2025 九年级数学上册二次函数与坐标轴交点个数判断课件

一、知识背景：从函数到方程的自然延伸演讲人知识背景：从函数到方程的自然延伸壹核心方法：判别式与交点个数的对应关系贰典型应用：从理论到实践的转化叁易错点与思维提升肆总结与作业布置伍目录2025九年级数学上册二次函数与坐标轴交点个数判断课件各位同学、同仁：今天我们共同探讨的主题是“二次函数与坐标轴交点个数的判断”。作为九年级数学上册“二次函数”单元的核心内容之一，这一知识点既是对一次函数与坐标轴交点问题的延伸，也是后续研究二次函数图像性质、解决实际问题的重要基础。接下来，我将从知识背景、核心方法、典型应用及总结提升四个层面展开讲解，带大家逐步深入理解这一问题的本质。01知识背景：从函数到方程的自然延伸1学习基础回顾在学习二次函数之前，我们已经掌握了一次函数(y=kx+b)与坐标轴交点的判断方法：与(y)轴的交点为((0,b))（唯一交点），与(x)轴的交点通过令(y=0)解方程(kx+b=0)得到（当(k\neq0)时，有且仅有一个交点）。而二次函数(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）作为更复杂的多项式函数，其与坐标轴的交点个数不再是固定值，需要结合方程的根的情况进行分析。2函数与方程的关联二次函数的图像是抛物线，其与坐标轴的交点本质上是函数值为0（与(x)轴）或自变量为0（与(y)轴）时的特殊点。具体来说：与(y)轴的交点：令(x=0)，则(y=c)，因此交点坐标为((0,c))。无论(a)、(b)取何非零值（因(a\neq0)是二次函数的定义要求），与(y)轴始终有且仅有一个交点。与(x)轴的交点：令(y=0)，则需解方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）。此时，交点个数由该一元二次方程的实数根个数决定——这正是我们需要重点研究的内容。02核心方法：判别式与交点个数的对应关系1一元二次方程根的判别式对于一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），其根的情况由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定：当(\Delta>0)时，方程有两个不相等的实数根(x_1)、(x_2)；当(\Delta=0)时，方程有两个相等的实数根（即一个实数根）(x_1=x_2=-\frac{b}{2a})；当(\Delta<0)时，方程无实数根。2二次函数与(x)轴交点个数的判断由于二次函数与(x)轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的根，因此：若(\Delta>0)，抛物线与(x)轴有两个不同的交点((x_1,0))、((x_2,0))；若(\Delta=0)，抛物线与(x)轴有一个交点（即顶点在(x)轴上）(\left(-\frac{b}{2a},0\right))；若(\Delta<0)，抛物线与(x)轴无交点。关键点提醒：判断时需始终注意二次函数的定义条件(a\neq0)。若题目中未明确说明是“二次函数”，则需额外讨论(a=0)的情况（此时退化为一次函数），但本课题严格限定为二次函数，故(a\neq0)是前提。3与(y)轴交点的补充说明无论(a)、(b)如何取值（(a\neq0)），令(x=0)代入(y=ax^2+bx+c)总能得到唯一的(y=c)，因此二次函数与(y)轴的交点恒为((0,c))，个数固定为1个。这一点与一次函数类似，但需注意：当(c=0)时，交点为原点((0,0))，此时该点同时是抛物线与(x)轴的一个交点（若(x=0)是方程(ax^2+bx+c=0)的根）。03典型应用：从理论到实践的转化1基础题型：直接判断交点个数例1：判断二次函数(y=x^2-2x-3)与坐标轴的交点个数。分析：与(y)轴交点：令(x=0)，得(y=-3)，故交点为((0,-3))，个数为1。与(x)轴交点：解方程(x^2-2x-3=0)，计算判别式(\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=4+12=16>0)，故有两个不同的交点。结论：与坐标轴共有3个交点（(y)轴1个，(x)轴2个）。1基础题型：直接判断交点个数例2：判断二次函数(y=x^2-4x+4)与坐标轴的交点个数。分析：与(y)轴交点：((0,4))，个数1。与(x)轴交点：解方程(x^2-4x+4=0)，判别式(\Delta=(-4)^2-4\times1\times4=16-16=0)，故有一个交点((2,0))。结论：与坐标轴共有2个交点（(y)轴1个，(x)轴1个）。2进阶题型：已知交点个数求参数范围例3：若二次函数(y=kx^2+2x-1)与(x)轴有两个不同的交点，求(k)的取值范围。分析：二次函数要求(k\neq0)（否则退化为一次函数）。与(x)轴有两个不同交点，需(\Delta>0)，即(2^2-4\timesk\times(-1)>0)，化简得(4+4k>0)，解得(k>-1)。综合(k\neq0)和(k>-1)，最终(k)的取值范围是(k>-1)且(k\neq0)。2进阶题型：已知交点个数求参数范围例4：二次函数(y=(m-1)x^2+2mx+m+3)与(x)轴无交点，求(m)的取值范围。分析：二次函数要求(m-1\neq0)，即(m\neq1)。与(x)轴无交点，需(\Delta<0)，计算(\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)=4m^2-4m^2-8m+12=-8m+12)。令(-8m+12<0)，解得(m>\frac{3}{2})。2进阶题型：已知交点个数求参数范围综合(m\neq1)和(m>\frac{3}{2})，最终(m>\frac{3}{2})。3实际问题：抛物线与现实场景的结合例5：某公园修建了一座抛物线型拱门，其横截面的函数表达式为(y=-\frac{1}{4}x^2+2x)（单位：米，(x)为水平距离，(y)为高度）。判断该拱门与地面（(x)轴）的交点个数，并说明其实际意义。分析：地面即(y=0)，解方程(-\frac{1}{4}x^2+2x=0)，即(x(-\frac{1}{4}x+2)=0)，解得(x=0)或(x=8)。判别式(\Delta=2^2-4\times(-\frac{1}{4})\times0=4>0)，故有两个交点。实际意义：两个交点分别对应拱门的起点（(x=0)）和终点（(x=8)），说明拱门的水平跨度为8米。04易错点与思维提升1常见错误总结忽略二次函数定义：未注意(a\neq0)的条件，导致参数范围求解错误（如例3中若遗漏(k\neq0)，会错误得出(k>-1)）。判别式计算错误：符号错误（如(b^2-4ac)中(c)为负数时，(-4ac)应为正数）或系数代入错误（如将(2x)的系数(b=2)误写为(b=1)）。混淆交点与公共点：认为“顶点在(x)轴上”是“两个重合的交点”，但实际应表述为“一个交点”。2思维方法提升方程与函数的转化思想：将函数与坐标轴的交点问题转化为方程的根的问题，体现了“数”与“形”的结合。分类讨论意识：在涉及参数的问题中，需先明确二次函数的前提条件（(a\neq0)），再结合判别式分情况讨论。实际问题的数学建模：通过建立二次函数模型解决现实中的抛物线问题（如桥梁、拱门、投篮轨迹），需注意变量的实际意义（如高度、距离非负）。05总结与作业布置1核心知识回顾215与(y)轴交点：恒有1个，坐标为((0,c))。与(x)轴交点：由判别式(\Delta=b^2-4ac)决定：(\Delta<0)：无交点。4(\Delta=0)：1个交点；3(\Delta>0)：2个交点；2课后作业基础题：判断下列二次函数与坐标轴的交点个数：①(y=2x^2-5x+3)；②(y=-x^2+4x-4)；③(y=3x^2+2x+1)。提升题：已知二次函数(y=(k+2)x^2-4x+1)与(x)轴有一个交点，求(k)的值。拓展题：某运动员投篮时，篮球的运动轨迹可近似为二次函数(y=-0.2x^2+3.6x