《第十七章 特色的三角形》综合素质评价

第十七章特殊三角形综合素质评价一、选择题（每题3分，共36分）1．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则aA.a不平行于b B.a平行于b C.a不垂直于c D.b不垂直于c2．母题教材P163习题T3如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=35∘A.35∘ B.45∘ C.553．如图，在△ABC中，∠BAC=62∘，∠C=48∘，A.15∘ B.16∘ C.18∘4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=A.3 B.32 C.25．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60∘方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60∘方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，BA.9海里 B.12海里 C.15海里 D.30海里6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=A.AB=DCC.∠ABC=∠7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDCA.15∘ B.20∘ C.258．[2025沧州期末]如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC=∠①若AB=27，△ADC的周长为43，则CD=11；②若A.只有①正确 B.只有②正确C.①②都正确 D.①②都不正确9．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使点A与A.53 B.5210．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是（A.3 B.4 C.5 D.611．如图，圆柱底面半径为52πcm，高为36cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到A.39cm B.30cm C.1812．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N.连接MN，QC.下列说法：①∠AQB=60∘；②△CMN是等边三角形；③QC平分A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，若AB=AC=BC=14．若a，b为等腰三角形ABC的两边，且满足(a-4)215．[2025上海黄浦区期末]将两块斜边长等于2的三角板(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边完全叠合，按如图所示摆放，E为AB的中点，连接EC，ED，CD，那么△16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a=12(m2-n2)，b（1）任意写出满足条件的一组勾股数：_________.（2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，则该直角三角形的面积为三、解答题（共72分）17．（8分）如图，已知线段AB.用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB=90∘，且AC=BC18．（8分）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70∘，∠BCE19．（8分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E20．（8分）如图，在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25km21．[2025承德期末]（12分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD（1）请你判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若AB+AC=20，S04分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点.由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交（1）若设AP的长为x，则PC=_________，QC=（2）当∠BQD=30∘（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.23．（14分）如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC=90∘，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A（1）求证：△FBD（2）延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点G，如图②.试探索CE，GE，BG

第十七章特殊三角形综合素质评价答案版一、选择题（每题3分，共36分）1．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则aA.a不平行于b B.a平行于b C.a不垂直于c D.b不垂直于c【答案】A2．母题教材P163习题T3如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠BAD=35∘（第2题）A.35∘ B.45∘ C.55【答案】C3．如图，在△ABC中，∠BAC=62∘，∠C=48∘，（第3题）A.15∘ B.16∘ C.18∘【答案】D4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC=5，BC=1，∠AOB=（第4题）A.3 B.32 C.2【答案】A5．如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南60∘方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60∘方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B（第5题）A.9海里 B.12海里 C.15海里 D.30海里【答案】D6．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=（第6题）A.AB=DCC.∠ABC=∠【答案】D7．如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC（第7题）A.15∘ B.20∘ C.25【答案】A【点拨】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60∘.∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD=8．[［2025沧州期末］]如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC=∠（第8题）①若AB=27，△ADC的周长为43，则CD=11；②若A.只有①正确 B.只有②正确C.①②都正确 D.①②都不正确【答案】A【点拨】①∵∠ADC=∠ACD=2∠B，∠ADC=∠BCD+∠B，∴AD=AC，∠BCD=∠B.∴BD=CD.∵AB=279．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使点A与（第9题）A.53 B.52【答案】C【点拨】设BN=x，由折叠可得DN=AN=9-x.因为D是BC的中点，所以BD=3.在10．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是（（第10题）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【点拨】如图，分情况讨论：①AB为底边时，符合条件的格点C有2个；②AB为其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个.故符合条件的格点C有511．如图，圆柱底面半径为52πcm，高为36cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到（第11题）A.39cm B.30cm C.18【答案】A12．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A，C，E在一条直线上，连接AD，BE相交于点Q，与BC，CD分别交于点M，N.连接MN，QC.下列说法：①∠AQB=60∘；②△CMN是等边三角形；③QC平分（第12题）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【点拨】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60∘，∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中，BC=AC，③如图①，过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BE于点G，∴∠AHC=∠BGC=90∘.∵AC=BC，∠CAH=∠CBG，∴△ACH≌△BCG(AAS)，∴CH=CG.又∵CH⊥AD，CG⊥BE，∴QC平分∠AQE，故③正确；⑤如图②，过点C作CK//BE，交AD于K，由③知QC平分∠AQE，二、填空题（每题3分，共12分）13．如图，若AB=AC=BC（第13题）【答案】30∘14．若a，b为等腰三角形ABC的两边，且满足(a-4)【答案】2015．[［2025上海黄浦区期末］]将两块斜边长等于2的三角板(Rt△ABC与Rt△ABD)的斜边完全叠合，按如图所示摆放，E为AB的中点，连接EC，ED，CD，那么（第15题）【答案】1416．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为a=12(m2-n2)，b（1）任意写出满足条件的一组勾股数：__________________.（2）某三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5【答案】（1）8，15，17（答案不唯一）（2）210【解析】（2）【点拨】∵n=5，∴a=12(m2-25)，b=5m，c=12(m2+25).∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论：①当a=37，即12(m2-25)=37时，解得m=±311（不合题意，舍去）；三、解答题（共72分）17．（8分）如图，已知线段AB.用两种不同的方法作△ABC，使得∠ACB=90∘，且AC=BC【解】如图，△ABC即为所求方法一：作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D，在射线DM上取DC，使得DC=AD，最后连接AC，方法二：分别以点A，B为垂足作AD⊥AB，BE⊥AB，再作∠DAB和18．（8分）如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70∘，∠BCE【解】∵CE，BF∴∠AEC∵∠A=70∘，∴∠又∵∠BCE=30∘∴∠FBC=19．（8分）如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E【证明】假设点D与点E重合.∵AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分BC∴AB=AC，这与∴点D与点E不重合.20．（8分）如图，在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25km【解】在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC2+CE2=AE2.在Rt△BDE中，根据勾股定理，得B21．[［2025承德期末］]（12分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD（1）请你判断AD与EF的位置关系，并说明理由；（2）若AB+AC=20，S【答案】（1）【解】AD垂直平分EF.理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△在Rt△AED和Rt△AFD∴Rt△AED∵DE=DF，∴（2）∵DE=DF∵AB+AC22．[［2025邯郸期末］]（14分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点.由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交（1）若设AP的长为x，则PC=______，QC（2）当∠BQD=30∘（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，直接写出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.【答案】（1）6-x（2）【解】过点P作PF//QC交AB于点F，则△AFP是等边三角形，∠DQB=∠DPF，又∵∠BDQ=∠FDP，∴△DBQ≌△DFP(AAS)（3）在运动过程中，线段ED的长不发生变化.ED的长为3.23．（14分）如图①，在等腰直角三角形BC