2025 九年级数学上册二次函数图像翻折后的解析式求法课件

一、知识铺垫：从二次函数的基本图像说起演讲人CONTENTS知识铺垫：从二次函数的基本图像说起规律探究：不同对称轴下的翻折解析式推导方法总结：解析式求法的“三步曲”应用拓展：从单一翻折到综合问题常见误区与教学建议总结与升华目录2025九年级数学上册二次函数图像翻折后的解析式求法课件各位同仁、同学们：今天我们共同探讨的主题是“二次函数图像翻折后的解析式求法”。作为九年级数学上册的核心内容之一，二次函数是刻画现实世界中变量关系的重要模型，而图像的翻折变换则是研究函数图像性质、理解函数动态变化的关键载体。在多年的教学实践中，我深刻体会到：掌握翻折后的解析式求法，不仅需要扎实的代数运算能力，更需要建立“数”与“形”的双向联结——这正是九年级学生从“直观感知”向“理性分析”过渡的重要思维训练点。接下来，我将从“知识铺垫—规律探究—方法总结—应用拓展”四个维度展开讲解，帮助大家系统掌握这一核心技能。01知识铺垫：从二次函数的基本图像说起知识铺垫：从二次函数的基本图像说起要研究翻折后的解析式，首先需要明确二次函数的基本图像特征及其解析式的表达形式。1二次函数的三种解析式形式二次函数的解析式主要有三种形式，它们从不同角度刻画了函数的图像特征：一般式：(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其中(a)决定开口方向和大小，(c)是图像与(y)轴的交点纵坐标；顶点式：(y=a(x-h)^2+k)（(a\neq0)），其中((h,k))是抛物线的顶点坐标，(a)的意义与一般式一致；交点式：(y=a(x-x_1)(x-x_2))（(a\neq0)），其中(x_1,x_2)是抛物线与(x)轴交点的横坐标。1二次函数的三种解析式形式这三种形式可以通过配方法或展开式相互转化，其中顶点式因直接体现顶点坐标，在研究图像变换（如平移、翻折）时更为便捷。2翻折变换的几何本质翻折（即轴对称变换）是平面几何中的基本变换之一。对于二次函数图像而言，翻折后的图像与原图像关于某条直线（对称轴）对称，原图像上任意一点(P(x,y))的对称点(P'(x',y'))必在翻折后的图像上，且满足对称轴是(PP')的垂直平分线。例如，若对称轴为(x)轴，则点(P(x,y))的对称点为(P'(x,-y))；若对称轴为(y)轴，则对称点为(P'(-x,y))。这一坐标变换规律是推导翻折后解析式的核心依据。02规律探究：不同对称轴下的翻折解析式推导规律探究：不同对称轴下的翻折解析式推导根据对称轴的不同，二次函数图像的翻折可分为“关于(x)轴翻折”“关于(y)轴翻折”两类最基本的情况，我们逐一分析其解析式的变化规律。1关于(x)轴的翻折定义：将原抛物线沿(x)轴“上下翻转”，原图像上的点((x,y))变为((x,-y))。推导过程：设原二次函数为(y=f(x))，翻折后的图像上任意一点坐标为((x,Y))，根据翻折定义，该点是原图像上某点((x,y))关于(x)轴的对称点，因此(Y=-y)，即(y=-Y)。由于((x,y))在原函数图像上，故(y=f(x))，代入得(-Y=f(x))，即(Y=-f(x))。结论：关于(x)轴翻折后的解析式为(y=-f(x))。具体形式分析：1关于(x)轴的翻折若原函数为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，则翻折后解析式为(y=-a(x-h)^2-k)。此时，开口方向与原函数相反（(a)变为(-a)），顶点坐标由((h,k))变为((h,-k))，对称轴（直线(x=h)）保持不变；若原函数为一般式(y=ax^2+bx+c)，则翻折后解析式为(y=-ax^2-bx-c)。此时，二次项系数、一次项系数、常数项均取反，开口方向相反，顶点坐标由(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))变为(\left(-\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^2}{4a}\right))。1关于(x)轴的翻折实例验证：原函数(y=2(x-1)^2+3)关于(x)轴翻折后，解析式应为(y=-2(x-1)^2-3)。我们可以通过顶点验证：原顶点((1,3))翻折后应为((1,-3))，代入新解析式，当(x=1)时，(y=-2(0)^2-3=-3)，符合预期；再取原函数上一点((2,5))（当(x=2)时，(y=2(1)^2+3=5)），其关于(x)轴的对称点为((2,-5))，代入新解析式，(y=-2(2-1)^2-3=-2-3=-5)，完全吻合。2关于(y)轴的翻折定义：将原抛物线沿(y)轴“左右翻转”，原图像上的点((x,y))变为((-x,y))。推导过程：设原二次函数为(y=f(x))，翻折后的图像上任意一点坐标为((X,y))，根据翻折定义，该点是原图像上某点((x,y))关于(y)轴的对称点，因此(X=-x)，即(x=-X)。由于((x,y))在原函数图像上，故(y=f(x)=f(-X))，即(y=f(-X))。将(X)换为(x)（自变量符号不影响函数本质），翻折后的解析式为(y=f(-x))。结论：关于(y)轴翻折后的解析式为(y=f(-x))。2关于(y)轴的翻折具体形式分析：若原函数为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，则(f(-x)=a(-x-h)^2+k=a(x+h)^2+k)，因此翻折后解析式为(y=a(x+h)^2+k)。此时，开口方向、开口大小与原函数一致（(a)不变），顶点坐标由((h,k))变为((-h,k))，对称轴由直线(x=h)变为直线(x=-h)；若原函数为一般式(y=ax^2+bx+c)，则(f(-x)=a(-x)^2+b(-x)+c=ax^2-bx+c)，因此翻折后解析式为(y=ax^2-bx+c)。2关于(y)轴的翻折此时，二次项系数和常数项不变，一次项系数取反，顶点坐标由(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))变为(\left(\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))（即横坐标取反，纵坐标不变）。实例验证：原函数(y=2(x-1)^2+3)关于(y)轴翻折后，解析式应为(y=2(x+1)^2+3)。验证顶点：原顶点((1,3))翻折后应为((-1,3))，代入新解析式，当(x=-1)时，(y=2(0)^2+3=3)，2关于(y)轴的翻折符合预期；再取原函数上一点((2,5))，其关于(y)轴的对称点为((-2,5))，代入新解析式，(y=2(-2+1)^2+3=2(1)+3=5)，完全吻合。2.3特殊情况：关于直线(y=k)或(x=h)的翻折（拓展）在掌握关于(x)轴、(y)轴翻折的基础上，我们可以进一步拓展到关于任意水平直线(y=k)或垂直直线(x=h)的翻折。这类问题在九年级后期或中考中可能作为拔高题出现，其核心思路仍是利用点的对称坐标推导解析式。2关于(y)轴的翻折关于直线(y=k)的翻折：原图像上点((x,y))的对称点为((x,2k-y))（因对称轴(y=k)是(y)和(2k-y)的中点）。设翻折后解析式为(Y)，则(Y=2k-y)，即(y=2k-Y)。代入原函数(y=f(x))，得(2k-Y=f(x))，故(Y=2k-f(x))。关于直线(x=h)的翻折：原图像上点((x,y))的对称点为((2h-x,y))（因对称轴(x=h)是(x)和(2h-x)的中点）。设翻折后解析式为(Y)，则(x'=2h-x)，2关于(y)轴的翻折即(x=2h-x')。代入原函数(y=f(x))，得(y=f(2h-x'))，故翻折后解析式为(y=f(2h-x))（将(x')换回(x)）。实例说明：若原函数为(y=x^2)，关于直线(y=1)翻折，根据公式(Y=2\times1-f(x)=2-x^2)，验证：原函数上点((0,0))关于(y=1)的对称点为((0,2))，代入(Y=2-x^2)，当(x=0)时(Y=2)，正确；点((1,1))的对称点为((1,1))（因(1=2\times1-1)），代入(Y=2-1^2=1)，正确。03方法总结：解析式求法的“三步曲”方法总结：解析式求法的“三步曲”通过上述分析，我们可以总结出求二次函数图像翻折后解析式的通用方法，可概括为“定轴—找点—代入”三步：1第一步：确定对称轴明确翻折是关于哪条直线进行的（如(x)轴、(y)轴、(x=h)或(y=k)），这是后续推导的基础。2第二步：推导对称点坐标1根据对称轴的位置，写出原图像上任意一点((x,y))的对称点坐标((x',y'))。例如：2关于(x)轴：((x,-y))；3关于(y)轴：((-x,y))；4关于(x=h)：((2h-x,y))；5关于(y=k)：((x,2k-y))。3第三步：代入原函数求解析式将对称点坐标((x',y'))代入原函数的解析式，通过变量替换得到翻折后的解析式。例如：关于(x)轴翻折时，(y'=-y)，故(y=-y')，代入原函数(y=f(x))得(-y'=f(x))，即(y'=-f(x))；关于(y)轴翻折时，(x'=-x)，故(x=-x')，代入原函数(y=f(x))得(y=f(-x'))，即(y=f(-x))（将(x')换回(x)）。关键提醒：在代入过程中，需注意自变量和因变量的符号变化，避免因粗心导致符号错误。例如，关于(y)轴翻折时，容易混淆“(x)取反”与“整个表达式取反”，需通过顶点坐标或特殊点验证确保正确性。04应用拓展：从单一翻折到综合问题应用拓展：从单一翻折到综合问题掌握基本翻折规律后，我们需要将其应用于解决更复杂的问题，包括“连续翻折”“翻折与平移的组合变换”“翻折后函数的性质分析”等。1连续翻折问题定义：对原函数图像依次进行两次翻折变换（如先关于(x)轴翻折，再关于(y)轴翻折）。解法思路：分步处理，先求第一次翻折后的解析式，再以该解析式为基础求第二次翻折后的解析式。实例：原函数(y=(x-2)^2+1)，先关于(x)轴翻折，再关于(y)轴翻折，求最终解析式。第一次翻折（关于(x)轴）：解析式变为(y=-(x-2)^2-1)；1连续翻折问题第二次翻折（关于(y)轴）：将(x)替换为(-x)，得(y=-(-x-2)^2-1=-(x+2)^2-1)。2翻折与平移的组合变换定义：翻折与平移（上下或左右平移）结合的变换，需注意变换顺序对结果的影响（平移后翻折vs翻折后平移）。实例：原函数(y=x^2)，先向右平移2个单位，再关于(x)轴翻折，求最终解析式。平移后解析式：(y=(x-2)^2)；翻折后解析式：(y=-(x-2)^2)。若变换顺序相反（先翻折再平移）：翻折后解析式：(y=-x^2)；向右平移2个单位：(y=-(x-2)^2)。2翻折与平移的组合变换结论：在此例中，平移与翻折的顺序不影响结果，但需注意一般情况下顺序可能改变结果（例如先向上平移再翻折，与先翻折再向上平移，常数项的变化不同）。3翻折后函数的性质分析通过解析式可进一步分析翻折后函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等性质，这是解决实际问题的关键。实例：原函数(y=-2x^2+4x+1)关于(y)轴翻折后，解析式为(y=-2(-x)^2+4(-x)+1=-2x^2-4x+1)。分析其性质：开口方向：二次项系数(-2<0)，开口向下（与原函数一致）；顶点坐标：原函数顶点横坐标为(-\frac{4}{2\times(-2)}=1)，翻折后顶点横坐标为(-1)（关于(y)轴对称），纵坐标不变，计算得(y=-2(-1)^2-4(-1)+1=-2+4+1=3)，故顶点为((-1,3))；3翻折后函数的性质分析最大值：开口向下，顶点纵坐标为最大值3（与原函数顶点纵坐标相同，因翻折关于(y)轴不改变纵坐标）。05常见误区与教学建议常见误区与教学建议在多年教学中，我发现学生在求解翻折后解析式时容易出现以下误区，需重点关注：1误区一：符号错误表现：关于(x)轴翻折时，仅改变二次项系数符号，忽略一次项和常数项（如将(y=2x^2+3x+4)翻折后错误写为(y=-2x^2+3x+4)）；对策：强调翻折是“所有点的纵坐标取反”，因此整个函数表达式需整体取反，即(y=-f(x))，而非仅改变部分系数。2误区二：混淆对称轴表现：关于(y)轴翻折时，错误地将顶点横坐标直接取反，而忽略解析式中(h)的符