=0，例2

当

x为何值时，分式的值为零?解：(1)由题意可得，若分母2x-

3的值为0，

则分式的值不存在，解方程

2x-

3=0，得

，

例3已知分式：（1）当

x

取哪个数时，

的值不存在？（2）当

x

取哪个数时，

的值等于

0

？

（2）当

x

取哪个数时，

的值等于

0

？(2)由题意可得，若分子

x－2的值为0，则分式的值为0，解方程

x－2＝0，得

x＝2.又因为此时分母2x－3的值为2×2－3＝1≠0，

议一议(1)当

x

取哪个数时，分式

的值不存在？(2)分式

的值可能等于0吗？为什么？解：(1)由题意可得，若分母

x+1

的值为0，则分式的值不存在，解方程

x+1=0，得

x=-1.

因此当

x

取

-1时，

的值不存在.(2)不可能，因为由题意可得，若分子

x2+1的值为0，则分式的值为0