2024-2025学年福建省晋江市高二年级上册册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省晋江市高二上学期期中考试数学

检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

］点尸(-3,8,-5)关于平面xOy对称的点的坐标是()

A.(3,-8,-5)B.(-3,8,5)

C.(3,8,5)D.(-3,-8,5)

2.已知直线/过点(4,5),且一个方向向量为(-1,2),贝］直线/的方程为()

Ax+2v-14=0B,x-2y+6=0

C.2x+y-13=0D.2x-y-3=0

3.已知双曲线G过点4—而』)，且与双曲线。2：/—3/=1有相同的渐近线，则双曲线

C,的标准方程为()

A.仁=iB.Z_r=1

124124

C.工上=1D.E—E=I

155155

4.已知直线/［：3x-4y+7=0与直线，2：6x-(〃z+l)y+l-加=0平行，则乙与6之间的距

离为()

A2B.3C.4D.5

5.已知三棱柱月3c的侧棱长为2,底面力VC'是边长为2的止三隹形，

4/8=幺4。=60。,若4c和8G相交于点则|西=()

A.&B.2C.75D.几

22

6.已知椭圆石：鼻+彳=1(。＞人＞0)的右焦点为尸(4,0),过点尸的直线交椭圆石于48

两点,若4?的中点坐标为"（1,一1）,则椭圆£的方程为（)

--+—■

248

22

7.已知耳，鸟是椭圆。：「+与=i（4〉b>o）的左、右焦点，力是。的左顶点，点尸在过

/b2

A且斜率为/的直线上，△百鸟为等腰直角三角形，且/打工p=90。，则C的离心率为（

8.已知圆C：/+产+61一4、+9=0关于直线依+勿+3=0对称，过点P（d»作圆。的

切线，切点分别为48,QiJcos/4PB的最小值为（）

27291927

A.—B.—C.—D.—

64643232

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量。一（1,1,0）,^=（0,1,1）,c-（l,2,l）,则下列结论正确的是（〉

兀

A.向量£与向量书的夹角为:B.cl(a-b)

C.向量£在向量刃上的投影向最为D.向量］与向量［，［共面

10.已知直线/：Ax-y+（l-攵）=0,圆C：（x+iy+l〉—2f=l,以下正确的是（）

A./与圆。不一定存在公共点

B.圆心C到/的最大距离为石

C.当/与圆C相交时，—2<%<0

D.当A=-l时，圆。上有三个点到/的距离为"立

2

11.已知双曲线=的一条渐近线的方程为歹=亭，上、下焦点分别为

下列判断正确的是（）

A.。的方程为3/_工2=1

B.。的离心率为2叵

3

C.若点A为。的上支上的任意一点，P（2,0）,则归旬+M勾的最小值为2行

D.若点"（2五"）为。的上支上的一点，则△〃£工的内切圆的半径为当

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知力（一2,-5）,8（0,1）两点，则以线段43为直径的圆的标准方程为.

13.过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线，交E于四个点，若这四个点恰为一个正方形

的顶点，则£■的离心率为.

14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面.上到两定点力，8的距离之比为常数义（义＞0"工1）

的点的轨迹是一个圆心在直线力4上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体

43CQ—40Goi中，AB=2AD=2AA1=6,点七在棱48上，BE=2AE,动点P满

定BP=MPE，若点尸在平面48C。内运动，则点尸对应的轨迹的面积是；F

为G。的中点，则三棱锥P-体积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平面直角坐标系X0F中，已知圆M的圆心在直线＞=-24上，且圆M与直线

工-歹-5=0相切于点。（2,-3）.

（1）求圆M的方程；

（2）过坐标原点O的直线/被圆.“截得的弦长为",求直线/的方程.

率为3.

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②点。在棱P4上，直线。。与平面力BC所成角的余弦值为我，求80的长度.

6

22

19.已知椭圆E:xJ+'v=1（4>/7>0）的左、右焦点分另!为G，E，离心率为2一，且经过点

a~b~3

（1）求上的方程；

（2）过耳且不垂直于坐标轴的直线/交E于43两点，点/为的中点，记鸟的

面积为号,△片片鸟的面积为S2,求券的取值范围.

2024-2025学年福建省晋江市高二上学期期中考试数学

检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1点P（-3,8,-5）关于平面xQy对称的点的坐标是（）

A.（3,-8,-5）B.（-3,8,5）C.（3,8,5）D.

（-3,-8,5）

【正确答案】B

【分析】根据空间直角系对称的特征，直接求出答案即可.

【详解】点夕（-3,8,-5）关于平面宜勿对称的点的坐标是（-3,8,5）.

故选：B

2.已知直线/过点（4,5）,且一个方向向量为贝值线/的方程为（）

A,x+2v-14=0B,x-2y+6=0C.2x+y-13=0D.

2x-y-3=0

【正确答案】C

【分析】根据直线的方向向量定义求解即可.

【详解】设尸（x,y）是直线/上任意一点，因为直线/过点（4,5）,且一个方向向量为（一1,2）,

所以二二二，化简得.2x+y—13=0

-12

故选：C.

3.已知双曲线G过点4-VB』），且与双曲线。2：/-3/=1有相同的渐近线，则双曲线

C,的标准方程为（）

A.二上=iB.

124124

c.E上।

155

【正确答案】A

【分析】由题设双曲线G的方程为G：/-3/=4,进而待定系数求解即可.

【详解】由双曲线a与双曲线。2：/-3尸=1有相同的渐近线，故可设双曲线弓的方程为

x2—3y2=4(4w1),

又因为G过点/(—所以15—3=2,解得2=12,

22

所以，双曲线G的标准方程是纭-?=i.

故选：A.

4.已知直线4：3x-4y+7=0与直线/2：6x-("z+l)y+l-m=0平行，则乙与人之间的距

离为()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】A

【分析】根据两条直线平行，求出加值，再应用平行线间的距离公式求值即可.

【详解】因为直线4：3工一4，+7=0与直线/2：6%-(〃7-1)歹+1-〃?=0平行,

6一(〃?+1)1-m_

所以一=--------工------解N得m=7.

3-47

于是直线A：6x-8y-6=0,Bp/2:3x--3=0,

|7-(~3)|

所以人与。之间的距离为=2

肘+(-4>

故选：A

5.己知三楂柱的侧楂长为2,底面力8c是边长为2的正三隹形，

ZAlAB=ZAlAC=60\若8c和8G相交于点〃.则画=()

A.也B.2C.石D.V6

【正确答案】D

【分析】利用空间向量的基本运算可得病=；（万+B+?）,再由夹角以及模长运算即可得

结果.

【详解】如卜.图所示:

根据题意可知令刀>£,祀=瓦漏=入且同=3=同=2,a>c=aih=b,c=60\

可得而二刀+丽=而+，（前+西）=德+L俾+%+西）

22

=小_1荏+

22212v*7

所以—(a+b+c

44

/+庐+[2+2同问cos60。+2同同cos600+2\c\同cos60°；(4+4+4+4-4+4)

4

=x/b.

故选：D

6.已知椭圆上：1+二=15〉8>0）的右焦点为/（4,0）,过点少的直线交椭圆E于43

a-b~

两点，若力片的中点坐标为则椭圆月的方程为（）

AJVR%2y2

182204

C.三十二=1D,三+匕=1

248259

【正确答案】C

_t2121

【分析】点差法得到3/ow=W，从而得到―=二3/=/,结合〃2=/+£/=]6,

aa~3

求出/=24,〃=8,得到椭圆方程.

22

【详解】由题意，设4（不必）,5（x2，为），代入椭圆方程二+二二1，

a~b

4+4=1，2222

可得，以：及两式相减可Kg+-二%=0,

X…ah2

变形可得38勺.二4，

a

又过点尸的直线交椭圆E于43两点，且力8的中点"为（LT）,

所以左"二般“=-r—r=p^.w，

1—4j=T

t2i

代入上式可得，J，,3b2=M，Xt72=Z）2+?,C2=16,

cr3

22

解得病=24万=8,所以椭圆E的方程为二+匕=1.

248

故选：C

7.已知耳，鸟是椭圆C：二十与=1（〃>6>0）的左、右焦点，力是C的左顶点，点尸在过

a~b~

力且斜率为;的直线上，△尸耳行为等腰直角三角形，且/耳入尸=90。，则C的离心率为（）

1123

A-3B-2C-3D-4

【正确答案】A

【分析】根据题意，求得力P方程为y=；（x+。），以及P（c,2c）,代入直线方程求得女二。，

结合离心率的定义，即可求解.

22

【详解】如图所示，由椭圆£+2=1（。＞/）＞0）,得到左顶点力（-4,0）,

又由过点A且斜率为』的直线，可得力P方程为y,

22

因为△/¥；鸟为等腰直角三角形，且/大区P二90。，可得P（c,2c）,

代入直线y=，（•¥+〃），可得2c='（c+a）,整理得3c=〃，

所以椭圆的离心率为？=£='.

a3

故选：A.

8.已知圆C：/+/+6/-4＞+9=0关于直线狈+力+3=0对称，过点尸（。,力）作圆C的

切线，切点分别为4B,则cos/力尸3的最小值为（）

27291927

A.—B.—C.—D.—

64643232

【正确答案】C

【分析】首先由圆。关于直线如+0+3=0对称，则圆心在直线上，从而得到3。—2分=3,

即确定尸（。力）在直线3x—2y=3上，再利用倍角公式，用表示cos/4PB,即

cosZAPB—1--------；--------再利用（4+3）'+（匕-2）’几何意义，即可求出

（0+3）2+--2）2

cos/NPB的最小值.

由圆C：x2+/+6.v-4v+9=o,即可得圆心c(-3,2),半径r二2,

由圆C：x?+y2+6x-4y+9=0关于直线+0+3=0对称，

可得圆心。（-3,2）在直线⑪+力+3=0上,

所以—3。+2/）+3=0,即3。-28=3,所以夕（出力）在直线3]-2>=3,

又过点P（a,b）作圆C的两条切线，切点分别为4B,

8

则cos/4尸3=cos2N4PC=1-2sin2Z.APC=l-2x

5+3『+伍-2)2

又P(a,b)在直线3x-2y=3,

则（。+3）2+（〃-2）2可表示。（一3,2）到直线统一2〉=3上点的距离的平方,

|-9-4-3|

所以（〃+3『+他—2）2的最小值为256

U32+(-2d7T

……为情152_19

»-256-32，

13

故选：C.

关键点点睛:

本题的关键点是将求cos/APB的最小值转化为求直线3x-2y=3上的动点P（a,b）到圆C：

x2+y2+6x-4y+9=0的最小值问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量2=（1』,。），6=（0,1,1）,3=（1,2,1）,则下列结论正确的是（）

A.向量£与向量g的夹角为工B.cL(a-b)

6

C.向量Q在向量［上的投影向量为(5,0,5)D.向量"与向量工，E共面

【正确答案】BD

【分析】对于A,利用空「瓦向量夹角公式计算即可判断；对于B,利用向量垂直的充要条件计

算判断即得；对于C,利用投影向量计算公式即可判断；对于D,利用共面向量基本定理即可

判断.

【详解】对于A,因"q=IxO+lxl+lxO=1，Ia|=||=5/2

则cos〈B,万〉=P“一='、=■!■,因o＜〈尻之〉＜兀，则〈瓦,〉二工，故A错误；

⑷・网(，2厂23

对于B,因万-3=(1,0,1),则己・(3-6)=(1,2,1).(1,0,-1)=1乂1+2乂0+1乂(-1):0,

故6即B正确；

对于C,根据投影向量的定义可知，向量£在向量行上的投影向量为:

同"办'萨孚」/x°另故C错误;

对于D,由向量a—(1,1,0),c—(1,2,1),可知C=Q+8,

故向量)与向量B共面，所以D正确.

故选：BD.

10.已知直线/：点一)，+(1-A)=0,圆C：(X+1)2+|＞-2)2=1,以下正确的是()

A./与圆C不一定存在公共点

B.圆心C'到/的最大距离为逐

C.当/与圆。相交时，一巳＜女＜0

4

D.当左二-1时，圆C上有三个点到/的距离为三2

2

【正确答案】ABD

【分析】对A,根据直线与圆的位置关系，求圆心。到直线/的距离判断：对于B,由于直线

恒过定点所以当时CQ_L/,圆心。到直线/的距离最大，从而可求出其最大值；对

C,根据直线与圆的位置关系求解判断；对D,求出圆心到直线的距离，进而判断.

,\-k-2+\-k\\lk+]\

【详解】对于A,圆心C到直线/的距离为d=-,

Jl+二左2

|2攵+1|4

当">r=1,即----L>1,解得k>0或攵<一一，此时直线/与圆相离，没有公共点，故

\h+k?3

A正确；

对于B,因为直线/：6一）+（1-攵）=0,BPZ:（X-1）=v-1,所以直线/过定点尸（1,1）,

当时C尸圆心C到直线/的距离最大，最大值为|CP|=J（-=5故B

正确；

I2A+1I4

对于C,当直线/与圆相交时，则'解得一-<攵<0,故C错误;

-1+2-2|_72

对于D,当左二一1时，直线/：x+y—2=0,圆心。到直线/的距离为

Vi+T~2

所以圆上有三个点到直线/的距离为1-立=三2,故D正确.

22

故选：ABD.

11.已知双曲线C：4-x二二1（〃〉0）的一条渐近线的方程为卜=容，上、下焦点分别为

耳，石，下列判断正确的是（）

A.。的方程为3/—2=1

B.C的离心率为汉1

3

C.若点A为。的上支上的任意一点，P（2,0）,则归H+M勾的最小值为2石

D.若点〃（2五"）为C的上支•上的一点，则AM片5的内切圆的半径为等

【正确答案】ACD

【分析】根据渐近线方程求。，根据双曲线方程求离心率，即可判断AB,根据双曲线的定义,

结合数形结合判断C,根据双曲线方程求点〃的坐标，再根据鸟的面积和周长，即可

求内切圆的半径，判断D.

【详解】A.由双曲线方程£/一工2=16>0）可知，双曲线的渐近线方程为歹=±办,

又双曲线的i条渐近线方程为>=半，所以Q

3’

所以C的方程为

故A正确；

B.由双曲线C的方程3/-/=],

可知，a2=-,b2=1,

3

4c

则c?=/+/=—,所以离心率e=—=2,

3a

故B错误；

耳+勿=归川+,耳|+乎之「巴卜¥二26,

当点尸,4片三点共线且依序排列时，等号成立,

所以|「4|+|力用的最小值为2石,

故C正确；

D.

D.C的方程为犷一一二1,当工=20时，y=±5〃(2拒,退)，

心叫斗厂苧)

计算可得由周二^^,।/阳=¥^,阿眉=苧^,

所以4MF\F,的面积为_Lx勺8x2/二逆，

233

△历"月的周长为迪+38+述=3正，

3333

设片居的内切圆的半径为一，则lx3叵/•=侦，得r=也,故D正确.

2332

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知4(—2,—5),8(0,1)两点，则以线段为直经的圆的标准方程为.

【正确答案】(x+l)2+(y+2)2=10

【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程.

【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为(-1,-2),

半径7•二;|/8|=；/(—2-0)2+(—5—1)2二历,

所以所求圆的标准方程为(x+1)?+(y+2>=10.

故(x+l)2+(y+2)2=10

13.过双曲线K的两个焦点分别作实轴的垂线，交Z?于四个点，若这四个点恰为一个正方形

的顶点，则E的离心率为.

【正确答案】正里.

2

【分析】由双曲线的几何性质确定dAc之间的等式关系，即可求解.

22

【详解】解法一：不妨设双曲线E：q—S=l（a>°/>0），

令》=。，可得y=±L,所以|力用=当.

依题意可得，|4a=忸闾,所以竺=2c，

又从二。2-/,所以g2一改一。2=0,解得：£=生5,

a2

又因为所以£=£=1±叵.

a2

解法二：如图，连结片片，在中，

归周=2c，M用-卜冏|=2"6-c=（右-l）c

2c2cy/s+1

所以离心率-五二百1二丁.

解法三：闺用=2c,依题意知力（c,c）在曲线上，故M一二二1,

crb~

整埋得/—3^+1=0,/二2±立.（取止）,

2

14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点/,B的距离之比为常数义（2>0,2=1）

的点的轨迹是一个圆心在直线44上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体

中,/B=2/O=244]=6,点七在楂力8上，BE=2AE,动点。满

足BP=6PE，若点尸在平面48CO内运动，则点尸对应的轨迹的面积是；/

为GA的中点，则三棱锥尸-四。尸体积的最小值为.

②.好网

【分析】建立空间直角坐标系，根据BP二6PE，可得尸对应的轨迹方程；先求△可。尸的

面枳，其是固定值，要使体积最小，只需求点尸到平面片的距离的最小值即可.

【详解】分别以4民4。/4为x，y，z轴建系，设尸(x,y,o),而

8(6,0,0),E(2,0,0),4(6,0,3),

。(6,3,0),尸(3,3,3).

由4尸=y[3PE，有7(x-6)2+(y-0)2+(0-0)2=0x^x-2)2+(y-0)2+(0-0)2，化

简得尸对应的轨迹方程为f+/=12.所以点尸对应的轨迹的面枳是汗.(2百了=12万.

易得ABCF的三个边BQ=B1F=CF=36

即是边长为为3人的等边三角形，其面积为些,

2

西=(0,-3,3),3=(一3,0,3),设平面用。尸的一个法向量为3=(x/,z),

则有t-x3y++3z=。0’可取平面8叱的一个法向量为一〃=(.1」.」)'

根据点尸的轨迹，可设P(2jJcosa2Gsin仇0)，

.•.丽=(2gcos<9-6,2、5sin8-3,0...炉,；=2#cos。+2氐in9，

/\

不f2\/6sin^0+--9r

所以点。到平面8cb的距离月_.〃—I4；9-2V6,

"-河-忑

所以忆二！S6=,S42幺一3".

332

故12万；--35/6

2

四、解答题：本题共5小题，77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平面直角坐标系X0F中，已知圆"的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线

工_尸5=0相切于点P(2,-3).

(1)求圆M的方程：

(2)过坐标原点。的直线/被圆M截得的弦长为卡，求直线/的方程.

【正确答案】(1)(x-l)2+(y+2)2=2

(2)x+y=0或7x+y=0.

【分析】(1)根据直线与圆的相切的关系得出圆心与切点连线方程，联立方程组计算可得圆

心坐标，根据两点距离公式计算半径即可得圆M的标准方程；

(2)根据弦长公式可得圆心M到直线/的距离，分类讨论直线斜率是否存在，并点到直线的

距离公式计算斜率即可.

【小问1详解】

易知过点。(2,-3)且与直线x-y-5=0垂直的直线斜率为1,

故圆心必与切点连线方程为x+y+l=O,

X+y+1=0

联立〈\解得

y=-2x、k-2

所以例(1,一2)；

所以圆M的半径为网必=)(2-+(—3+2)2=6,

所以圆用的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

【小问2详解】

如图，由(1)可知圆M的方程为(工一1)2+(歹+2)2=2,

因为直线/被圆M截得的弦长为石，

所以加到直线/的距离为d=

若直线/的斜率不存在，则方程为x=0,此时圆心到直线的距离为1,不符合题意;

若直线/的斜率存在，设方程为歹=履，

则d=~，即〃2+8〃+7=0，解得女二一I或〃=一7,

7FTT2

所以直线/的方程为x+y=0或7x+y=0.

16.如图，已知在四棱锥尸一/BC。中，。。，平面力8。。，四边形力8。。为直角梯形，

AD1CD,AB//CD,48=4。=PQ=2,CQ=4,点£是棱尸C上靠近尸端的三等分

点，点尸是棱21上一点.

（1）证明：P4//平面BDE；

（2）求点/到平面3QE的距离；

（3）求平面与平面P8c夹角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵毡

3

（3）也.

3

【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可;

（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；

（3）利用空间向量计算面面夹角即可.

【小问1详解】

以点。为坐标原点，DA,DC,DP分别为X/,z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4（2,0,0）,8（220）,C（0,4,0）/（0,0,2）,E[0,*，.

______(44)

£>^=(2,2,0),M=l0,-,-l,设平面的一个法向量为而二(x,y,z),

2x+2y=0

m•DB=0

则一，即〈44令x=l,得y=T,z=l,则成=(1,一1,1).

-y4--=0

汾・DE=O13，3Z

又苏二(2,0,-2),可得方.而=0,因为"U平面4DE,所以0///平面

【小问2详解】

因为P///平面BDE，所以点F到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离.

易知4B=(0,2,0)，则点A到平面BDE的距离为—=二=仝丝.

阿V33

【小问3详解】

易知就=(-2,2,0),斤二(0,4,-2),设平面尸3。的一个法向量为方=W，Ac),

n-BC=0-2a+2/)=0

则即《，令〃=l,b=l,c=2,则万=(1,1,2).

n~PC=04b2c=0

设平面BOE与平面P8C的夹角为a，

|丽•同

则IH8sa=|Ico/s_d〃人丽二2.二行41

故平面8OE与平面尸8c的夹角的余弦值为也.

3

17.已知圆M：(x+1>+9=1,圆N：(x—l)?+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆

心P的轨迹为曲线C

(1)求C的方程；

(2)1是与圆P,圆M都相切的一条直线，I与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时,

求|AB|.

r22

【正确答案】(1)二+2v=|鼠¥-2)：(2)见解析.

43、7

【分析】(I)根据椭圆的定义求出方程：(2)先确定当圆P的半径最长时，其方程为

(x-2)2+y2=4>再对直线1进行分类讨论求弦长.

【详解】⑴依题意，圆M的圆心，圆N的圆心N(l,0),故+|尸M=4>2,由椭圆定

理可知，曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆(左顶点除外)，其方程为《+己=l(x=-2)；

43Vf

⑵对于曲线C上任意一点尸(x,y),由于|PMTPN|=2R-V2(R为圆P的半径)，所

以R=2,所以当圆P的半径最长时，其方程为(x—2)2+)?=%

若直线1垂直于x轴，易得|/8|二2百；

\QPR

若直线1不垂直于X轴，设1与X轴的交点为Q,则公77?=一，解得。(-4,0),故直线1：

10M分

y=A(x+4)；有1与圆M相切得尸"，=1,解得Z=±也；当〃="时，直线

>J\+k244

y=手x+夜，联立直线与椭圆的方程解得|力以=?；同理，当上二V2时,|叫号

4

18.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设。为多面体”的一个顶点，定义多面体例在

点尸处的离散曲率为①尸=1—J(/0尸02+/。2。。3十…+N&T尸2+/002)，其中

27r

21=1,2,…,攵,左之3))为多面体M的所有与p相邻的顶点，且平面0E2,QP2，…

平面和平面。为多面体M的所有以夕为顶点的面.现给出如图所示的三棱锥

P-ABC.

(1)求三棱锥。-48。在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)若尸力J.平面/18C,ACLBC,AC=BC=2,三棱锥夕—48C在顶点。处的离散曲

率为‘3

O

①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；

②点。在棱P4上，直线。。与平面力BC所成角的余弦值为我，求80的长度.

6

【正确答案】（1）2（2）①g；②=乎

【分析】（I）根据所给的定义.表示①〃•①八①〃.①c,再相加.即可求解:

（2）①将三棱锥补成正方体，即可求解异面直线所成的角；②首先根据垂直关系，构造线面

角,再设80=x（O<x«2后），QG=*x，8G=^x，再利用余弦定理求CG,

再由余弦值，转化为正切值，即可求解.

【小问1详解】

根据离散曲率的定义得①尸=1一」一(/406+N4尸C+N4尸C),

2兀

(P,=1一一-(ZPJ/?+Z^C+/PAC),(P=l-—|ZP^+/ABC+/PBC),

2兀2兀fl,

①(.二1一5(/P。+N5C4+N尸C8),

所以①f尸+①/,I+①#+中V「=4-—cx4n=2

2兀

【小问2详解】

①因为P4_L平面4BC,4Cu平面力BC,

所以P4JL8C,且/C_L8C,PA^AC=A,4,/Cu平面4C,

所以8C_L平面/MC,尸Cu平面P/C,

所以8C_LPC,

I।/、Q

所以①(.=1——(ZPCA+ABCA+ZPCB)=1——ZPCA+-+-=

2n2兀I22/8

所以二巴，所以PW=4C=4c=2,

4

如图，将三棱锥尸-力8c补成正方体4O8C-PERM,

因为AB//PF,连结“C,所以异面直线尸。与所成的角为NQC或其补角,

而△PR7是等边三角形，所以ZF尸。=60、cosZFPC=cos60°=-,

2

所以直线PC与直线AB所成角的余弦值为-；

2

过点。作0G//48于点G,连结CG,

因为P4_L平面45C,所以。G_L平面48C,

所以AGCQ为直线CQ与平面ABC所成的角，

依题意可得，PA=2,AB=2亚，PB=>!PA2^AB1=273-

所以sinZ.PBA-,cosZ.PBA=，

PB3PB3

设80=X（O<X42石），QG=BQsinNPBA=去x,BG=BQ-cosAPBA=^-x,

在z^CG中，CG=NBC、8G2一2BC.BG.cos/CZG=|已一年x，

又cosNGC。=任，所以sinNG。。=Jl-cos?4GCQ=逅，

66

sinZGCQV5

所以tan/GCQ=

COSZGC0-T

近一

所以tanAGCQ=堡=-3—

CG2；4百5

J4+一厂------x

V33

解得：x=28或x=-2>/3（舍）

3

故80=苧.

关键点点睛：本题考察新定义，关键一是理解新定义，确定图形的几何关系，关键二是利用

定义法表示线线角和线面角.

227

19.已知椭圆后：二+勺二叫〃〉/?,。）的左、右焦点分另!为耳，工，离心率为一，且经过点

crb-3

（1）求E的方程；

（2）过百且不垂直于坐标轴的直线/交E于48两点，点M为4B的中点，记鸟的

面积为5,△86用的面积为$2,求善的取值范围.

【正确答案】（1）—+^=1

95

（2）（0,2）

【分析】（I）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解；

（2）解法一：设/:x=〃v-2（〃-0）,利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点儿