专题训练：利用勾股定理解决折叠问题

专题训练利用勾股定理解决折叠问题直角三角形中的折叠1.如图，在Rt△ABC中，直角边AC=6，BC=8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ()A.254 B.223 C.72.如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ()A.4 B.3 C.2 D.53.如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B'重合，AE为折痕，求B'E的长.长方形(正方形)中的折叠4.如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，设AE交DC于点O，若OC=5cm，则CD的长为 ()A.6cm B.7cm C.8cm D.10cm5.如图，四边形0ABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(04.4)，把矩形0BC沿0B折叠，点C落在点D处，则点D的纵坐标为()A.-2B.-2.4C.-22D.-236.如图，在长方形ABCD中，AB=5，BC=4，将长方形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长为.

7.如图所示，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长.8.(新考法)如图所示，在长方形纸片ABCD中，AD>AB，AD=9cm，AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合.求:(1)DE的长.(2)以折痕EF为边的正方形面积.9.已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD=10，AB=8，那么AE=________

【详解答案】1.C解析:根据折叠方法，得直线DE垂直平分AB，则AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△ACD中，根据勾股定理得AD2=AC2+CD2，即(8-x)2=62+x2，解得x=74.故选2.A解析:根据折叠方法，得AN=DN，BD=CD，设BN=x，则DN=9-x，BD=12BC=3，在Rt△NBD中，根据勾股定理得DN2=BN2+BD2，即(9-x)2=x2+32，解得x=4.故选3.解:根据折叠方法，得BE=B'E，AB'=AB=3，∠AB'E=∠B=90°.设B'E=BE=x，则CE=BC-BE=4-x.∵∠B=90°，AB=3，BC=4，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=AB2∴B'C=AC-AB'=5-3=2.在Rt△B'EC中，根据勾股定理，得B'E2+B'C2=CE2，即x2+22=(4-x)2，解得x=1.5.∴B'E=1.5.4.C解析:根据折叠方法，得∠BAC=∠EAC，又AB∥CD，所以∠OCA=∠BAC=∠OAC，所以△AOC是等腰三角形，且OA=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AD2+OD2=AO2，即42+OD2=52，解得OD=3，则CD=OD+OC=8cm.故选C.5.解∵点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)∴0A=8，OC=4，由折叠得:∠CBO=∠DBO，OD=OC=4，BD=BC，∠ODB=∠OCB∵四边形ABCO是矩形，∴BC//OA，0C=AB=4，∠OCB=∠BAO=90°，BC=OA=8，∴∠CBO=∠BOA，∠ODE=90°BD=OA，∴∠DBO=∠BOA，∴BE=OE，∴DE=AE，设AE=x，则BE=OE=8-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得:42+x2=(8解得:x=3，即OE=5，DE=AE=3，过D作DF⊥OA于F，∵S∴DF=3×45∴点D的纵坐标为-2.4.6.2.5解析:∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=90°，根据折叠方法，得AF=AB=5，AD=BC=4，EF=BE，在Rt△ADF中，根据勾股定理，得DF=3.在长方形ABCD中，∵CD=AB=5，∴CF=CD-DF=2.设CE=x，则EF=4-x.在Rt△CEF中，根据勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即x2+22=(4-x)2.解得x=1.5.∴BE=BC-CE=4-1.5=2.5.7.解:∵正方形纸片ABCD的边长为3，∴∠C=90°，BC=CD=3.根据折叠方法，得EG=BE=1，GF=DF.设DF=x，则EF=EG+GF=1+x，CF=CD-DF=3-x，CE=BC-BE=3-1=2.在Rt△ECF中，根据勾股定理，得EF2=EC2+FC2，即(x+1)2=22+(3-x)2，解得x=32∴DF=32∴EF=1+328.解:(1)根据折叠方法，得BE=DE.设DE=BE=xcm，则AE=AD-DE=(9-x)cm.∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=90°.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE2+AB2=BE2，即(9-x)2+32=x2，解得x=5，即DE=5cm.(2)设CF=C'F=ycm，同(1)可得CF=4cm，BF=5cm，作EG⊥BC于点G，如图所示.∴∠EGF=90°，∴△EGF是直角三角形.∴EG=AB=3cm，BG=AE=4cm.∴GF=BF-BG=5-4=1(cm).在Rt△EGF中，根据勾股定理，得EF2=EG2+GF2=32+12=10.∴以EF为边的正方形面积为EF2=10cm2.9.解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠B=∠C=∠D=9