2025 九年级数学上册二次函数图像顶点在反比例函数上的条件课件

一、知识回顾与问题情境引入演讲人知识回顾与问题情境引入01典型例题与变式训练02核心条件的推导与分析03总结与拓展提升04目录2025九年级数学上册二次函数图像顶点在反比例函数上的条件课件01知识回顾与问题情境引入知识回顾与问题情境引入作为一线数学教师，我常发现学生在学习函数综合问题时，容易因知识点割裂而陷入困惑。今天我们要探讨的“二次函数图像顶点在反比例函数上的条件”，正是一次典型的函数综合应用问题。在正式探究前，我们需要先搭建知识桥梁，从已学内容中寻找关联。1二次函数的图像特征与顶点坐标二次函数是九年级数学的核心内容，其图像为抛物线，解析式有三种形式：一般式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）、顶点式(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)）、交点式(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)）。其中，顶点式直接揭示了抛物线的顶点坐标((h,k))，而一般式可通过配方法转化为顶点式，顶点坐标也可通过公式(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))计算。例如，二次函数(y=2x^2-4x+3)，通过配方得(y=2(x-1)^2+1)，其顶点为((1,1))；用公式计算时，1二次函数的图像特征与顶点坐标(-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1)，(\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times2\times3-(-4)^2}{4\times2}=\frac{24-16}{8}=1)，结果一致。这说明无论用哪种形式，顶点坐标的本质是统一的。2反比例函数的图像特征与解析式反比例函数是另一种重要的基本函数，解析式为(y=\frac{k}{x})（(k\neq0)），图像是双曲线，分布在两个象限（(k>0)时在一、三象限，(k<0)时在二、四象限）。其核心性质是“双曲线上任意一点的横纵坐标之积等于(k)”，即若点((x,y))在(y=\frac{k}{x})上，则(xy=k)。例如，点((2,3))在反比例函数图像上，则(k=2\times3=6)，解析式为(y=\frac{6}{x})；反之，若反比例函数为(y=-\frac{4}{x})，则点((-1,4))满足((-1)\times4=-4)，必在该双曲线上。3问题提出：当顶点“相遇”反比例函数现在，我们将两个函数联系起来：若二次函数的顶点((h,k))恰好落在反比例函数(y=\frac{m}{x})（(m\neq0)）的图像上，需要满足什么条件？举个实际例子：已知二次函数(y=a(x-2)^2+t)，其顶点为((2,t))，若该顶点在反比例函数(y=\frac{6}{x})上，那么(t)应取何值？显然，将(x=2)，(y=t)代入反比例函数得(t=\frac{6}{2}=3)，即(t=3)时满足条件。但这只是特殊情况，我们需要从特殊到一般，推导普遍适用的条件。02核心条件的推导与分析核心条件的推导与分析要解决一般情况下的问题，我们需要建立代数模型，将顶点坐标代入反比例函数解析式，通过等式变形得到条件关系式。这一过程需要严谨的逻辑推导，同时要注意参数的限制条件。1设定变量与一般形式设二次函数为(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其顶点为((h,k))；反比例函数为(y=\frac{m}{x})（(m\neq0)）。若顶点((h,k))在反比例函数上，则顶点坐标必须满足反比例函数的解析式，即(k=\frac{m}{h})。若二次函数用一般式表示为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），则顶点坐标为(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。此时，顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})上的条件为：1设定变量与一般形式[\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{m}{-\frac{b}{2a}}]这一等式是后续推导的关键，需要逐步化简。2代数化简与条件表达式从一般式出发的条件等式：[\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{m}{-\frac{b}{2a}}]右边分母为(-\frac{b}{2a})，因此右边可化简为(m\div\left(-\frac{b}{2a}\right)=m\times\left(-\frac{2a}{b}\right)=-\frac{2am}{b})。于是等式变为：[\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{2am}{b}]2代数化简与条件表达式两边同乘(4ab)（(a\neq0)，(b\neq0)，否则顶点横坐标无意义或反比例函数无定义）消去分母：[b(4ac-b^2)=-8a^2m]展开左边得(4abc-b^3=-8a^2m)，整理后得到：[8a^2m+4abc-b^3=0]这就是二次函数（一般式）顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})上的代数条件。若用顶点式(y=a(x-h)^2+k)，则条件更简洁：(k=\frac{m}{h})（(h\neq0)，因为反比例函数在(x=0)处无定义）。此时，若已知反比例函数的(m)，则(k)与(h)需满足(kh=m)；若已知二次函数的(h)和(k)，则反比例函数的(m)为(kh)。3条件的几何意义与限制从几何角度看，二次函数的顶点((h,k))必须落在反比例函数的双曲线上，因此(h)和(k)不能为零（(h=0)时反比例函数无定义，(k=0)时顶点在(x)轴上，若(h\neq0)，则(0=\frac{m}{h})要求(m=0)，但反比例函数(m\neq0)，故(k\neq0)）。此外，(a)的正负决定抛物线开口方向，但不影响顶点是否在反比例函数上，仅影响抛物线的形状。例如，二次函数(y=-3(x+1)^2+2)的顶点为((-1,2))，若该顶点在反比例函数上，则(m=(-1)\times2=-2)，反比例函数为(y=-\frac{2}{x})，其图像经过第二、四象限，而顶点((-1,2))在第二象限，符合双曲线的分布。4特殊情况与常见误区（1）当二次函数顶点在反比例函数的对称中心（原点）时：反比例函数的对称中心是原点，但顶点为((0,0))时，代入(y=\frac{m}{x})得(0=\frac{m}{0})，无意义，因此顶点不可能在原点。（2）当(b=0)时：二次函数一般式为(y=ax^2+c)，顶点为((0,c))，代入反比例函数(y=\frac{m}{x})得(c=\frac{m}{0})，同样无意义，因此(b\neq0)是条件成立的隐含前提（除非题目允许反比例函数退化为其他形式，但根据定义(m\neq0)，故(b\neq0)）。（3）学生常见误区：混淆二次函数顶点式中的(k)和反比例函数中的(k)（这里统一用(m)避免混淆）；忘记(h\neq0)的限制，导致代入(x=0)时出现错误。03典型例题与变式训练典型例题与变式训练为了巩固对条件的理解，我们通过例题从不同角度进行分析，涵盖已知参数求条件、已知条件求参数范围、综合应用等类型。1基础例题：已知参数求条件例1：二次函数(y=2(x-3)^2+t)的顶点在反比例函数(y=\frac{6}{x})上，求(t)的值。分析：二次函数顶点式为(y=2(x-3)^2+t)，顶点坐标为((3,t))。顶点在(y=\frac{6}{x})上，故(t=\frac{6}{3}=2)。解答：(t=2)。例2：二次函数(y=ax^2+4x-1)的顶点在反比例函数(y=\frac{8}{x})上，求(a)的值。1基础例题：已知参数求条件分析：首先计算顶点坐标。顶点横坐标(h=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2a}=-\frac{2}{a})，纵坐标(k=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a\times(-1)-4^2}{4a}=\frac{-4a-16}{4a}=\frac{-a-4}{a})。顶点(\left(-\frac{2}{a},\frac{-a-4}{a}\right))在(y=\frac{8}{x})上，故(\frac{-a-4}{a}=\frac{8}{-\frac{2}{a}})。右边化简：(\frac{8}{-\frac{2}{a}}=8\times\left(-\frac{a}{2}\right)=-4a)。1基础例题：已知参数求条件因此等式为(\frac{-a-4}{a}=-4a)，两边乘(a)（(a\neq0)）得(-a-4=-4a^2)，整理为(4a^2-a-4=0)，解得(a=\frac{1\pm\sqrt{1+64}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{65}}{8})。解答：(a=\frac{1+\sqrt{65}}{8})或(a=\frac{1-\sqrt{65}}{8})。2变式训练：已知条件求参数范围变式1：二次函数(y=a(x-h)^2+k)的顶点在反比例函数(y=\frac{m}{x})上，且抛物线与(x)轴有两个交点，求(a)的取值范围（用(h,k,m)表示）。分析：顶点在反比例函数上，故(k=\frac{m}{h})（(h\neq0)）。抛物线与(x)轴有两个交点，需满足判别式(\Delta>0)。将顶点式展开为一般式：(y=ax^2-2ahx+ah^2+k)，判别式(\Delta=(-2ah)^2-4a(ah^2+k)=4a^2h^2-4a^2h^2-4ak=-4ak)。因此(-4ak>0)，即(ak<0)。又(k=\frac{m}{h})，故(a\cdot\frac{m}{h}<0)，即(a)与(\frac{m}{h})异号。2变式训练：已知条件求参数范围解答：(a)的取值范围是(a<0)且(\frac{m}{h}>0)，或(a>0)且(\frac{m}{h}<0)。变式2：若二次函数(y=x^2+bx+c)的顶点在反比例函数(y=\frac{2}{x})上，且顶点在第一象限，求(b)的取值范围。分析：顶点坐标(\left(-\frac{b}{2},\frac{4c-b^2}{4}\right))在第一象限，故(-\frac{b}{2}>0)（即(b<0)）且(\frac{4c-b^2}{4}>0)（即(4c-b^2>0)，2变式训练：已知条件求参数范围(c>\frac{b^2}{4})）。顶点在(y=\frac{2}{x})上，故(\frac{4c-b^2}{4}=\frac{2}{-\frac{b}{2}}=-\frac{4}{b})，整理得(4c-b^2=-\frac{16}{b})，即(c=\frac{b^2}{4}-\frac{4}{b})。结合(c>\frac{b^2}{4})，得(\frac{b^2}{4}-\frac{4}{b}>\frac{b^2}{4})，即(-\frac{4}{b}>0)，故(b<0)（与顶点横坐标条件一致）。因此(b)的取值范围是(b<0)。解答：(b<0)。3综合应用：与其他函数结合的问题例3：已知二次函数(y=-x^2+bx+c)的顶点(M)在反比例函数(y=\frac{4}{x})上，且该二次函数与直线(y=x+2)交于(A(1,3))和(B)两点，求(b,c)的值及点(B)的坐标。分析：（1）点(A(1,3))在二次函数上，代入得(3=-1+b+c)，即(b+c=4)①。（2）二次函数顶点(M\left(\frac{b}{2},\frac{4\times(-1)c-b^2}{4\times(-1)}\right)=\left(\frac{b}{2},3综合应用：与其他函数结合的问题c+\frac{b^2}{4}\right))。顶点在(y=\frac{4}{x})上，故(c+\frac{b^2}{4}=\frac{4}{\frac{b}{2}}=\frac{8}{b})，即(4c+b^2=\frac{32}{b})②。（3）联立①②：由①得(c=4-b)，代入②得(4(4-b)+b^2=\frac{32}{b})，即(16-4b+b^2=\frac{32}{b})。两边乘(b)（(b\neq0)）得(16b-4b^2+b^3=32)，整理为(b^3-4b^2+16b-32=0)，因式分解得((b-4)(b^2+16)=0)，解得(b=4)（(b^2+16=0)无实数解）。3综合应用：与其他函数结合的问题（4）(b=4)时，(c=4-4=0)，二次函数为(y=-x^2+4x)。与直线(y=x+2)联立，得(-x^2+4x=x+2)，即(x^2-3x+2=0)，解得(x=1)或(x=2)，对应(y=3)或(y=4)，故点(B)为((2,4))。解答：(b=4)，(c=0)，点(B(2,4))。04总结与拓展提升总结与拓展提升通过以上探究，我们从知识回顾到条件推导，再到例题应用，系统梳理了“二次函数顶点在反比例函数上的条件”这一问题。现在需要对核心内容进行提炼，并展望延伸方向。1核心条件的再梳理1（1）代数条件：若二次函数顶点为((h,k))，反比例函数为(y=\frac{m}{x})，则(kh=m)（