2023年高考数学之平面向量专题突破专题七 平面向量的等和线含解析

2023年高考数学之平面向量专题突破专题七平面向量的等和线

根据平面向量基本定理，如果可，动为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量无

都可以由屈，丽唯一线性表示：PC=x^+yPB.特殊地，如果点。正好在直线A8上，那么x+y=l,反

之如果x+y=l,那么点C一定在直线44上.于是有三点共线结论：已知该，协为平面内两个不共线的

向品，设元?=无无+)闻，贝"A,B,C三点共线的充要条件为/+y=l.

以上讨论了点C在直线A/3上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论.下面讨论点C不在直

线44上的情况.

如图所示，直线。石〃AB,C为直线。石上任一点，设用=%荻+)，而。，)，£R).

I.平面向量等和线定义

(1)当直线。月经过点P时，容易得到x+y=0.

(2)当直线。月不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为凡因为点尸在直线上，所以由三点共

线结论可知，若苏=应5+"动a，〃£R),则i+"=l.由△必与△2£：/)相似，知必存在一个常数

使得证=左的其中女=黑=鬻=黑)，则元'=攵用'=奴"+仙丽.乂元'=x"+''闻(A-,veR),所以

g"I

1+)，=乂+仅=匕以上过程可逆.

在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底

的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线

2.平面向量等和线定理

平面内一组基底耳，两及任一向量泮'满足：/=2扇(九*£R),若点尸在直线A8上或在平

行于人“的直线上，则，+"=k(定值)，反之也成立，我们把直线八。以及与直线八。平行的直线称为等

和线.

3.平面向量等和线性质

(1)当等和线恰为直线AB时，&=1；

(2)当等和线在点〃和直线AB之间时，心(0,1)；

(3)当直线A8在点P和等和线之间时，攵£(1,4-00)；

(4)当等和线过点P时，A=0；

(5)若两等和线关于点P对称，则定值N互为相反数.

考点一根据等和线求基底系数和的值

【方法总结】

根据等和线求基底系数和的步骤

(1)确定值为1的等和线；

(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；

(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.

已知点P是所在平面内一点，旦行=”^+)元，则有点夕在直线8c上ox+y=l；点P与点

4在直线4c异侧0工+)，>1,且工+3，的值随点P到直线4c的距离越远而越大；点。与点A在直线3C同

侧ox+产1，且x+y的值随点P到直线BC的距离越远而越小.

平面向量共线定理的表认式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优

先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为

基底的系数和.考虑到向最可以通过数乘继而将向最进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的

系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和.

【例题选讲】

[例1](1)如图，A,8分别是射线OM,ON上的点，给出下列以。为起点的向量：①5A+2加；@^OA

十折瓦嗡次m；@I及+£协；⑤十海+Qk其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量

的序号是(写出满足条件的所有向量的序号).

答案①③解析由向审共线的充要条件可得，当点夕在直线44上时，存在唯一的一对有序实数

“，八使得/加成立，且〃+丫=1,所以点。位于阴影区域内的充要条件是“满足苏=〃晶+v加，

且〃>0,v>0,//+v>r\①因为1+2>1,所以点尸位于阴影区域内，故正确；同理③正硝，②④不正

确；⑤原式m)+；加m加，而一§<o,故不符合条件.综上可知，只有①③正确.

(2)设向量晶，加不共线(。为坐标原点)，若求〃加，且0口&E1,则点。所有可能的位置

区域用阴影表示正确的是()

答案A解析当4=0时，关="加,故点。所有可能的位置区域应该包括边界加或加的一部分，

故排除B,C,D项.故选A项.

(3)在aABC中，M为边8C上任意一点，N为4M的中点，AN=AAB-\~uAC,则2+〃的值为()

A.gB.|C.；D.1

答案A解析通法设俞=/型则病筋=/而+旃)=3劝+(俞辐+:证=3屈+叁

(AC—AB)=."尸：一看"=奈・,・%+"=；，故选A.

等和线法如图，AC为值是I的等和线，过N作AC的平行筏，设;!+“=*,则—篇由图易知，

IA/VI1珈唏.

\AM\~r故选A.

«)在平行四边形4AC。中，点E和厂分别是边。。和AC的中点.若AC=Z4£+"4月其中九户WR,

则/+"=.

答案T解析通法选择品,病作为平面向量的一组基底，则公=靠+病，AE=^AB+AD,AF

=AB-i-^AI),又公=力^+〃方=&+")矣+(71+5)病，于是得

故2+〃

4

3,

等和线法如图，为值是1的等和线，过。作£尸的平行线，设2+〃=后则左=蜀.由图易知，

NC_4

故选

\AM\~rB.

（5）如图所示，在△AAC中，D,F分别是A8,4c的中点，8尸与C。交于点0,设磊=a,A^=b,

向量发）=痴+/必，则的值为.

2

答案f解析等和线法如图，BC为值是1的等和线，过。作8c的平行线，设2+4=攵，则k

辿山图易知廖1=2

HM「由图易知fmF

（6）如图，在平行四边形ABC。中，AC,8。相交于点0,E为线段A0的中点.若就=加+〃防（九

〃ER）,则为+〃等于（）

321

A.1B.rC.jTD.4$

答案B解析通法・・•为线段A。的中点，，展=酮+躯）=邪+另昨牺+泌=湿+

N而,/.A4-/z=^+^=^.

等和线法如图，A。为值是1的等和线，过E作A。的平行线，设2+〃=鼠则女=踹.由图易知,

|姐3如谀口

|BF）一不故选B.

（7）在梯形八BCD中，已知人B〃CO,AB=2CD,M,N分别为CD,8c的中点.若将=况/+4病,

则7+4的值为（）

答案C解析法一：连接AC（图略），由仆=血+屈，得益=后0%+届+招（公+确，则

《―i^A^+刍病+[,+?）n=0,得七―1）翁+^S+[彳+匀[AD+1AB]=O,得&+%—1）蒜+（2+切病

=0.又48,病不共线，所以由平面向量基本定理得＜

1Q

法二：因为越=戏+精=前+丽=俞+（无+加=2京+改+忌=2就一河一询，所以雅=§

病一剂认所以2+4=亍

4

法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交A8的延长线于点。由己知易得从8=融「，

所以小f=初=呵+〃丸因为7,M,N三点共线，所以2+〃=2.

JJ

等和线法如图，连接MN并延长，交A8的延长线于点7,则M7为值是I的等和线，设7十〃=匕

则攵=揩.由图易知，甥=[,故选C.

⑻（2013江苏）设。，E分别是△ABC的边A8,8C上的点，AD=^AB,BE=qBC,若51=心罚+2次

（zi，22eR）,则右+22的值为.

答案5解析如图，过点A作#=反：，设AF与4C的延K线交于点〃，易知A产=”,・・・。广

2

BH,因此九十七=:

（9）在平行四边形人8CQ中，AC与/比）相交于点。，点E是线段。。的中点，4£的延长线与CO交于

点F,若公="，BD=b,且#=加+44则2+〃等于（）

B3

A.1B.D.

4-12

答案A解析等和线法如图，作公=威），延长CO与AG相交于G,因为C,F,G三点共线,

所以2+4=1.故选A.

考点二根据等和线求基底的系数和的最值（范围）

【方法总结】

根据等和线求基底的系数和的最值（范围）的步骤

（1）确定值为I的等和线；

（2）平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值;

（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.

当点P是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线/,因点P无论在/何处，

对应a+B的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”（或“等值线）然后将“等和线”/在动点P的“可行域”

内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法已知点尸是AA8C所在平

面内一点，且#=后+）公，则有点P在直线8c上=x+y=l；点P与点4在直线8C异侧ox+y>l,

且x+），的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点4在直线BC同侧Ox+yvl,Hx+y的值随

点P到直线BC的距离越远而越小.

平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优

先平移固定的向最；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向最，使得需要研究的代数式为

基底的系数和.考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的

系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和.

【例题选讲】

［例1］（1）如图，在正六边形H8CQE/中，户是△CQE内（包括边界）的动点，设#=标+.井（如火

R）,则a+6的取值范围是.

A

答案［3,4］解析等和线法直线B尸为火=1的等和线，当P在AC。石内时，直线EC是最近的

等和线，过。点的等和线是最远的，所以a+4£［端AN，器47）］=［3,4］.

（2）（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量扇和加，它们的夹角为李，如图所示，点。在以。为圆

心的弧相上运动，若无），£R）,则x+y的最大值是.

答案2解析通法以0为坐标原点，次所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则

cosa=x~~y

A(\,0),B(-1,乎),设NAOC=a(a£[0.y]),则C(cosa,sin«),由北=血+»,彷,得.

sina=——y

2-

所以x=cosa+与sina,y=-^-sina,所以x+y=cosa+巾sina=2sin(a+\又aG[0,所以当a—

x+y取得最大值2.

等和线法令工+），=匕所有与直线A4平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合

角虬不难得至必=明=2.

（3）（2017・全国HI）在矩形A8CD中，AB=1,AD=2,动点P在以点。为圆心且与B。相切的圆上.若

AP=）AB+nAD,则的最大值为（）

A.3B.2&C.小D.2

答案A解析建立如图所示的直角坐标系，则。点坐标为（2,1）.设8。与圆C切于点E,连接

CE,WiJCELBD.因为CD=I,BC=2,所以8。=，？转=小，8="片=1=乎,所以尸点的

（.「2小c

xo=2+-cos0,

轨迹方程为（X—2）2+°，-1）2=：.设P（.ro,州），则＜（。为参数），而存=（孙＞,0），巍=

’1I2^5.

yx）=1+~sin0

（0,1）,/彷=（2,0）.因为成=/六+"病=2（0,1）+"（2,0）=（2〃，z）,所以"=%（）=1+坐cos仇2=刈

=।+邛口历・两式相加，得汁"=1+4Win〃+1+乎8$0=2+§皿0+夕）$3（其中5m°=乎，cos9=^^

TT

当且仅当9=受+2履一仰k£Z时，取得最大值3.故选A.

等和线法过动点P作等和线，设x+），=匕则仁瑞.由图易知，当等和线与律重合时，我取最

大值，由EF〃BD,可求得罢缪=3,・•"+〃取得最大值3.故选A.

（4）在直角梯形ABC。中，AB1AD,AD=DC=l,AB=3,动点P在以点。为圆心，且与直线8D相

切的圆内运动，设乔=人范+），戏）（x,yWR）,则x+y的取值范围是.

答案（I，g解析等和线法如图，作CEJ_/WJ＞T£，由△COEs/XOBA知方=制，即学=焉，

所以CE=嚅，设与8。平行且与圆C相切的直线交4。延长线于点F,作O”垂直该线于点“，显然DH

_yio

=2CE=5»由ADFHSABDA得即§，所以。/？=1，过点P作直线/〃3Q,交

AZ）的延长线于点M,设，=f，则x+y=f,由图形知“等值线”/可从直线BO的位置平移至直线"/的位

置（不包括8。和时,由平面几何知识可得1=综＜察兴=,即1＜忌，故x+y的取值范围是（I，

/1Z-Zr\U/1Z.Z.JJ\3/

（5）如图，在平行四边形ABC。中，M,N为CO的三等分点，S为AM与8N的交点，P为边AB上一

动点，Q为三角形SMN内一点（含边界），若电=.”宓+）尿卜.2R）,贝ijx+.y的取值范围是.

答案I*H解析如图，作曲=前，声=旗,

过5直线MN的平行线，由等和线定理知，（彳+

（6）如图，圆。是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点。，点朋为圆上任意

一点，就f=x或+），应心，），£R）,则2x+y的最大值为（）

A.小B.小D.2^2

答案C解析方法一如图，连接。A,以。点为原点，BC所在直线为x轴，所在直线为y

轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设内切圆的半径为心则圆心为坐标（0,r），

根据三角形面积公式，得;x/AA&cXr—Jx八BxACxsin60。（/»叱为△八8c的周长）,解得L1.易得B（一小,

0）,C（小，0）,A（0,3）,D（0,0）,设M（cos/1+sinJ）,。£[0,2兀），则磁=（cos0+小，1+sin。），B\

I-rltI-F-r-（COS〃=小1+小厂小，

=他,3）,筋=（小，0）,故赧=（cos0+小，l+sinO）=（VIr+V5y,3x）,故，

Isin0=3x—1,

1+sin0

x=-3-，所以2r+尸亚普+号+,=疑（。+5+卜.当9=飘等号成立.故

小cos0sin,2

{尸3一丁+?

2t+y的最大值为2.

方法二因为肱=4或+）而5,所以|两2=3（4.r2+2x），+）N）=3[（2x+），）2-2r.W.由题意知，启0,正0,

I瓦M的最大值为，（2小）2—（小产=3,又®必:3,,即一（2x+}>所以3吊2丫十）注9,得2x+><2,

当且仅当2x=y=l时取等号.

等和线法就f=x弦+屈）=2xg俞+丫卧=2x或+y前,作出值I为的等和线。石，4c是过圆上的

点最远的等和线，设"+），=%,则攵=需=2.・・・2r+y取得最大值2.故选C.

（7）如图所示，A,B,。是圆。上的三点，线段CO的延长线与84的延长线交于圆。外的一点。,

若说=〃苏+〃彷，则加+〃的取值范围是.

答案（一1,0）解析通法由题意得，ob=kob（k<^又因=四<1,・・・一ivzvo.又,：B,

\ob\

A,。三点共线，・••帅=2温+（1—，）成，/.rnoX+nOh=k>.OA+k［1-：,m=kA,：,m

+n=kt从而〃?+〃£（—I,0）.

等和线法如图，作次，瓦的相反向量次i，而1，则过O作直线/〃48,则直线/,AxBx

分别为以次，加为基底的值为0,—1的等和线，由题意线段CO的延长线与比4的延长线交于圆。外的

一点、D,所以点。在直线/与直线Ai©之间，所以〃?+〃£(—1,0).

(8)已知点。为AABC的边的中点，。为边5c的三等分点，DC=2DB,P为△ADC内(包括边界)

任一点，若亦=xdh+y3b,则l2y的取值范围为.

答案［-8,-1］解析等和线法如图，延长QO至点E,使。则在=-g防，则加=

xdh-byOD=xdh-h(-2y)OE,令z=-2y,贝ljx-2y=x+z,OP=xOB+zOE,设过点4,C,P与BE平

行的直线分别为为小12,I，设/,/2交线段延长线于点例，H,八交线段OO于点K,令x+z=/，由

图形知，/=一畿，”等和线"/可从/］的位置平移至/2的位置，曰平面几何知识可知XDBE

ACCOB.BDDE3OE1山”,OKOMOHOD+DH2OE+6OEon.

S'DCH,所以次=赤=1，CD=~BH=~DH=2f所以1=流/赤=OE=~OE—=8,则

-8</<-1,故4一2)，的取值范围为［-8,-I］.

(9)如图，在边长为1的正方形ABC。中，E为4B的中点，尸为以4为圆心，为半径的圆弧(在正

方形内，包括边界点）上的任意点，若向量公=入反:十/舒，则2十〃的最小值为

答案|解析通法以4为原点，以A8所在的直线为x轴，A。所在的直线为），轴建立如图所示

的平面直角坐标系，则40,0）,8（1,0）,雄，0）,C（l,1）,。（0,1）.设P（cos仇sin。），・・.公=（1,

•・,公=拈，-1)+"(cos。，siiM=(g+〃cos0,—2+〃sin0=(l,

1),AP=(cos6,sin6)

I），

2sin6-2cos8

1+//cos0=1,2cos8+sin03+2sin0-2cos03sin6+3

_3"2cos0+sin〃2cos〃+sinO'

A+〃sin0=1,

2cosJ+sin8'

・•・6+〃）'=6募）二::.0,故在［o,耻是增函数’・,•当0=0,即8sg时，取最

3+0-2\_

小值为

2+02,

等和线法由题意，作公=星,设力=流，直线AC与PK直线相交于点Q,则有冗）=4戒+b#,

由等和线定理，M+肛=1,从而%+>=：,当点P与B点重合时，如图，力皿=2,此时，（x+），）3=g.

T

（10）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，。是坐标原点，两定点4,B满足|以|=|m|=51加=2,则

点集{P|5>="^+"加，川+[〃/1,九〃£R}所表示的区域的面积是（）

A.2<2B.2巾C.4、伤D.45

答案D解析等和线法如图，分别作求=一次，db=~OB.当届0,龙0时，（?|苏=北京+

〃加，阅+冈0,A,€R}={P\OP=\}.\OA+[u\OB,H+|//|<1,九〃仁R},对应区域1；当念0,”0时,

{P\OP=XOA^dBfW+W<1,//GR}={P|OP=WOA+|//|OD,囚+MWl,.蚱R},对应区域2；

当2<0,//>0时,{P\OP=Xdk+fidhtW+H<1,2,4£R}={P|办=口|虎+园初，口|十山区1,2,〃

GR},对应区域3：当4<0,〃<0时，{P\OP=AOA-l-/idh,同十WI&1,九//eR}={P|OP=R|OC+^|db,R|

+冰1,九"£R},对应区域4.综上所述可得，点集{尸|5>=[晶+45瓦W+W<1,3*R}所表示的

区域即图中的矩形区域，其面积S=2x2小=4小.故选D.

【对点训练】

1.如图，ZiBC。与AABC的面积之比为2,点P是区域ABCO内任意一点（含边界），且#=/易+4危,

则；的取值范围为（）

鱼IB

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

2.在直角梯形A8CO中，NA=93。，Zfi=30°,AB=2小,BC=2,点E在线段CD上，若亚=公+/3，

则〃的取值范围是.

3.如图，四边形OA8C是边长为I的正方形，点。在OA的延长线上，且。。=2,点尸是△BCO内任意

一点（含边界），设办=2历+〃应），则的取值范闱为

4.给定两个长度为1的平面向量次和防，它们的夹角为90。，如图所示，点C在以。为圆心的圆弧鼐上

运动，若求=工况+,，加，其中x,y£R,则x+y的最大值是（）

A.IB.y[2C.V3D.2

5.如图，在边长为2的正六边形A8CDE/中，动圆Q半径为I,圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆

上及其内部的动点，设力=小布+〃乔5,〃£R）,则加+〃的取值范围是

6.如图，」知点P为等边三角形ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若#=即露+》祀

>&=入以5+）以守，贝U|（2AJ—"）+（2），［一”）1的最大值为

7.如图，在扇形O/W中，N408=?C为弧AB上的动点，若灰则x+3y的取值范围是

8.如图，G为AAOE的重心，户为aGOE内任-■点（包括边界），B,C均为AO,4£上的三等分点（靠近

点A）,#=C初+麻，则a+）的取值范围是.

9.给定两个长度为I的平面向量0A和OB,它们的夹角为90。，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

上运动.若。C=xOA+yO8.其中x,yeR,则2x+3），的最大值是（）

A.小B.3C.x/5D.5

10.平行四边形人8CQ中，48=3,AO=2,ZBAD=I2O0,P是平行四边形48CO内一点，且人。=1,

若介=.9+）茄，则3x+2），的最大值为.

11.在矩形ABC。中，AB=&BC=小,P为矩形内一点，且AP=喙,若#=，易+4通（九〃£R）,

则小2+小〃的最大值为.

12.如图，在扇形Q4B中，NAOB=？C为弧A8上的一个动点，若比=%8+），彷，则x-y的取值

范围是________

13.如图，在直角梯形A4CT）中，AB1AD,ABI/DC,AB=2,AD=IX：=\,图中圆弧所在圆的圆

心为点C，半径为,，且点尸在图中阴影部分（包括边界）运动.若A尸二.iA6+\BC,其中x,yeR,

2

则4x-y的最大值为（）

A.3.匹B.3+日

C.2■3+平

4

14.如图，在扇形。A8中,NA08=W，C为弧A8上，且与A,B不重合的一个动点，OC=xdA+yOB,

若〃=工+加（2>0）存在最大值，则2的取值范围为（）

A.(g,1)D.(；,3]

B.(1,3)

15.在平面直角坐标系中，。是坐标原点，若两定点A,8满足I。4H0B|=&,OA-OB=l,则点集

[p\OP=AOA+pOB,"|+|〃|,,2,4〃£R｝所表示的区域的面枳是（）

472R.4>/3C.6®D.8>/3

A.

专题七平面向量的等和线

根据平面向量基本定理，如果眉，而为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量尼'

都可以由苏，协唯一线性表示：PC-xPA-1-yPB.特殊地，如果点。正好在直线A6_L,那么x+y-l,反

之如果x+)=1,那么点。一定在直线4B上.于是有三点共线结论：已知属，闻为平面内两个不共线的

向量，设后=入无+.V而，则A,B,C三点共线的充要条件为K+)，=1.

以上讨论了点C在直线A8上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论.下面讨论点。不在直

线上的情况.

如图所示，直线。E〃A8,C为直线OE上任一点，设诂协(x,)，£R).

1.平面向量等和线定义

(1)当直线DE经过点?时，容易得到x+)，=0.

(2)当直线OE•不过点尸时，直线PC与直线AB的交点记为F,因为点尸在直线AB上，所以由三点共

线结论可知，若访=入用+〃动Q,〃WR),则i+4=l.由△物3与"E。相似，知必存在一个常数kWR,

使得尼=%的其中％=踹=禺)，则反?=A访=以"+伙防.又公'=x"+.y协(x,y£R),所以

陷

x+y=M+〃〃=匕以上过程可逆.

在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底

的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”.

2.平面向量等和线定理

平面内一组基底越，动及任一向量泮'满足：PF=XPA+flPB(2,//GR),若点r在直线A8上或在平

行于AB的直线上，则2十〃=A(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等

和线.

3.平面向量等和线性质

(1)当等和线恰为直线/W时,，A=l；

(2)当等和线在点P和直线AB之间时，k£(0,1)；

(3)当直线AB在点P和等和线之间时，Z£(l,+oo)；

(4)当等和线过点P时，2=0；

(5)若两等和线关于点夕对称，则定值&互为相反数.

考点一根据等和线求基底系数和的值

【方法总结】

根据等和线求基底系数和的步骤

(1)确定值为I的等和线；

(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；

(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.

已知点。是所在平面内一点，且万>=”^+“2：,则有点P在直线8c上=x+y=l；点、P与点、

4在直线3c异侧,且犬+y的值随点。到直线4c的距离越远而越大；点。与点A在直线班?同

侧今x+y<1，且x+y的值随点P到直线BC的距离越远而越小.

平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必•致，若不•致，本着少数服从多数的原则，优

先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为

基底的系数和.考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的

系数之间的线件关系,我们都可以通过调节基底,使得要求的表达式是两个新基底的系数和.

【例题选讲】

[例1]⑴如图，A,8分别是射线OM,ON上的点，给出下列以。为起点的向量：①a+2加；@^OA

+沥;③^A+拓加战况+：曲磅次+成+的在其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量

的字号是(写出满足条件的所有向量的序号).

答案①③解析由向量共线的充要条件可得，当点P在直线人8上时，存在唯一的一时有序实数

小y,使得苏+u加成立，且〃+丫=1，所以点P位丁阴影区域内的充要条件是“满足/=〃况+疝加

且〃>0,v>0,〃+心>1”.①因为1+2>1,所以点。位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正

确；⑤原式=装箱-（不oh）I-拓h,而|<o,故不符合条件.综上可知，只有①③正确.

（2）设向量晶，加不共线（0为坐标原点），若求=入次+〃加，且0歹日日1,则点。所有可能的位置

区域用阴影表示正确的是（）

答案A解析当4=0时，历=4加，故点C所有可能的位置区域应该包括边界加或加的一部分,

故排除B,C,D项.故选A项.

⑶在ZkABC中，M为边8C上任意一点，N为AM的中点，AN=AAB^AC,则i+4的值为（）

A.；B.gC.；D.1

答案A解析通法设就/=/设，则病=戈宓=g（益+加丽布+《

（病一丽=（；一§祸公，W，/=*；・入+"=3，故选A.

等和线法如图，为值是的等和线，过作的平行线，设〃=亿则攵=需.

8c1NBC2+由图易知,

依N|1

询=5*故选A.

（4）在平行四边形A8CQ中，点石和r分别是边CQ和AC的中点.若挖=况;+〃#,其中九"£R,

则4+〃=.

答案|解析通法选择病作为平面向量的一组基底，则危=翁+成，AE=^AB+AD,AF

=,布+；病，又公仄？'=g.+〃)成+(4+5)病，于是得｛]即｛2故2+〃

卜+淤=1,["=?

=4

等和线法如图，EF为值是1的等和线，过C作E尸的平行线，设2+〃=鼠则攵=幻木由图易知，

g4

-

M-3

A

(5)如图所示，在AABC中，D,产分别是A8,AC的中点，B尸与CO交于点0,设显=a,AC=b,

向量初=痴+油，则2+//的值为.

2

答案解析等和线法如图,8C为值是1的等和线，过。作8C的平行线，设2+4=化则Z

AQ[由国易知\A0[=2

1AM.由图易知，1AM-3-

(6)如图，在平行四边形八AC。中,AC,8。相交于点O,E为线段40的中点.若就=闻+"应＞(2,

〃£R),则i+"等于()

答案B解析通法•.•为线段4。的中点，，就=/A+]劭=%A+：x%Z)=%A+/Z)=〃A+

।।3

,4册,.•.2+〃=2-卜1=].

等和线法如图，AQ为值是1的等和线，过£作4。的平行线，设2+"=左，则仁踹.由图易知,

需4故选民

（7）在梯形ABC。中，已知4B〃C。，AB=2CD,M,N分别为C。，8C的中点.若AB=Z4M+4AN,

则4+〃的值为（）

1145

A-4B-5C-5D-4

答案C解析法一：连接4c（图略），由益=曲+/施，得牯=只（n+公）+晨公+湎，则

©-1）命+孤）+[§+飘入）,得1）8+孤）+任+?成）+g丽=0,得由1-1）成+1+飘Z）

4

%+W4T=0,X--

y4

-

=0.又屹,助不共线，所以由平面向量基本定理得解得85

-

4-S

Q

法二：因为助=冰+肪=曲+说=就+（夙+俞）=2京+丽+忌=2而一加一回，所以油=§

布―京拓所以2+4=,.

4

法三：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交人B的延长线于点丁，由已知易得人8=]/vr,

4_>_>>>_4

所以学7=48=乂/+.泊M因为r,M,N三点共线，所以2+〃=亍

等和线法如图，连接MN并延长，交A8的延长线于点T,则MT为值是1的等和线，设7+〃=幺

则人=愕?.由图易知，镖=%故选c.

(8)(2013江苏)设。，石分别是A/WC的边A&8C上的点，AD=^AB,BE=；BC,若星=*泰+22送

(X|,>.2GR)，贝1Ml+石的值为.

答案!解析如图，过点A作#=加，设"与4c的延长线交于点〃，易知AF=H/,・・・。尸=3

BH,因此九+七=/

(9)在平行四边形A8CQ中，AC与8。相交于点。，点E是线段的中点，4E的延长线与CO交于

点凡若公=a,BD=b,且#=加+〃6,则2+〃等于()

A.1B.(C.|D.1

答案A解析等和线法如图，作益=彷，延长CO与AG相交于G,因为C,F,G三点共线,

所以2+〃=1.故选A.

考点二根据等和线求基底的系数和的最值(范围)

【方法总结】

根据等和线求基底的系数和的最值(范围)的步骤

(1)确定值为1的等和线;

（2）平移（旋转或伸।缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值;

（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.

当点P是某个平面区域内的动点时，首先作与基底两端点连线平行的直线/,因点P无论在/何处，

对应。+夕的值恒为定值，我们不妨称之为“等和线”（或“等值线）然后将“等和线’7在动点尸的“可行域”

内平行移动，于是问题便转化为求两个线段长度的比值范围，称之为“平移法已知点夕是△A8C所在平

面内一点，且初=入割+），公，则有点P在直线8c上=戈+），=1；点。与点A在直线4c异恻ox+y>l,

且工十），的值随点P到直线BC的距离越远而越大：点P与点A在直线BC同侧=%+3，<1,且工+），的值随

点P到直线BC的距离越远而越小.

平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优

先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为

基底的系数和.考虑到向最可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的

系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和.

【例题选