2025 九年级数学上册相似三角形判定 SSS 定理课件

一、课程导入：从全等到相似的思维延伸演讲人课程导入：从全等到相似的思维延伸壹知识铺垫：相似三角形的定义与已有判定贰定理探究：从特例到一般的归纳验证叁定理应用：从理论到实践的能力提升肆巩固练习：分层训练，深化理解伍课堂总结：从知识到思维的升华陆目录课后任务柒（课件结束）捌2025九年级数学上册相似三角形判定SSS定理课件01课程导入：从全等到相似的思维延伸课程导入：从全等到相似的思维延伸各位同学，当我们在七年级第一次接触三角形时，全等三角形的判定就像一把“精准尺”，帮助我们通过边与角的等量关系确认两个三角形的“完全一致”。而随着学习深入，我们发现生活中更多的是“形状相同、大小不同”的相似图形——比如地图与实际地域、照片与原图、建筑模型与实体。今天，我们要共同探索相似三角形判定的又一重要工具：SSS（三边成比例）判定定理。这不仅是全等判定的“比例版”延伸，更是打开相似图形应用大门的关键钥匙。02知识铺垫：相似三角形的定义与已有判定1相似三角形的核心定义回顾上节课内容，相似三角形的定义是：对应角相等，对应边成比例的三角形，记作△ABC∽△DEF，其中对应边的比值称为相似比（k）。这里需要特别注意两点：对应角相等与对应边成比例是“充要条件”，即二者必须同时满足才能称为相似；相似比具有方向性，若△ABC与△DEF的相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k。举个简单例子：若△ABC的三边为3cm、4cm、5cm，△A'B'C'的三边为6cm、8cm、10cm，我们可以计算对应边的比为3:6=4:8=5:10=1:2，若测量对应角（如∠A与∠A'）均为锐角且度数相等，即可判定两三角形相似，相似比为1:2。2已学判定方法：AA定理的局限性在上周的学习中，我们已经掌握了AA（两角分别相等）判定定理：若一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角相等，则这两个三角形相似。这一定理的优势在于仅需关注角的关系，但实际问题中，我们常遇到“已知三边长度，却难以直接测量角度”的情况（如建筑图纸中仅标注边长）。此时，能否通过三边的比例关系直接判定相似？这正是本节课要解决的核心问题。03定理探究：从特例到一般的归纳验证定理探究：从特例到一般的归纳验证3.1特例观察：三边成比例的三角形是否相似？为了探究这一问题，我们先从具体案例入手。案例1：给定△ABC（边长为2cm、3cm、4cm）和△DEF（边长为4cm、6cm、8cm）。计算对应边的比：AB/DE=2/4=1/2，BC/EF=3/6=1/2，AC/DF=4/8=1/2，三边比例均为1:2；测量对应角：用量角器测量∠A≈33.69，∠D≈33.69；∠B≈48.59，∠E≈48.59；∠C≈97.72，∠F≈97.72；结论：对应角相等，对应边成比例，△ABC∽△DEF。定理探究：从特例到一般的归纳验证案例2：给定△GHI（边长为5cm、7cm、9cm）和△JKL（边长为10cm、14cm、18cm）。对应边比例：5/10=7/14=9/18=1/2；测量对应角（可借助几何画板软件辅助）：∠G与∠J、∠H与∠K、∠I与∠L的度数均相等；结论：同样满足相似关系。通过这两个案例，我们初步猜想：如果两个三角形的三边对应成比例，那么它们相似。但这只是特例，需要进一步验证一般性。2逻辑证明：从构造到全等的严谨推导为了证明这一猜想，我们需要运用相似三角形的定义和全等三角形的判定定理。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k（k>0）。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明步骤：在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使得A'D=AB；过D作DE∥B'C'，交A'C'于点E（如图1所示）。由平行线分线段成比例定理，A'D/A'B'=A'E/A'C'=DE/B'C'。因为A'D=AB，且AB/A'B'=k，所以A'D/A'B'=k，即A'E=kA'C'，DE=kB'C'。2逻辑证明：从构造到全等的严谨推导010203040506又因为AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k，所以BC=kB'C'，AC=kA'C'，因此DE=BC，A'E=AC。在△ADE和△ABC中，AD=AB（已作），DE=BC（已证），AE=AC（已证），根据SSS全等判定定理，△ADE≌△ABC。由DE∥B'C'可知，△A'DE∽△A'B'C'（AA定理，公共角∠A'，同位角相等）。因此，△ABC≌△ADE∽△A'B'C'，故△ABC∽△A'B'C'。通过这一证明，我们验证了猜想的正确性，即SSS判定定理：如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似（简记为：三边成比例的两个三角形相似）。04定理应用：从理论到实践的能力提升1基础应用：直接判断相似性例1：判断△ABC（边长为6、8、10）与△DEF（边长为9、12、15）是否相似。分析：计算对应边的比例：6/9=2/3，8/12=2/3，10/15=2/3，三边比例相等，根据SSS定理，两三角形相似，相似比为2:3。注意事项：必须保证三边对应成比例，即大边对大边、中边对中边、小边对小边；比例需统一，不能混合不同顺序（如6/12=8/9=10/15，这样的比例不成立）。2综合应用：结合其他定理解决复杂问题例2：如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=1/4CD。判断△ABE与△ECF是否相似。分析：设正方形边长为4a，则AB=4a，BE=2a（E是BC中点），EC=2a，CF=a（CF=1/4CD=1/4×4a=a），DF=3a；计算△ABE的三边：AB=4a，BE=2a，AE=√(AB²+BE²)=√(16a²+4a²)=√20a=2√5a；计算△ECF的三边：EC=2a，CF=a，EF=√(EC²+CF²)=√(4a²+a²)=√5a；2综合应用：结合其他定理解决复杂问题验证比例：AB/EC=4a/2a=2，BE/CF=2a/a=2，AE/EF=2√5a/√5a=2；三边比例均为2:1，根据SSS定理，△ABE∽△ECF。解题关键：合理设元（如设正方形边长为4a，简化计算）；正确应用勾股定理计算未知边长；严格对应三边顺序，确保比例一致。3实际应用：解决生活中的相似问题例3：某模型公司制作了一个埃菲尔铁塔的缩小模型，已知实际埃菲尔铁塔的三段主结构边长分别为120米、90米、60米，模型的对应边长为24厘米、18厘米、12厘米。判断模型与实际结构是否相似。分析：统一单位：实际边长为12000厘米、9000厘米、6000厘米；计算比例：24/12000=18/9000=12/6000=1/500；三边比例相等，根据SSS定理，模型与实际结构相似，相似比为1:500。现实意义：SSS定理在建筑模型、地图绘制、机械设计等领域广泛应用，通过控制三边比例，可确保模型与实物“形神兼备”。05巩固练习：分层训练，深化理解1基础巩固（必做）下列各组三角形中，三边成比例的是（）A.2,3,4与4,6,8B.1,2,3与2,3,4C.5,5,6与10,10,12D.3,4,5与5,6,7已知△ABC的三边为a、b、c，△A'B'C'的三边为a+1、b+1、c+1，判断两三角形是否一定相似？为什么？2能力提升（选做）如图3，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10；△DEF中，DE=9，DF=12，EF=15。点G在BC上，BG=2；点H在EF上，EH=3。判断△ABG与△DEH是否相似，并说明理由。3拓展思考（探究）若两个三角形的三边分别为a、b、c和ka、kb、kc（k>0），它们一定相似吗？若将“三边”改为“两边及夹角”，结论是否成立？（提示：结合后续要学习的SAS判定定理思考）（注：练习答案与解析见课件附件，重点讲解第2题的反例——如a=2,b=3,c=4时，a+1=3,b+1=4,c+1=5，三边比例2:3:4≠3:4:5，故不相似；第3题需计算AB/DE=6/9=2/3，BG/EH=2/3，AG需用勾股定理计算为√(AB²+BG²-2ABBGcosB)，但更简便方法是利用△ABC与△DEF相似（SSS），故∠B=∠E，再结合两边成比例且夹角相等，可通过SAS判定相似，此处提前渗透后续知识。）06课堂总结：从知识到思维的升华1核心知识回顾SSS判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；关键步骤：确定对应边→计算比例→验证比例是否一致；与全等的联系：全等是相似的特殊情况（相似比k=1），SSS判定是全等SSS判定的“比例化”延伸。2数学思维提炼本节课我们经历了“观察特例→提出猜想→逻辑证明→应用拓展”的完整探究过程，这是研究几何定理的经典路径。特别是在证明过程中，通过构造辅助线将未知问题转化为已知的全等与相似问题，体现了“转化与化归”的核心思想。3学习期望希望同学们在后续学习中，继续保持对“比例关系”的敏感度，将SSS定理与已学的AA定理结合，灵活解决相似三角形问题。同时，注意生活中的相似现象（如摄影中的缩放、工程图的比例），用数学眼光观察世界，用数学思维解决问题。07课后任务课后任务整理本节课笔记，重点标注SSS定理的证明思路和应用步骤；完成教材P45练习1-3题，P46习题2、4（涉及SSS与AA的综合应用）