2025 九年级数学上册二次函数与平行四边形存在性课件

一、知识储备：二次函数与平行四边形的“桥梁”演讲人知识储备：二次函数与平行四边形的“桥梁”总结与展望易错点与提升策略典型题型分类解析核心思路：从“几何条件”到“代数方程”的转化目录2025九年级数学上册二次函数与平行四边形存在性课件各位老师、同学们：大家好！今天我们共同探讨的主题是“二次函数与平行四边形的存在性问题”。这是九年级数学上册的核心综合题型之一，既需要扎实的二次函数基础，又要灵活运用平行四边形的几何性质。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，这类问题常因“数”与“形”的深度融合让部分同学感到挑战，但只要掌握“几何条件代数化”的转化思想，问题便能迎刃而解。接下来，我们将从基础回顾、核心方法、典型例题到总结提升，逐步揭开这类问题的面纱。01知识储备：二次函数与平行四边形的“桥梁”知识储备：二次函数与平行四边形的“桥梁”要解决二次函数与平行四边形的存在性问题，首先需要明确两者的关联点——坐标系中的坐标运算。我们需要将平行四边形的几何性质（如对边平行且相等、对角线互相平分等）转化为坐标代数表达式，同时结合二次函数的解析式（如顶点式、一般式）建立方程。因此，第一步是系统回顾相关基础知识。1二次函数的核心要素二次函数的一般形式为(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），其图像是抛物线，关键特征包括：顶点坐标：(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right))，决定抛物线的最高点或最低点；对称轴：直线(x=-\frac{b}{2a})，是图像的对称轴线；与坐标轴的交点：与y轴交于((0,c))，与x轴交于方程(ax^2+bx+c=0)的根（若存在）。在存在性问题中，我们常需要设抛物线上动点的坐标为((t,at^2+bt+c))，其中(t)是参数，通过后续条件建立关于(t)的方程。2平行四边形的坐标判定方法在平面直角坐标系中，平行四边形的判定需脱离传统几何作图，转而通过坐标运算实现。常用判定方法有三种：2平行四边形的坐标判定方法2.1对边平行且相等若四边形(ABCD)的顶点坐标分别为(A(x_1,y_1))、(B(x_2,y_2))、(C(x_3,y_3))、(D(x_4,y_4))，则“对边平行且相等”可转化为：向量(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC})，即((x_2-x_1,y_2-y_1)=(x_3-x_4,y_3-y_4))；或向量(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC})，即((x_4-x_1,y_4-y_1)=(x_3-x_2,y_3-y_2))。2平行四边形的坐标判定方法2.2对角线互相平分平行四边形的对角线中点重合，即(AC)的中点与(BD)的中点坐标相同。中点坐标公式为(\left(\frac{x_1+x_3}{2},\frac{y_1+y_3}{2}\right)=\left(\frac{x_2+x_4}{2},\frac{y_2+y_4}{2}\right))，由此可得方程组：[\begin{cases}x_1+x_3=x_2+x_4\y_1+y_3=y_2+y_4\end{cases}2平行四边形的坐标判定方法2.2对角线互相平分]这是最常用的判定方法，因为它避免了斜率不存在（垂直x轴）的特殊情况，计算更简洁。2平行四边形的坐标判定方法2.3对边分别平行（斜率相等）若直线(AB)与(CD)平行，且直线(AD)与(BC)平行，则四边形为平行四边形。斜率公式为(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})（(x_1\neqx_2)），因此需满足：[\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}\quad\text{且}\quad\frac{y_4-y_1}{x_4-x_1}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}]但需注意，当直线垂直x轴时斜率不存在，此时需单独讨论（如两点横坐标相等）。02核心思路：从“几何条件”到“代数方程”的转化核心思路：从“几何条件”到“代数方程”的转化存在性问题的本质是“是否存在满足特定条件的点”，解决这类问题的通用流程可总结为“设点→列式→求解→验证”。结合二次函数与平行四边形的特点，具体步骤如下：1设动点坐标根据题目条件，确定动点所在的位置（如在二次函数图像上、坐标轴上或某条直线上）。若动点在二次函数(y=ax^2+bx+c)上，通常设其坐标为((t,at^2+bt+c))，其中(t)为参数；若动点在x轴上，可设为((t,0))，y轴上则为((0,t))。2利用平行四边形判定条件列式根据已知顶点和动点的位置，选择合适的平行四边形判定方法（优先对角线中点法），将几何条件转化为关于(t)的方程或方程组。例如：已知三个顶点(A(x_A,y_A))、(B(x_B,y_B))、(C(x_C,y_C))，求第四个顶点(D)使(ABCD)为平行四边形时，利用对角线中点法可得(D)的坐标为((x_A+x_C-x_B,y_A+y_C-y_B))（因(AC)中点也是(BD)中点）；若已知两个顶点在二次函数上，另外两个顶点在坐标轴上，则需同时满足平行四边形条件和二次函数解析式。3解方程并验证合理性解是否对应唯一的点（避免重复或重合）；是否符合几何图形的实际意义（如四点不共线）。解是否满足二次函数的定义域（通常为全体实数，但需注意题目是否有限制）；解出参数(t)后，需验证：03典型题型分类解析典型题型分类解析为帮助同学们更直观地掌握方法，我们按“已知顶点数量”将问题分为三类，并通过例题详细演示解题过程。3.1类型一：已知三个顶点，求第四个顶点（其中部分顶点在二次函数上）例题1：已知抛物线(y=x^2-2x-3)，点(A(-1,0))、(B(3,0))在x轴上（为抛物线与x轴的交点），点(C(1,-4))是抛物线的顶点。是否存在点(D)在抛物线上，使得四边形(ABCD)为平行四边形？若存在，求点(D)的坐标；若不存在，说明理由。分析：典型题型分类解析已知(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(1,-4))，需确定(D)是否在抛物线上。平行四边形的顶点顺序可能有三种情况：(ABCD)、(ABDC)、(ACBD)（对应不同的对角线组合）。解答步骤：情况1：以(AB)、(AC)为邻边，对角线为(AD)、(BC)对角线中点应重合：(AB)中点为(\left(\frac{-1+3}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(1,0))，(CD)中点也应为((1,0))。典型题型分类解析设(D(x,y))，则(\frac{1+x}{2}=1)，(\frac{-4+y}{2}=0)，解得(x=1)，(y=4)。验证(D(1,4))是否在抛物线上：代入(y=1^2-2×1-3=-4\neq4)，故不在。情况2：以(AB)、(BC)为邻边，对角线为(AC)、(BD)(AC)中点为(\left(\frac{-1+1}{2},\frac{0+(-4)}{2}\right)=(0,-2))，(BD)中点也应为((0,-2))。典型题型分类解析(B(3,0))，设(D(x,y))，则(\frac{3+x}{2}=0)，(\frac{0+y}{2}=-2)，解得(x=-3)，(y=-4)。验证(D(-3,-4))：代入抛物线得(y=(-3)^2-2×(-3)-3=9+6-3=12\neq-4)，不在。情况3：以(AC)、(BC)为邻边，对角线为(AB)、(CD)(AB)中点((1,0))，(CD)中点也为((1,0))（同情况1已验证，不成立）。典型题型分类解析另一种思路：利用向量法，(\overrightarrow{AB}=(4,0))，若(ABCD)为平行四边形，则(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB})，即(C-D=(4,0))，故(D=C-(4,0)=(1-4,-4-0)=(-3,-4))（同情况2，不在抛物线上）；或(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC})，(\overrightarrow{BC}=(-2,-4))，则(D=A+(-2,-4)=(-1-2,0-4)=(-3,-4))（同上）。结论：不存在这样的点(D)。典型题型分类解析3.2类型二：已知两个顶点在二次函数上，另外两个顶点在坐标轴上例题2：抛物线(y=-x^2+2x+3)与x轴交于(A(-1,0))、(B(3,0))，与y轴交于(C(0,3))。是否存在点(P)在抛物线上，点(Q)在x轴上，使得四边形(APCQ)为平行四边形？若存在，求(P)、(Q)的坐标。分析：已知(A(-1,0))、(C(0,3))，(P)在抛物线上（设(P(t,-t^2+2t+3))），(Q)在x轴上（设(Q(q,0))）。典型题型分类解析平行四边形(APCQ)的对角线为(AC)和(PQ)，中点应重合。解答步骤：对角线中点重合：(AC)中点为(\left(\frac{-1+0}{2},\frac{0+3}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right))；(PQ)中点为(\left(\frac{t+q}{2},\frac{(-t^2+2t+3)+0}{2}\right))。列方程组：[典型题型分类解析\begin{cases}\frac{t+q}{2}=-\frac{1}{2}\\frac{-t^2+2t+3}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}]解第二个方程：(-t^2+2t+3=3)，即(t^2-2t=0)，解得(t=0)或(t=2)。当(t=0)时，(P(0,3))（与点(C)重合，舍去）；典型题型分类解析当(t=2)时，(P(2,-4+4+3)=(2,3))，代入第一个方程得(\frac{2+q}{2}=-\frac{1}{2})，解得(q=-3)，故(Q(-3,0))。验证：四边形(APCQ)的顶点为(A(-1,0))、(P(2,3))、(C(0,3))、(Q(-3,0))。计算对边斜率：(AP)斜率(\frac{3-0}{2-(-1)}=1)，(CQ)斜率(\frac{0-3}{-3-0}=1)（平行）；(PC)斜率(\frac{3-3}{0-2}=0)，(QA)斜率(\frac{0-0}{-1-(-3)}=0)（平行）。典型题型分类解析因此，四边形为平行四边形，存在这样的(P(2,3))、(Q(-3,0))。3类型三：四个顶点均在二次函数上（特殊情况）例题3：是否存在抛物线(y=ax^2+bx+c)上的四个点(A)、(B)、(C)、(D)，构成平行四边形？若存在，说明理由；若不存在，证明结论。分析：假设存在这样的平行四边形，设(A(x_1,y_1))、(B(x_2,y_2))、(C(x_3,y_3))、(D(x_4,y_4))均在抛物线上，且(ABCD)为平行四边形。由对角线中点重合，得(x_1+x_3=x_2+x_4)，(y_1+y_3=y_2+y_4)。3类型三：四个顶点均在二次函数上（特殊情况）因(y_i=ax_i^2+bx_i+c)，代入得(a(x_1^2+x_3^2)+b(x_1+x_3)+2c=a(x_2^2+x_4^2)+b(x_2+x_4)+2c)。由(x_1+x_3=x_2+x_4=2m)（设中点横坐标为(m)），则(x_1^2+x_3^2=(x_1+x_3)^2-2x_1x_3=4m^2-2x_1x_3)，同理(x_2^2+x_4^2=4m^2-2x_2x_4)。代入等式得(a(4m^2-2x_1x_3)+2bm=a(4m^2-2x_2x_4)+2bm)，化简得(x_1x_3=x_2x_4)。3类型三：四个顶点均在二次函数上（特殊情况）结论：存在性取决于是否存在两组不同的(x)值满足(x_1+x_3=x_2+x_4)且(x_1x_3=x_2x_4)。例如，取抛物线(y=x^2)，设(A(1,1))、(C(-1,1))（中点((0,1))），(B(2,4))，则(x_2+x_4=0)，故(x_4=-2)，(D(-2,4))，验证(x_1x_3=1×(-1)=-1)，(x_2x_4=2×(-2)=-4)，不相等，故不构成平行四边形。但若取(A(t,t^2))、(C(-t,t^2))（对称于y轴），(B(s,s^2))、(D(-s,s^2))，则(x_1+x_3=0)，(x_2+x_4=0)，且(x_1x_3=-t^2)，3类型三：四个顶点均在二次函数上（特殊情况）(x_2x_4=-s^2)，若(t=s)，则四点重合；若(t\neqs)，则(x_1x_3\neqx_2x_4)，故一般情况下，抛物线（非直线）上不存在四个点构成平行四边形。04易错点与提升策略易错点与提升策略在教学实践中，学生常因以下问题导致错误，需重点关注：1忽略分类讨论平行四边形的顶点顺序不唯一，需考虑不同的对角线组合（如以(AB)、(AC)为邻边或以(AB)、(BC)为邻边）。例如，例题1中若仅考虑一种顶点顺序，可能遗漏或错误判断存在性。2未验证点是否在二次函数上求出参数(t)后，必须代入二次函数解析式验证，避免因计算错误导致点不在抛物线上（如例题1中(D(1,4))代入后不符合）