2025 九年级数学上册位似图形定义与性质课件

一、从相似到位似：概念的自然延伸演讲人CONTENTS从相似到位似：概念的自然延伸位似图形的定义：从直观到严谨的刻画位似图形的性质：从定义推导的核心规律位似图形的应用：从数学问题到实际场景总结与升华：位似图形的核心价值目录2025九年级数学上册位似图形定义与性质课件各位同学、同仁，今天我们将共同探索一个与“相似”密切相关却更具特殊性的几何概念——位似图形。作为九年级上册“图形的相似”章节的核心内容，位似图形既是相似图形的延伸，又是后续学习投影与视图、坐标系变换的重要基础。在多年的教学实践中，我深刻体会到，只有从定义出发，逐步剖析其本质特征，结合具体案例理解性质，才能真正掌握这一工具的应用价值。接下来，我们将从“为何引入位似”“何为位似图形”“位似有何特性”“如何应用位似”四个维度展开，层层递进，构建完整的认知体系。01从相似到位似：概念的自然延伸1相似图形的回顾与思考在之前的学习中，我们已经掌握了相似图形的定义：形状相同、大小不一定相同的图形，其本质是对应角相等、对应边成比例。例如，同一底片冲洗出的不同尺寸照片，或地图上的缩略图与实际地形，都是相似图形的典型实例。但在观察这些相似图形时，我们会发现一个有趣的现象：若将照片中的对应顶点用直线连接，这些直线似乎会相交于同一点；地图上的标志性建筑（如市中心、车站）与实际位置的连线，也可能交汇于某个中心点。这种“对应点连线共点”的特性，是否隐含着相似图形的某种特殊类型？这便是我们今天要探讨的“位似图形”的核心特征。2位似概念的现实需求在工程制图中，设计师需要将三维建筑模型按比例缩小为二维图纸，同时确保所有关键点的投影线交汇于“视点”；在摄影中，相机的镜头中心就是所有光线的汇聚点，拍摄出的照片与实际场景不仅相似，更满足“对应点连线过镜头中心”的特性。这些实际需求表明，仅用“相似”描述图形关系是不够的，需要更精准的概念——位似图形，来刻画这种“相似且对应点共线”的特殊关系。02位似图形的定义：从直观到严谨的刻画1位似图形的严格定义通过上述观察，我们可以给出位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又叫做位似比。需要特别强调的是，定义中的三个关键要素：(1)相似性：位似图形首先是相似图形，必须满足对应角相等、对应边成比例；(2)对应点共线：所有对应顶点的连线都经过同一个点（位似中心）；(3)对应边平行或共线：这是位似图形区别于一般相似图形的重要特征（一般相似图形的对应边可能不平行）。1位似图形的严格定义2.2位似的两种类型：同向位似与反向位似根据位似中心与图形的位置关系，位似可分为两类：同向位似（外位似）：位似中心位于两个图形的同一侧，对应点在位似中心的同侧，此时对应边方向相同；反向位似（内位似）：位似中心位于两个图形之间，对应点在位似中心的异侧，此时对应边方向相反。例如，用放大镜观察文字时，文字与放大后的图像是同向位似（放大镜中心为位似中心，文字与放大图像在中心同侧）；而小孔成像实验中，物体与像则是反向位似（小孔为位似中心，物体与像在中心异侧）。3位似中心的位置多样性位似中心的位置可以是任意的：可能在图形内部（如正五边形与其位似图形，中心重合）；可能在图形外部（如两个相似三角形，位似中心在三角形外）；也可能在图形的边上（如矩形与其位似图形，位似中心在矩形的一条边上）。通过动态几何软件（如GeoGebra）演示不同位置的位似中心，可以更直观地观察位似图形的变化规律，这也是我在教学中常用的辅助手段——眼见为实，才能让抽象概念具象化。03位似图形的性质：从定义推导的核心规律位似图形的性质：从定义推导的核心规律3.1最本质的性质：对应点与位似中心共线根据定义，位似图形的对应顶点连线必过位似中心。这一性质是位似区别于一般相似的“灵魂”，也是解决位似相关问题的关键突破口。例：若△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为O，则直线AA'、BB'、CC'必交于点O。反之，若两个相似图形的对应顶点连线交于同一点，则它们必为位似图形（可作为位似图形的判定方法）。2对应边的位置关系：平行或共线由于位似变换本质上是“中心投影”，即从位似中心出发的射线将原图形的点投射到新位置，因此对应边要么平行（同向位似时方向相同，反向位似时方向相反），要么在同一直线上（当对应边经过位似中心时）。数学表达：若AB与A'B'是位似图形的对应边，则AB∥A'B'或AB与A'B'共线。这一性质在解题中可用于快速判断两条边是否为对应边，或通过边的平行关系反推位似中心的位置。3比例关系：位似比与相似比的统一位似图形是特殊的相似图形，因此相似图形的比例性质（对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）对位似图形完全适用。特别地，在位似图形中，相似比也称为位似比，通常用k表示（k>0，k≠1时为放大或缩小，k=1时为全等图形）。01拓展：若位似比为k，则任意一对对应点到位似中心的距离之比也等于k。即若O为位似中心，A与A'为对应点，则OA'/OA=k（同向位似时）或OA'/OA=-k（反向位似时，负号表示方向相反）。02这一性质在坐标系中尤为重要。例如，若位似中心在坐标原点，原图形的顶点坐标为(x,y)，位似比为k，则对应顶点的坐标为(kx,ky)（同向位似）或(-kx,-ky)（反向位似）。这一规律是解决坐标系下位似变换问题的核心工具。034对称性与保角性位似变换是一种“相似变换”，因此它保留了图形的角度大小（保角性）和形状（对称性）。例如，原图形中的直角在位似图形中仍为直角，原图形的对称轴在位似图形中仍为对称轴，只是位置和长度按位似比缩放。04位似图形的应用：从数学问题到实际场景1位似图形的画法：步骤与技巧绘制位似图形是中考的常见考点，其核心是“确定位似中心→选取关键点→按位似比找点→连线成图”。具体步骤如下：确定位似中心：根据题目要求或实际需求选择位似中心（可在图形内、外或边上）；选取关键点：原图形的顶点（或其他关键特征点）是确定位似图形的基础；连接并延长：从位似中心出发，连接每个关键点并延长（或反向延长，取决于位似类型）；截取对应点：在延长线上截取与原距离成位似比的点，得到对应顶点；连线成图：按原图形的顺序连接对应顶点，得到位似图形。注意事项：若位似比k>1，则位似图形是原图形的放大；若0<k<1，则是缩小；反向位似时，对应点位于位似中心的另一侧，需注意延长线的方向；对于复杂图形（如多边形、曲线图形），只需选取足够多的关键点即可保证准确性。2数学问题中的应用：几何证明与计算位似图形的性质在解决几何问题中具有独特优势，尤其是涉及“比例”“平行”“共线”的问题。例1（证明共线）：已知△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O，D、D'分别是BC、B'C'的中点，求证：O、D、D'共线。分析：由位似性质，BB'、CC'过O，且BC∥B'C'（或共线），因此BD/B'D'=BC/B'C'=k（位似比），结合中点性质可得OD/OD'=k，故O、D、D'共线。例2（坐标系计算）：2数学问题中的应用：几何证明与计算在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原点O为位似中心，位似比为2作反向位似图形△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐标。解答：反向位似时，坐标为原坐标的-2倍，故A'(-2,-4)、B'(-6,-8)、C'(-10,-2)。3实际生活中的应用：缩放与投影位似图形的本质是“中心投影下的相似图形”，因此在实际生活中广泛应用于需要“按比例缩放且保持位置关系”的场景：地图绘制：地图是实际地形的位似图形，比例尺即为位似比，地图中心（或投影中心）为位似中心；建筑设计：建筑模型与实际建筑是位似图形，设计师通过调整位似比（模型比例）来呈现不同尺度的设计效果；摄影与投影：相机拍摄的照片、投影仪投放的画面，都是以镜头或投影光源为位似中心的位似图形。我曾带学生用手机拍摄校园建筑，然后通过测量照片与实际建筑的尺寸，计算位似比，再反向推算相机镜头（位似中心）的位置。这种“从理论到实践”的学习过程，能让学生深刻体会位似图形的应用价值。05总结与升华：位似图形的核心价值总结与升华：位似图形的核心价值回顾本节内容，位似图形的核心可概括为“相似性”与“共线性”的统一：它是相似图形的特殊形式，继承了相似的所有比例性质；它通过“对应点连线共点”的特性，建立了图形之间的位置关联，为解决“共线”“平行”“比例”问题提供了更直接的工具；它在数学与实际生活中架起了“抽象几何”与“具体应用”的桥梁，是理解投影、变换等高级几何概念的基础。作为教师，我始终认为，数学概念的学习不应停留在定义的记忆，而应深入理解其“从何而来”“有何特性”“如何应用”。位似图形的学习亦是如此——当同学们能灵活运用其性质解决几何问题，甚至用它解释生活中的缩放现象时，才真正掌握了这一概念