2023年贵州铜仁松桃县数学九年级上册期末质量检测模拟试题含解析

2023年贵州铜仁松桃县数学九上期末质量检测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若x=・l是关于x的一元二次方程ax?一。工-2019=0的一个解，贝！）1+。+。的值是（）

A.2017B.2018C.2019D.2020

2.抛物线1y=。/+方工+。（“WD如图所示，下列结论：①岫cVl；②点（・3,“），（1,都在抛物线上，则有“

>J2；③62>（4+c）2；④2a-力VL正确的结论有（）

3.下列成语所描述的事件是不可能事件的是（）

A.日行千里B.守株待兔C.水涨船高D.水中捞月

4.如图所示，在uABCQ中，AC与8。相交于点。，E为8的中点，连接AE并延长交。C于点/，则AABE与

,A8CQ的面积比值为（）

A.1:8B,1；4C,3:8D.3:4

5.设f=］，下列变形正确的是（）

b2

A.—=-B.—=-C.3a=2bD.2a=3b

a223

6.在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,那么cosA的值是（）

4343

A.D.

5534

7.抛物线），=如2+法+。的部分图象如图所示，当）Y0时，x的取值范围是（）

A.x>2或x<-3B.-3<x<2

C.x>2或xV—4D.-4<x<2

8.如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形41«：»£1、的半径是2651,则这个正六边形的

周长是（）

2____D

A.12B.6GC.36D.1273

9.在平面直角坐标中，把AABC以原点。为位似中心放大，得到△ABC,若点A和它对应点4的坐标分别为（2,5）,

（-6,-15）,贝lUHZTC'与△AHC的相似比为（）

11

A.-3B.3C.-D.—

33

AH2

10.如图，在八43c中，若DE"BC,而=q,DE=4cm,则8c的长是（）

A.1cmB.1Or/??C.13cmD.\5cm

11.下列事件中，属于随机事件的是（）.

A.13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月

B.在只有白球的盒子里摸到黑球

C.经过交通信号灯的路口遇到红灯

D.用长为3m,5m,8m的三条线段能围成一个边长分别为3m,5m,8m的三角形

12.已知P是AABC的重心，且PE〃BC交AB于点E,BC=3A/L则PE的长为（）.

AAR百「旧2X/3

A.V3B.C.I）N.-----

323

二、填空题（每题4分，共24分）

13.有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均

相同）.现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的

概率为.

14.如图，在。O中，弦AC=2后，点B是圆上一点，且NABC=45。，则。O的半径R=

15.抛物线y=f+8工+6的顶点坐标为.

16.若”0,则化简成最简二次根式为

4

17.双曲线凹、乃在第一象限的图像如图，y=—，过M上的任意一点A,作工轴的平行线交为于5,交）'轴于C，

x

若SMOA=1,则力的解析式是

18.一元二次方程有一个根为2-二次项系数为1,且一次项系数和常数项都是非0的有理数，这个方程可以是

三、解答题（共78分）

19.（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y=f_2V7_3的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

AO_L〃。于点。.

(1)求证：48为。。的切线；

4

(2)若8c=6,tanZABC=-求A0的长.

3t

22.(10分)综合与实践

背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结

果.旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角

等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质.所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关健.

实践操作：如图1,在中，N8=90。，BC=2AB=12f点。,£分别是边〃C,AC的中点，连接将△EOC

绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.

AE

问题解决：(1)①当a=0°时，——=_______;②当a=180。时，——=_______.

BDBD

Ap

(2)试判断：当0。飞V360。时，、的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

问题再探：(3)当△EOC旋转至A,D,E三点共线时，求得线段3。的长为.

23.(10分)请完成下面的几何探究过程:

(1)观察填空

如图1,在RL^ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,点D为斜边AB上一动点（不与点A,B重合），把线段CD绕点C顺

时针旋转90。得到线段CE,连DE,BE,则

①NCBE的度数为;

②当BE=时，四边形CDBE为正方形.

⑵探究证明

如图2,在Rt2\ABC中，ZC=90°,BC=2AC=4,点D为斜边AB上一动点（不与点A,B重合），把线段CD绕点C

顺时针旋转90。后并延长为原来的两倍得到线段CE,连DE,BE则：

①在点D的运动过程中，请判断NCBE与NA的大小关系，并证明；

②当CD_LAB时，求证：四边形CDBE为矩形

⑶拓展延伸

如图2,在点D的运动过程中，若ABCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长.

24.（10分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中，你最

喜欢哪一项活动（每人只限一项）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如

下两幅不完整的统计图.

请你根据统计图解答下列问题：

（1）扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为度；

（2）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这

两项的概率.

25.（12分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在

20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下

关系：

34x（0<x<6）

y=l20x+80（6<x<20）

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造

的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价•成本）

小尸（元只）

3

2

0

20x（天）

26.如图，已知抛物线产比4力x+3（帕））经过点A（l,0）和点3（3,0）,与j轴交于点C.

⑴求此抛物线的解析式;

⑵若点P是直线下方的抛物线上一动点（不点-。重合），过点P作），轴的平行线交直线于点。，求PD的长

度最大时点尸的坐标.

⑶设抛物线的对称轴与交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点，N为），轴上一点，是否存在这样的点M和点N,

使得以点C、E、必、N为顶点的四边形是菱形？如果存在,请直接写出点M的坐标：如果不存在,请说明理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、D

【分析】根据x=-l是关于x的一元二次方程a^-hx-2019=0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式

子的值.

【详解】解：・,3=-1是关于x的一元二次方程”・bx-2019=0的一个解，

2019=0,

二。+b=2019,

・=1+4+5=1+2019=2020,

故选：D.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值.

2、B

【分析】利用抛物线开口方向得到a>l,利用抛物线的对称轴在y轴的左侧得到b>l,利用抛物线与y轴的交点在x

轴下方得到cVL则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点（-3,yi）和点（1,y2）到对称轴的距离的大小可

对②进行判断；由于（a+c）乙方二（a+c-b）（a+c+b）,而x=l时，a+b+c>l；x=-l时，a-b+c<1,则可对③进行判断；

利用-1<-2v0和不等式的性质可对④进行判断.

2a

【详解】,・,抛物线开口向上，

V抛物线的对称轴在了轴的左侧，

:・a、）同号，

V抛物线与），轴的交点在x轴下方，

・・・cVl,

*.ahc<\t所以①正确；

•・•抛物线的对称轴为直线x=・二，

2a

__b

而・iv------<1,

2a

・••点（・3,川）到对称轴的距离比点（1,m）到对称轴的距离大，

・•・山〉”，所以②正确；

••3=1时，J>1,Bpa+b+c>\,

x=-l时，J<1,即a-b+cVl,

:.（〃+c）2-b2=（a+c■力）（a+c+力）<1,

：.b2>（a+e）2,所以③正确；

•:.1<--<1,

2a

:.-20V-bt

：.2a-b>lf所以④错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>l时，抛物线向上开口；

当aVl时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；当a与b同号时，对称轴在y轴

左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(1,c).抛物线与x

轴交点个数由判别式确定：△=b2.4ac>l时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2・4ac=l时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4acVl时，抛物线与x轴没有交点.

3、D

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事

件和不可能事件都是确定的.

【详解】解：A、日行千里是随机事件，故本选项错误；

B、守株待兔是随机事件，故本选项错误；

C、水涨船高是必然事件，故本选项错误；

D、水中捞月是不可能事件，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】

此题考查是不可能事件的判断，掌握不可能事件的定义是解决此题的关键.

4、C

【分析】根据平行四边形的性质得到OB=OD,利用点E是OD的中点，得到DE:BE=1：3,根据同高三角形面积比

的关系得到S.ADE：SAABE=1：3,利用平行四边形的性质得S平行四边形ABCD=2SAABD,由此即可得到AAfiE与ABCD

面积比.

【详解】在A8CO中，OB=OD,

YE为0。的中点，

.*.DE=OE,

/.DE:BE=1：3,

/•SAADE：SAABE=1：3,

ASAABE：SAABD=1：4,

,**S平行四邂ABCr)=2S△ABI),

AAABE与-A3c。的面积比为3:8,

故选：C.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，同高三角形面积比，熟记平行四边形的性质并熟练运用解题是关键.

5、D

【分析】根据比例的性质逐个判断即可.

【详解】解：由£=2得，2a=3b,

b2

J3

A、・・♦一=二，・・・2b=3a,故本选项不符合题意；

a2

V-=-,A3a=2b,故本选项不符合题意；

23

C、3a=2b,故本选项不符合题意；

D、2a=3b,故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果f=:，那么ad二be.

bd

6、B

【解析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案.

【详解】解：在RtZXABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理，得AB=JAC2+3C2=5

故选：B.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

7、C

【分析】先根据对称轴和抛物线与x轴的交点求出另一交点；再根据开口方向，结合图形，求出y<0时，x的取值范

围.

【详解】解：因为抛物线过点(2,0),对称轴是x=・L

根据抛物线的对称性可知，抛物线必过另一点(-1,0),

因为抛物线开口向下，y<0时，图象在x轴的下方，

此时，x>2或xV—1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是利用二次函数的对称性，判断图象与x轴的交点，根据开口方向，形

数结合，得出结论.

8、D

【分析】由正六边形的性质证出AAOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA,即可得出答案

【详解】设正六边形的中心为O,连接AO,BO,如图所示:

E_____D

丁。是正六边形ABCDEF的中心，

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,ZAOB=60°,AO=BO=2V3cm,

••・△AOB是等边三角形，

/.AB=O.4=2Gcm,

，正六边形ABCDEF的周长=6AB=12&cm.

故选D

【点睛】

此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出^AOB是等边三角形是解题关键.

9、B

【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可.

【详解】解：:△ABC和B'C'关于原点位似，且点A和它的对应点A'的坐标分别为(2,5),(-6,-15),

二对应点乘以-1,则AA'B'C'与△ABC的相似比为：1.

故选：B.

【点睛】

本题考有的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形

对应点的坐标的比等于k或.k是解答此题的关键.

10、B

4n2DF2

【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出二£二三，可得："二w，根据的长即可求得的长.

AB5BC5

An2

【详解】解：,・・一二;,

DB3

AD_2

••二-9

AB5

VDEIIBC,

ADDE2

■•=—,

ABBC5

■:DE=4cm,

:.BC=IOcm.

【点睛】

AH2

本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得一:一是解题的关键.

AB5

11、C

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义对每一选项进行判断即可.

【详解】A、必然事件，不符合题意；

B、不可能事件，不符合题意；

C、随机事件，符合题意；

D、不可能事件，不符合题意；

故选C.

【点睛】

本题考查随机事件，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键.

12、A

【分析】如图，连接AP,延长AP交BC于D,根据重心的性质可得点D为BC中点，AP=2PD,由PE〃BC可得

△AEP-AABD,根据相似三角形的性质即可求出PE的长.

【详解】如图，连接AP,延长AP交BC于D,

丁点P为△ABC的重心，BC=36，

13G

/.BD=-BC=^—,AP=2PD,

22

.AP_2

••二-9

AD3

VPE//BC,

AAAEP^AABD,

APPE

:.——=——,

ADBD

APE=xBD=2x2^=75.

AD32

A

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形重心的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离

与重心到对边中点的距离之比为2：1；正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

5

【解析】判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可.

【详解】解：等边二角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形是：正方

形、矩形、正六边形共3种，

故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：

5

故答案为

5

【点睛】

考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等.

14、V6.

【分析】通过NABC=45。，可得出NAOC=90。，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了.

【详解】•・・NABC=45。，

AZAOC=90°,

AOA^OC^AC1.

AOA'+OA^（1^/3）

：・OA=水.

故。O的半径为几.

故答案为：＞/6.

15、（Y,-10）

【分析】直接利用公式法求解即可，横坐标为：——h,纵坐标为：66一b2

2a4a

【详解】解：由题目得出：

抛物线顶点的横坐标为：-==-9=-4；

2a2x1

如小川"上二4。。一"4xlx6-8224-64._

抛物线顶点的纵坐标为：--------=------------=-------=-1（）

4。4x14

抛物线顶点的坐标为：（・4,・10）.

故答案为：（4-10）.

【点睛】

本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

16、里

y

【分析】根据二次根式的性质，进行化简，即可.

Vy<0

叵，

y

故答案是：一工至.

y

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，是解题的关键.

4

【分析】根据y尸一，过yi上的任意一点A,得出ACAO的面积为2,进而得出△CBO面积为3,即可得出”的解析

x

式.

4

【详解】解：:丫尸一，过yi上的任意一点A,作x轴的平行线交yz于B,交y轴于C,

x

**.SAAOC=^-x4=2,

2

♦SAAOB=1，

•••△CBO面积为3,

.*.k=xy=6,

・・・y2的解析式是：y2=^.

x

故答案为y2=5.

2

18、X-4X+1=0

【分析】根据有理系数一元二次方程若有一根为4+的，则必有另一根为4-的求解即可.

【详解】根据题意，方程的另一个根为2+G，

・•・这个方程可以是：1一（2-6+2+6）_¥+（2-6）（2+6）=0,

即：X2-4x+\=0>

故答案是：x2-4x+1=0»

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解“有理系数一元二次方程若有一根为。+新，则必有另一根为

a-4bK是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、（1）-1；（2）见解析；（1）函数）,=/一2底一3的图象关于y轴对称；当x>l时，y随x的增大而增大；（4）

①2；②1,1；③-4VaV-l

【分析】（1）由题意观察表格根据函数的对称性即可求得m的值；

（2）根据题意代入表格数据进行描点、连线即可得到函数的图象：

（1）由题意根据题干所给的函数图象性质进行分析即可；

（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；

②根据y=f一2匠-3的图象与直线y=・i的交点个数，即可得到结论;

③根据函数的图象即可得到a的取值范围.

【详解】解：（1）观察表格根据函数的对称性可得m=-l；

（2）如图所示；

（1）由函数图象知：①函数），=/一2，3一3的图象关于y轴对称；

②当x>l时，y随x的增大而增大；

（4）①函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程/_2匠—3=0有2个实数根;

②由函数图象知：）二/一2底一3的图象与直线y=-l有1个交点，

・・・方程f_2匠_3=-3有1个实数根；

③由函数图象知：・・,关于x的方程X2-2J7—ga有4个实数根，

Aa的取值范围是一4VaV—1,

故答案为：2,1,1,-4<a<-l.

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，运用数形结合思维分析以及正确的识别图象是解题的关键.

2

20、（1）P=-；（2）加入了5个红球

3

【分析】（D利用列表法表示出所有可能，进而得出结论即可；

（2）根据概率列出相应的方程，求解即可.

【详解】（1）列表如图，

黑1黑2红

黑1/（黑1,黑2）（黑1,红）

黑2（黑2,/（黑2,红）

红（红，黑D（红，黑2）/

2

一共有6种等可能事件，其中颜色不同的等可能事件有4种，，颜色不同的概率为P=]

（2）由图表可得摸到红球概率为2

4

设加入了x个红球

1+x_3

3+7~4

解得x=5

经检验x=5是原方程的解

答：加入了5个红球。

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

21、（1）见解析；（2）AD=2亚.

【分析】（1）作OE_LAB,先由NAOD=NBAD求得NABD=NOAD,再由NBCO=ND=90°及NBOC=NAOD求得

NOBC=NOAD=NABD,最后证△AOCWZXB。后得O£=OC,依据切线的判定可得；

（2）先求得N£Q4=NASC,在Rtz^ABC中求得AC=8,AB=10,由切线长定理知BE=BC=6,AE=4,0E=3,继而得B0=3石，

根据相似三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：（1）过点。作0EJL4B于点E,

VO为/MBN角平分线上一点,

：.ZABD=ZCBDf

又TBC为。O的切线，

：.AC±BCt

•・・AO_LBO于点。，

・•・/£>=90°,

・・・N3CO=NO=90°,

•:/BOC=/AOD,

・・・N8AD+NA3O=90°,NAOO+NOAO=90°,

ZAOD=ZBADf

；.NABD=NOAD,

：.ZOBC=ZOAD=NABD,

在ABOC和ABOE中,

ZOBC=ZOBE

•，/OCB=/OEC,

BO=BO

：./\B()C^/\B()E(4/LS).

：.OE=OCf

*：OE±ABf

・・・AB是的切线；

(2)VZABC+Z^AC=90°,ZEOA+ZBAC=90°,

:・NEOA=NABC,

4

•・tanNA5C=—、6C=6,

3

:.AC=5c・tanZABC=8,

则AB=10,

由(1)知RE=BC=6,

：.AE=4f

4

VtanZEOA—tanZABC=—,

3

.OE_3

••=-9

AE4

AOE=3,OB=血炉+OE?=3后，

•；NARD=/OBC,NO=N4CB=90’,

[△ABDsAOBC,

.OC_OB33亚

••-9-------------,

ADABAD10

・"。=2忖

故答案为：AO=2逐.

【点睛】

本题主要考查了切线的判定与性质.解题的关键是掌握切线的判定，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质及

解直角三角形的应用.

22、(1)①且，②且；(2)无变化，证明见解析；(2)6行或呸5.

225

【分析】问题解决：(1)①根据三角形中位线定理可得：/，O=CD=25C=6,4E=CE=《AC=2逐，即可求出丝的

22BD

值；

4£

②先求出4,AE的长，即可求出访的值；

(2)证明4s△ocB,可得丝=生=亚；

BDCD2

问题再探：(2)分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求80的长.

【详解】问题解决：

(1)①当(1=0°时.

•；BC=2AR=3,

：.AB=6t

；・AC=J"夕+BC?=，62+12?=6后、

•・•点。、E分别是边BC、AC的中点，

：.BD=CD=-BC=6AE=CE=-AC=2d5DE=-AB

22t2ff

.AE345亚

••---------------•

BD62

故答案为：M

2

②如图1.

当a=180°时.

:将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,

ACD=6,CE=275,

：.AE=AC+CE=975,3O=8C+CD=18,

,AE_9y/5_y/5

・・丽一~^~一丁

故答案为：立.

一2

(2)如图2,

图2

当0°＜仅＜260°时，——的大小没有变化.证明如下:

BD

VZECD=NACB,

：.NECA=NDCB,

v..ECACy/5

CDBC2

:.△ECAsRDCB,

.AEEC也

••-----=------=-----•

BDCD2

问题再探：

(2)分两种情况讨论：

①如图2.

B

图3

•；AC=6君,CO=6,CD±ADt

2

・•・AO=VAC-CD2=7（6>/5）2-62=3.

*：AD=BCtAB=DCf

・・・四边形A"CO是平行四边形.

VZ«=90°,

，四边形ABC。是矩形，

：.BD=AC=6yf5.

②如图4,连接过点。作AC的垂线交AC于点。，过点8作AC的垂线交AC于点P.

图4

<AC=6氐CD=6,CD±ADf

••AC~—CD1=3・

在RtZkCDE中，DE=ylcE2-CD2=7（3>/5）2-62=2>

：.AE=AD-DE=3-2=9,

由（2）可得：世二旦，

BD2

9_18方

：.BD=^=^~.

T

综上所述：80=6逐或更普.

故答案为：6石或警.

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类

讨论思想解决问题是本题的关键.

23、（1）①45。，②2&；（2）①NC8E=ZA,埋由见解析，②见解析；（3）6或2石一4

【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出NA=NABC=45。，由旋转的性质得：ZACD=/BCE,CD=CE,

证明她宓二川。/）,即可得出结果；

②由①得NCBE=45。，求出/。8石=/45。+/<?的=90°,作EM_L8C于M,则ABEM是等腰直角三角形，证

出是等腰直角三角形，求出/8EC=90。，证出四边形CDBE是矩形，再由垂直平分线的性质得出BE=CE,

即可得出结论；

（2）①证明MCESAACD,即可得出NC3E=NA；

②由垂直的定义得出NADC=N8QC=90。，由相似三角形的性质得出N8EC=NAQC=90。，即可得出结论；

（3）存在两种情况：①当C力=8力时，证出CO=5O=4O,由勾股定理求出A8,即可得出结果；

②当8。=8c=4时，得出AO=A8=8O=2逐一4即可.

【详解】解：（1）①,•"ZAC8=90。，AC=BC,

.\ZA=ZABC=45°,

由旋转的性质得：ZACD=/BCE,CD=CE,

13C=AC

在ABCE和AACD中，NBCE=ZACD,

CE=CD

:ZCE^MCD（SAS）,

.­.ZCBE=ZA=45°；

故答案为：45°；

②当4E=2女时，四边形CQ8£是正方形；理由如下:

由①得：ZCBE=45°,

4DBE=ZA4C+/CBE=90°,

作EMJ_AC于M,如图所示：

则NBEM是等腰直角三角形,

BE=2y[i，

:.BM—EM—2,

:.CM=BC-BM=2,

；.BM=CM=EM,

.•.△。位是等腰直角三角形，

ZCEM=45°,

/.Z^£C=45°+45°=90°,

又•・・/AC8=900,

二.四边形COBE是矩形，

又E何垂直平分8C,

/.BE=CE，

••・四边形CQ8£是正方形；

故答案为：2夜；

(2)®ZCBE=ZA,理由如下：

由旋转的性质得：/BCE=ZACD,

BC=2AC,CE=2CD,

.RC_CE”

ACCD

:.耶CEs.CD,

4CBE=ZA；

②；

:.ZADC=ZBDC=90°t

由①得：AfiCE^MCZ),

.-.Z^EC=ZADC=90°,

又;ZDCE=90°f

••・四边形COB石是矩形；

(3)在点。的运动过程中，若AACO恰好为等腰三角形，存在两种情况:

①当8=8。时，则/ZXZ=ZDBC,

•/ZDBC+ZA=90°,ZACD+/DCB=90。,

：.ZA=ZACDf

:.CD=AD,

:.CD=BD=AD,

AB=4AC-+BC2=X/22+42=275，

/.AD=亚;

②当3。=8c=4时，AD=AB—BD=2有一4;

综上所述：若MCO恰好为等腰三角形，此时A。的长为6或26-4.

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定、

正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证

明三角形相似是解决问题的关键，注意分类讨论.

24、(1)28.8；(2)-

6

【分析】(D用喜欢声乐的人数除以它所占百分比即可得到调查的总人数，用总人数分别减去喜欢舞蹈、乐器、和其

它的人数得到喜欢戏曲的人数，即可得出答案；

(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中“①舞蹈、③声乐”两项活动的结果数，然后根据概

率公式计算.

【详解】(1)抽杳的人数=8・16%=50(名)：

喜欢“戏曲”活动项目的人数=50-12-16-8-10=4(人)：

4

扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为360-x—=28.8U；

故答案为：28.8；

（2）舞蹈、乐器、声乐、戏曲的序号依次用①②③④表示，

画树状图：

/1\/T\/1\/N

②®④①③④①②④①②③

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中“①舞蹈、③声乐”两项活动的有2种情况，

21

所有故恰好选中“舞蹈、声乐”两项活动的概率=-；=-.

126

【点睛】

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或R的

结果数目m,然后根据概率公式求出事件A