2025 九年级数学上册相似三角形判定 HL 定理课件

一、课程引入：从“特殊”到“一般”的思维衔接演讲人目录课程引入：从“特殊”到“一般”的思维衔接01HL定理的应用与辨析04HL定理的推导与证明03总结与升华：HL定理的价值与知识网络构建06知识铺垫：直角三角形相似的初步探索02课堂实践：分层练习巩固提升052025九年级数学上册相似三角形判定HL定理课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，几何定理的教学不仅要让学生“知其然”，更要“知其所以然”。相似三角形是初中几何的核心内容之一，其判定定理的学习更是连接全等三角形与相似三角形的重要桥梁。今天，我们将聚焦“直角三角形相似判定的特殊方法——HL定理”，通过层层递进的探索，帮助同学们构建完整的知识网络，感受几何逻辑的严谨之美。01课程引入：从“特殊”到“一般”的思维衔接1相似三角形判定的已有认知在学习本节课前，同学们已经掌握了相似三角形的三组基本判定定理：AA（角角）判定：两角分别相等的两个三角形相似；SAS（边角边）判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；SSS（边边边）判定：三边成比例的两个三角形相似。这些定理适用于所有三角形，但直角三角形作为一类特殊的三角形（有一个角恒为90），是否存在更简便的判定方法？就像全等三角形中，直角三角形可以用“HL（斜边直角边）”判定全等一样，相似三角形是否也有对应的“HL”判定？这是我们今天要解决的核心问题。2生活中的问题驱动记得去年带领学生测量校园旗杆高度时，有位同学提出：“如果用两个直角三角板测仰角，当它们的斜边与一条直角边比例相同时，是否能直接判断这两个三角板相似？”这个问题让我意识到，学生已经开始关注直角三角形的特殊性。今天，我们就从这样的实际问题出发，探索直角三角形相似的“专属”判定方法。02知识铺垫：直角三角形相似的初步探索1直角三角形的相似特性直角三角形的一个角固定为90，因此根据AA判定，若另一个锐角相等，则两个直角三角形必相似（因为第三个角也会相等）。但如果已知的是边的关系，而非角的关系，该如何判定？2从全等HL到相似HL的类比迁移全等三角形的HL定理指出：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。”其本质是利用勾股定理，由“斜边、直角边相等”推导出第三边也相等，从而满足SSS全等条件。相似三角形的判定需要“对应边成比例”，那么是否可以类比：“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”？我们需要通过严格的数学推导验证这一猜想。03HL定理的推导与证明1定理的文字表述与符号化猜想：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。符号化表述：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90，若$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$（k>0），则Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。2定理的证明过程为了证明这一猜想，我们可以分两步进行：2定理的证明过程：利用勾股定理表示第三边在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}$；在Rt△A'B'C'中，$B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}$。第二步：验证三边比例关系已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，则$AB=kA'B'$，$AC=kA'C'$。代入BC的表达式：$BC=\sqrt{(kA'B')^2-(kA'C')^2}=k\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}=kB'C'$。因此，$\frac{BC}{B'C'}=k$，即三边比例均为k，满足SSS相似判定条件，故Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。3定理的关键点强调适用范围：仅适用于直角三角形（非直角三角形中，“两边及其中一边的对角”无法判定相似，这是与全等HL的重要区别）；比例关系：必须是“斜边与斜边、直角边与直角边”对应成比例，顺序不可颠倒；逻辑本质：通过勾股定理将“两边成比例”转化为“三边成比例”，从而利用SSS判定相似。01030204HL定理的应用与辨析1基础应用：直接判定相似例1：已知Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4；Rt△DEF中，∠F=90，DF=6，EF=8。判断△ABC与△DEF是否相似。分析：首先计算斜边：AB=5，DE=10（由勾股定理）。验证比例：$\frac{AB}{DE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$（或$\frac{BC}{EF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$）。根据HL定理，两直角三角形相似。2进阶应用：结合其他定理解决综合问题例2：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：△ACD∽△ABC。分析：已知∠ACB=∠ADC=90（公共角条件）；观察边的关系：AC是△ACD的斜边，AB是△ABC的斜边；AD是△ACD的直角边，AC是△ABC的直角边；需证明$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=ADAB$（由射影定理可知此式成立）；因此，根据HL定理，△ACD∽△ABC。3易错点辨析：HL与SSA的区别在非直角三角形中，“两边及其中一边的对角”（SSA）无法判定相似，因为可能存在两种不同的三角形（“歧义情况”）。但在直角三角形中，由于直角的限制，SSA转化为HL，不存在歧义。反例：任意画一个锐角三角形，取两边及其中一边的对角，可能得到两个不同的三角形；但直角三角形中，给定斜边和一条直角边的比例，第三边的比例唯一确定，因此HL是严格的相似判定。05课堂实践：分层练习巩固提升1基础题（难度★☆☆）已知Rt△MNO和Rt△PQR中，∠O=∠R=90，MN=10，NO=6，PQ=15，QR=9，判断两三角形是否相似，并说明依据。答案：相似，$\frac{MN}{PQ}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{NO}{QR}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，满足HL定理。2中档题（难度★★☆）如图，△ABC和△ADE均为直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，且$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，求证：△ABD∽△ACE。提示：通过角度相等（∠BAD=∠CAE）结合HL定理（需证明边的比例关系）。3拓展题（难度★★★）已知Rt△ABC中，∠C=90，BC=3，AC=4，点D在AB上，且△ACD为直角三角形，若△ACD∽△ABC，求AD的长度。答案：分两种情况（∠ADC=90或∠ACD=90），利用HL定理计算得AD=3.2或1.8。06总结与升华：HL定理的价值与知识网络构建1定理核心的再提炼HL定理是直角三角形相似判定的特殊方法，其本质是通过“斜边与一条直角边成比例”，结合勾股定理推导出三边成比例，从而满足SSS相似条件。它简化了直角三角形相似的判定过程，尤其在涉及“边的比例”问题时，提供了更直接的思路。2知识网络的联结相似三角形的判定定理可总结为：通用判定：AA、SAS、SSS；特殊判定（直角三角形）：HL（本质是SSS的特例）。这种“一般到特殊”的认知结构，体现了数学中“分类讨论”和“化归”的思想方法——将特殊问题转化为一般问题解决，或利用特殊性质简化一般问题。3学习情感的共鸣回想起学生第一次用HL定理解决旗杆高度测量问题时的兴奋，我深刻体会到：几何定理不仅是纸上的公式，更是解决实际