2025 九年级数学上册位似中心与位似比确定课件

一、教学背景分析：为何要学“位似中心与位似比”？演讲人01教学背景分析：为何要学“位似中心与位似比”？02核心概念梳理：什么是位似中心与位似比？03确定方法详解：如何找到位似中心与位似比？04典型应用场景：位似中心与位似比的实际价值05总结与提升：位似中心与位似比的核心要义目录2025九年级数学上册位似中心与位似比确定课件各位同仁、同学们：今天，我们共同聚焦“位似中心与位似比的确定”这一核心内容。作为图形变换板块的重要组成部分，位似不仅是相似图形的特殊形式，更是连接几何直观与代数计算的桥梁。在多年的教学实践中，我深刻体会到：只有精准把握位似中心与位似比这两个关键要素，才能真正理解位似变换的本质，进而解决实际问题。接下来，我将从教学背景、核心概念、确定方法、典型应用及总结提升五个层面展开讲解，带大家逐步揭开位似的“神秘面纱”。01教学背景分析：为何要学“位似中心与位似比”？1教材地位与课标要求位似是人教版九年级上册第二十七章“相似”的最后一节内容，是在学生已掌握相似图形、相似三角形的性质与判定，以及图形的平移、旋转、轴对称等变换的基础上，进一步学习的特殊相似变换。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确要求：“了解位似的概念，知道位似变换是特殊的相似变换；能利用位似将一个图形放大或缩小；会确定位似中心与位似比。”这一要求不仅指向知识的掌握，更强调通过位似变换培养学生的几何直观、空间观念和推理能力。2学生学情与学习难点九年级学生已具备相似图形的基本认知，能通过观察、测量判断图形是否相似，但对位似这一“具有位置关联的相似”理解尚浅。教学实践中，我发现学生的主要困惑集中在两点：其一，如何从复杂图形中准确找到位似中心？其二，位似比的符号与方向关系常被忽略，导致计算错误。例如，去年带的班级中，有学生在判断位似中心时，仅连接一组对应点便得出结论，结果因遗漏其他对应点的交点而犯错；还有学生将位似比简单理解为“对应边的比值”，却未注意到位似比与图形位置（同侧或异侧）的关联。这些真实问题，正是我们本节课需要重点突破的方向。02核心概念梳理：什么是位似中心与位似比？1位似的定义与本质要理解位似中心与位似比，首先需明确位似的定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比叫做位似比。这里的关键词是“对应顶点连线交于一点”和“对应边平行”。前者是位似的位置特征，后者是位似的形状特征。换句话说，位似是“位置约束下的相似”——相似保证形状相同，位似中心保证所有对应点的连线共点，位似比则决定了图形的缩放程度。2位似中心的“唯一性”与“位置多样性”位似中心是所有对应顶点连线的交点，这一性质决定了它的唯一性：对于一组位似图形，无论选取哪一对对应顶点，其连线的交点都是同一个点。例如，若△ABC与△A'B'C'位似，则直线AA'、BB'、CC'必交于同一点O（即位似中心）。但位似中心的位置可以是多样的：它可能在图形内部（如两个同心圆的圆心）、外部（如灯光下物体与其影子的投影中心），或在某一边上（如以三角形一边中点为位似中心的缩放图形）。3位似比的“方向性”与“符号规则”位似比k是位似图形的相似比，通常定义为“原图形与新图形对应边的比值”。但需注意，位似比的符号与位似中心的位置有关：若位似中心在对应点的同侧（即原图形与新图形在位似中心的同一侧），则k为正；若在异侧（原图形与新图形分别位于位似中心的两侧），则k为负。例如，以点O为中心，将△ABC放大为△A'B'C'，若A'与A在O的同侧，则k=OA'/OA>0；若A'与A在O的异侧，则k=-OA'/OA<0。这一符号规则在坐标系中尤为重要，是后续用坐标法确定位似比的关键。03确定方法详解：如何找到位似中心与位似比？1位似中心的确定方法确定位似中心的核心依据是“对应顶点连线必过位似中心”，具体可分为以下三步：1位似中心的确定方法1.1找对应点首先需明确哪两个图形是位似的，并找出它们的对应顶点。例如，在图1中，△ABC与△A’B’C’是位似图形，A与A’、B与B’、C与C’是对应点。1位似中心的确定方法1.2连对应点分别连接每一组对应顶点，得到直线AA’、BB’、CC’（如图1所示）。1位似中心的确定方法1.3找交点这些直线的交点即为位似中心O。若图形较复杂（如四边形或多边形），可多取几组对应点连线，确保交点唯一。注意事项：若题目未明确告知哪两个点是对应点，需根据图形的相似性及边的平行关系先判断对应点。例如，若AB∥A’B’，则A与A’、B与B’是对应点；若AB∥B’A’，则A与B’、B与A’是对应点。1位似中心的确定方法1.4典型例题示范例1：如图2，四边形ABCD与四边形A’B’C’D’是位似图形，试确定它们的位似中心。解题步骤：①观察图形，发现AB∥A’B’，AD∥A’D’，故A与A’、B与B’、D与D’是对应点；②连接AA’、BB’，两直线交于点O；③验证：连接DD’，观察是否过O（实际作图中，若图形准确，DD’必过O）；结论：O即为位似中心。2位似比的确定方法位似比的确定需结合位似中心的位置及对应点到位似中心的距离，具体方法可分为两类：2位似比的确定方法2.1几何测量法（无坐标系）若已知位似中心O，可测量对应点到位似中心的距离（如OA与OA’），则位似比k=OA’/OA（或OA/OA’，需注意原图形与新图形的对应关系）。例如，若原图形是△ABC，新图形是△A’B’C’，则k=OA’/OA表示将原图形放大或缩小为新图形的比例；若k>1，是放大；0<k<1，是缩小；k<0则表示图形在位似中心的异侧（即“反向”缩放）。易错提醒：部分学生易将位似比与相似比混淆，需明确：位似比是“新图形与原图形的对应线段比”，而相似比通常指“对应边的比”，两者本质一致，但位似比需结合位似中心的位置确定符号。2位似比的确定方法2.2坐标法（有坐标系）在平面直角坐标系中，位似中心的坐标与对应点的坐标存在明确的数量关系，可通过坐标计算确定位似比。设位似中心为O(h,k)，原图形上一点P(x,y)，位似变换后的对应点P’(x’,y’)，则位似比k满足：[x’=h+k(x-h)][y’=k+k(y-k)]简化后可得：[k=\frac{x’-h}{x-h}=\frac{y’-k}{y-k}]（当x≠h且y≠k时）案例分析：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，△A’B’C’是△ABC的位似图形，位似中心为原点O(0,0)，A’的坐标为(2,4)，求位似比及B’、C’的坐标。2位似比的确定方法2.2坐标法（有坐标系）解题过程：①由A(1,2)变换到A’(2,4)，计算k=OA’/OA=√(2²+4²)/√(1²+2²)=√20/√5=2；②或直接用坐标比：x’/x=2/1=2，y’/y=4/2=2，故k=2；③因此，B’的坐标为(3×2,4×2)=(6,8)，C’的坐标为(5×2,1×2)=(10,2)。若位似中心不在原点，例如位似中心为O(1,1)，原图形点P(2,3)变换到P’(4,5)，则k=(4-1)/(2-1)=3/1=3，或(5-1)/(3-1)=4/2=2？这里出现矛盾，说明需检查是否为位似图形。实际计算中，若(4-1)/(2-1)=3，(5-1)/(3-1)=2，两者不等，说明P与P’不满足位似变换，原图形与新图形可能不位似，或对应点错误。2位似比的确定方法2.3利用对应边的比例由于位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比。因此，若已知两组对应边的长度，即可计算位似比。例如，若AB=3，A’B’=6，则位似比k=6/3=2（若A’B’是新图形的边）。补充说明：当位似图形的对应边在同一直线上时（如两个共线的线段），位似中心在该直线上，此时对应点连线即为直线本身，位似中心是直线上所有对应点连线的公共点（可能是线段的一个端点或延长线上的点）。04典型应用场景：位似中心与位似比的实际价值1图形的放大与缩小位似变换的核心应用是图形的缩放。例如，绘制地图时，需将实际地形按一定比例缩小；用投影仪放大图片时，需确定光源（位似中心）并调整缩放比例（位似比）。案例：某设计师需将一个边长为4cm的正方形标志放大为原尺寸的2倍，且位似中心在正方形的一个顶点。试确定放大后的正方形顶点坐标（假设原正方形顶点为A(0,0)、B(4,0)、C(4,4)、D(0,4)，位似中心为A(0,0)）。解答：位似比k=2，放大后的顶点坐标为A’(0,0)（位似中心不变）、B’(4×2,0×2)=(8,0)、C’(4×2,4×2)=(8,8)、D’(0×2,4×2)=(0,8)。2坐标系中的位似变换在平面直角坐标系中，位似变换可通过坐标缩放实现，这是解析几何的重要工具。例如，已知一个图形的顶点坐标，通过确定位似中心和位似比，可快速计算变换后的图形坐标，为后续研究图形的性质（如面积比、对称性）提供便利。3生活中的位似现象位似在生活中无处不在：路灯下的树影（灯光是位似中心，树与影子是位似图形）、相机拍照（镜头是位似中心，景物与照片是位似图形）、建筑图纸与实际建筑（比例尺是位似比，设计中心是位似中心）等。通过分析这些现象，学生能更深刻地理解数学与生活的联系。05总结与提升：位似中心与位似比的核心要义1知识总结位似中心：所有对应顶点连线的交点，唯一且位置多样（内部、外部、边上）。01位似比：位似图形的相似比，符号由对应点与位似中心的位置关系决定（同侧为正，异侧为负）。02确定方法：位似中心通过“找对应点—连对应线—找交点”确定；位似比通过“距离比”“坐标比”或“对应边比”计算。032能力提升建议观察能力：学会从复杂图形中识别对应点，关注边的平行关系（或共线性）。推理能力：通过“对应点连线共点”这一性质，验证图形是否位似。计算能力：在坐标系中熟练运用坐标公式计算位似比，注意符号的几何意义。3情感与价值观位似变换不仅是数学知识，更是一种“以点带面”的思维方式——通过一个中心（位似中心）和一个比例（位似比），就能掌控整个图形的变换。这种“简洁性”与“规律性”，正是数学之美的体现。希望同学