第一节　简谐运动

第一节简谐运动学

习

目

标思

维

导

图1.知道简谐运动的定义，理解振幅、周期、频率的概念，知道全振动的含义．2．知道弹簧振子是理想化物理模型，能对简谐运动进行动力学分析．3．会对简谐运动进行能量分析．01.知识点一03.知识点三04.随堂自主检测05.课时素养评价10内容索引02.知识点二01.知识点一知识点一简谐运动和弹簧振子模型【情境导学】如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？提示：小球的运动具有往复性．小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动．提示：小球往复运动的次数增多，运动时间变长．(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？(4)如果忽略阻力，小球在运动过程中受到哪几个力作用？合力方向如何？提示：小球将持续地做往复运动．提示：受到重力、支持力、弹簧弹力．合力方向总指向弹簧原长的位置．【知识梳理】认识简谐运动1．机械振动：物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的________运动叫作机械振动，简称振动．2．回复力：影响小球运动的只有弹簧的弹力，这个力的方向跟小球偏离平衡位置的位移方向相反，总指向平衡位置，它的作用是使小球能返回________，这个力叫作回复力．往复平衡位置3．简谐振动：物体在跟平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的________的作用下的振动，叫作简谐振动．状元随笔简谐运动的位移均为相对平衡位置的位移，即表示位移的有向线段的起点是平衡位置．回复力【重难突破】1．简谐运动(1)运动性质简谐运动的位移随时间按正弦规律变化，所以它不是匀变速运动，是变力作用下的变加速运动．(2)简谐运动的位移位移：从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．①大小：平衡位置到振子所在位置的距离．②方向：从平衡位置指向振子所在位置．③位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示．(3)回复力回复力是根据力的作用效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．例如：图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；图丙所示，m随M一起振动，m的回复力则由静摩擦力充当．(4)对回复力公式F＝－kx的说明①回复力F＝－kx中的k是比例系数，并非弹簧的劲度系数，其值由振动系统决定．对水平弹簧振子，回复力仅由弹簧弹力提供，k即为劲度系数，由弹簧决定，与振幅无关，其单位是N/m.②回复力的大小跟位移大小成正比，“－”号表示回复力与位移的方向相反．2．弹簧振子(1)构造：弹簧振子是一种理想化模型．其构造为一根没有质量的弹簧，其一端固定，另一端连接一个可视为质点的小球，如图所示．(2)振动特征：①有一个“中心位置”，即平衡位置；②运动具有往复性．如图所示．(3)弹簧振子是一种理想化模型①弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统的名称，但有时也把这样的小球称作弹簧振子或简称振子．②理想化的弹簧振子：一根没有质量的弹簧一端固定，另一端连接一个质点．③弹簧振子理想化条件：忽略弹簧质量、忽略小球的大小和形状、忽略摩擦及其他阻力．(4)平衡位置振子不振动时，保持静止状态的位置；振子振动时，速度最大的位置．平衡位置不一定是中心位置(如图甲所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图乙所示物体的振动)．例1(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是(

)A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置答案：AD解析：回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，D正确．【变式训练1】如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止．图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力f与振子的位移x关系的图像应为(

)答案：C

02.知识点二知识点二描述简谐运动的物理量【情境导学】如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？(2)先后将振子分别拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动过程中通过的位移相同吗？路程相同吗？提示：不是．经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次与初始时刻相同．提示：周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．【知识梳理】1．全振动：小球经历B→O→

B′→O→B路径的一个________振动过程叫作一次全振动．2．简谐运动的图像：小球的位移—时间函数为________或者________函数，我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动．3．振幅：物体振动时离开平衡位置的________距离叫作振动的振幅．4．周期：物体完成一次全振动所需要的________叫作振动的周期，用T表示，对应正弦或者余弦函数的一个周期．完整正弦余弦最大时间5．频率：物体在一段时间内全振动的次数与所用时间________叫作振动的频率，用f表示．状元随笔弹簧振子的振动图像不是振子的运动轨迹，弹簧振子的运动轨迹是一段线段．之比【重难突破】1．对全振动的理解

(1)振动过程：如图所示，从O点开始，一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O；从A点开始，一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A.(2)全振动的三个特征①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．②时间特征：历时一个周期．③路程特征：振幅的4倍．2．振幅与“三个”量的关系(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间周期性地变化．(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的．其中常用的定量关系是一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅．(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关．3．简谐运动的速度和加速度(1)速度跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴上，速度的正、负表示振子的运动方向与坐标轴的正方向相同还是相反，如图所示

，在x轴上设O点为平衡位置，则振子在O点位移为零而速度最大，设A、B两点为位移大小的最大处，则振子位于A、B两点时，速度为零．(2)加速度水平弹簧振子的加速度是由弹簧的弹力产生的，振子在平衡位置时弹簧的弹力为零，故振子的加速度为零；在最大位移处时，弹簧的弹力最大，故振子的加速度大小最大．不管弹簧是拉伸还是压缩，弹簧对振子的弹力总是指向平衡位置，即振子的加速度方向总是指向平衡位置．例2对水平弹簧振子，下列说法正确的是(

)A．每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同B．通过平衡位置时，速度为零，加速度最大C．每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同D．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值答案：A解析：弹簧振子的运动具有重复性，经过任意位置(除最大位移处)速度有来回两个相反的方向，所以通过同一位置时，速度不一定相同，但加速度一定相同，A正确．振子每次通过平衡位置时，速度最大，加速度为零，B错误．振子每次通过平衡位置时，加速度为零，故相同；但速度有两个相反的方向，不一定相同，C错误．若位移为负值，则速度可正可负还可以为零，D错误．【变式训练2】弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，由B→C运动时间为1s，则(

)A．从B开始经过0.25s，振子通过的路程是2.5cmB．经过两次全振动，振子通过的路程为80cmC．该振子任意1s内通过的路程都一定是10cmD．振动周期为2s，振幅为10cm答案：C

03.知识点三知识点三简谐运动的能量分析【情境导学】如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动．(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置时的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？提示：振子的动能先增大后减小，弹簧的弹性势能先减小后增大，总机械能保持不变．提示：增大，增大．(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？提示：实际的振动系统，能量逐渐减小．理想化的弹簧振动系统，能量不变．【知识梳理】简谐运动的能量特征(1)简谐运动是周期性往复运动，在回复力的作用下，振子在振动过程中离开平衡位置的距离、加速度、速度、动能、弹性势能等在每个周期里完全________.(2)弹簧振子做简谐运动的过程中，弹簧振子的弹性势能和________相互转化，机械能的总量________．重复动能不变【重难突破】1．如果摩擦阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动到任意位置时，系统的动能与势能之和都是一定的，即机械能守恒．2．简谐运动的机械能由振幅决定对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大．如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去．3．简谐运动的能量特征振子以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动，如图所示从A到B过程，各物理量的变化规律如表所示：

位置AA→OOO→BBx向左最大向左减小0向右增大向右最大F、a向右最大向右减小0向左增大向左最大v0向右增大向右最大向右减小0动能0增大最大减小0势能最大减小0增大最大例3把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它以平衡位置O为对称中心在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(

)A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加答案：A解析：小球在O位置时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B错误；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C错误；由B→O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D错误．【变式训练3】(多选)如图所示，一弹簧振子可沿竖直方向做简谐运动，O为平衡位置，现将弹簧振子从平衡位置向下拉一段距离ΔL，释放后振子在M、N间振动，且MN＝40cm，振子第一次由M到N的时间为0.2s，不计一切阻力，下列说法中正确的是(

)A．振子在振动过程中，若速度大小相同，则弹簧的长度一定相等B．振子在运动过程中，系统的机械能守恒C．从释放振子开始计时，振子在0.1s内动能逐渐增大D．从释放振子开始计时，振子在0.6s末偏离平衡位置的位移大小为10cm答案：BC

04.随堂自主检测1．(多选)下列说法中正确的是(

)A．弹簧振子的运动是简谐运动B．简谐运动就是指弹簧振子的运动C．简谐运动是匀变速运动D．简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种答案：AD解析：弹簧振子的运动是一种简谐运动，而简谐运动是机械振动中最简单、最基本的运动，A、D正确．2．(多选)对于做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是(

)A．振子通过平衡位置时，速度最大B．振子在最大位移处时，速度最大C．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同D．振子连续两次通过同一位置时，速度相同答案：AC解析：振子通过平衡位置时，速度最大，A正确；振子在最大位移处时，速度最小，B错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；速度是矢量，振子连续两次通过同一位置时，速度大小相等，方向相反，即速度不同，D错误．3．做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的速度方向，下列说法正确的是(

)A．总是与位移方向相反B．总是与位移方向相同C．远离平衡位置时与位移方向相反D．向平衡位置运动时与位移方向相反答案：D解析：做简谐运动的振子，速度方向与位移方向存在两种可能，因为位移的方向总是背离平衡位置，所以当振子靠近平衡位置时，二者方向相反，远离平衡位置时，二者方向相同，D正确．4．某弹簧振子如图所示，其中A、B均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O为平衡位置．在振子由O向A运动的过程中，下列说法正确的是(

)A．振子偏离平衡位置的位移方向向左B．振子偏离平衡位置的位移正在减小C．弹簧的弹性势能正在减小D．振子的速度正在减小答案：D解析：振子偏离平衡位置的位移方向向右，且正在增大，A、B错误；弹簧处于伸长状态且形变量正在增大，故弹簧的弹性势能正在增大，振子的动能转化为弹簧的弹性势能，振子的速度减小，C错误，D正确．05.课时素养评价101．光滑斜面上的小球连在轻质弹簧上，如图所示，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简谐运动．对简谐运动中的小球进行受力分析，正确的是(

)A．重力、支持力、弹力、摩擦力B．重力、支持力、弹力、回复力C．重力、支持力、回复力D．重力、支持力、弹力答案：D解析：对小球进行受力分析，小球受到重力、斜面对其的支持力和弹簧弹力，D正确．2．(多选)关于机械振动和平衡位置，以下说法正确的是(

)A．平衡位置就是振动物体静止时的位置B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远的位移答案：AB解析：平衡位置是物体静止时的位置，与受力有关，振动位移是以平衡位置为起点，到物体所在位置的有向线段；振动位移随时间而变化，物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，而路程越大，位移不一定越大．所以只有A、B选项正确．3．有一个在光滑水平面上的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则振子先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(

)A．1∶1，1∶1 B．1∶1，1∶2C．1∶4，1∶4 D．1∶2，1∶2答案：B解析：弹簧的压缩量是振子离开平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，又因为周期与振幅无关，故周期之比为1∶1，B正确．4．在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力大小是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是(

)A．2m/s2，方向水平向右B．2m/s2，方向水平向左C．4m/s2，方向水平向右D．4m/s2，方向水平向左答案：D

5．如图所示为一弹簧振子，O为平衡位置，以水平向右为正方向，则振子在B、C之间振动时(

)A．B→O位移为负、速度为正B．O→C位移为正、速度为负C．C→O位移为负、速度为正D．O→B位移为正、速度为负答案：A解析：振子速度方向即振子运动方向，则B→O位移向左为负，速度向右为正，A正确；O→C位移向右为正，速度向右为正，B错误；C→O位移向右为正，速度向左为负，C错误；O→B位移向左为负，速度向左为负，D错误．6．(多选)关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是(

)A．在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同C．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大D．在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小答案：AD解析：设O为质点做简谐运动的平衡位置，质点在BC之间做简谐运动，则它由C经过O到B，又由B经过O到C一个周期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A正确；质点的位移方向与加速度方向总是相反的，B错误；质点在振动过程中，当回复力增大时，其势能增加，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C错误；当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力减小，势能减小，质点的加速度大小也减小，D正确．7．下列关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是(

)A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处B．周期和频率的乘积可以变化C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小D．做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关答案：D解析：振幅是标量，A错误；由于周期与频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1，保持不变，B错误；做简谐振动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关；所以振幅增大，周期和频率保持不变，C错误，D正确．8．(多选)如图所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在M、N之间做简谐运动，O点是平衡位置．关于小球的运动情况，下列说法正确的是(

)A．小球经过O点时速度为零B．小球经过M点与N点时的加速度相同C．小球从M点向O点运动时，加速度减小，速度增大D．小球从O点向N点运动时，加速度增大，速度减小答案：CD解析：小球经过O点时速度最大，A错误；小球经过M点与N点时的加速度大小相等，方向相反，B