2024八年级数学下册专题突破期末复习5八年级下册期末复习之新定义型问题含解析浙教版

期末复习之新定义型问题

1.（哪州区期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对

角四边形，如图1,直线4〃/2,点4〃在直线人上，点4,C在直线上，若/人1g

2ABCD,则四边形/出69是半对角四边形.

（1）如图1,已知AD〃BC,/物460°,4BO）=30°,若直线49,应'之间的距离为

则的长是—，⑺的长是一：

（2）如图2,点£是矩形力仇力的边力〃上一点，AB=1,AE=2.若四边形月旌为半对角

四边形，求月〃的长；

（3）如图3,以。力为以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线〃•所在直

线为y轴，建立平面直角坐标系.点是边初上一点，满足比三

①求证：四边形仍四是半对角四边形；

②当9=//=2,/8=60"时，将四边形/仍卷向右平移a（加＞0）个单位后，恰有两个

顶点落在反比例函数尸区的图象上，求左的值.

（图1）（图2）（图3）

【分析】（1）过点A作〃于点机过点〃作DN1BC千点、A；通过解含30度角的直

角三角形可求出力〃，的长；

（2）根据半对角四边形的定义可得出/反方=45°,进而可得出N〃£0=N〃位4=E°,

由等角对等边可得山CD=DE=\,结合/1〃=/1方■庞即可求出/I。的长：

（3）①由平行四边形的性质可得出BC//AD,AAA楙EAA阶CE,进而可得出CE=

ED,根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出乙伤C=2/切。=2/8,再结合半

对角四边形的定义即可证出四边形/曲方是半对角四边形；

②由平行四边形的性质结合力4442,/8=60。可得出点儿B,£的坐标，分点儿E

落在反比例函数图象上及点/，，少落在反比例函数图象上两种情况考虑：（/）利用平移的

性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于々的一元一次方程，解之即可得出a

值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出《值；（〃）同（/）可求出攵值.综

上，此题得解.

【解答】解：（1）如国1,过点力作/ML/I〃于点M过点〃作〃归_比于点M

■:ADIIBC,

:./AR/f=/BAD=6。；

AM=DN=«.

在Rt△4加/中，N力身U60°,NAMB=900,

・•・/"»/=30°,

:,AB=2BM,

又•・・力）=疝+厕!，即而=3+2力片

4

，用=2；

在Rt△比:M中，〃、土N〃创J30°,N〃怙'=90°,

：.CD=2D"2a.

故答案为：2；2ds.

（2）•・•四边形］旌'为半对角四边形，

・・・/6"=45°,

：.4DEC=/DCE=45°,

：,CD=DE=\,

:,AD=AE+DE=3.

（3）①证明•・•四边形仍切为平行四边形，

：,BC//AD,BC=AD=AE+ED=AE+CE,

:・CE=ED,

:.4AEC=24EDC=2乙B.

乂•：AE〃BC,

:.四边形/心位是半对角四边形；

②由题意，可知：点火的坐标为（0,2盯），点/，的坐标为（-2,2盯），点2的坐标

为（1，V3）.

（了）当点4£向右平移a（a>0）个单位后落在反比例函数的图象上时，才2正=（1+&）

电,

解得：3=1,

2

:.4=2j^a=2

(〃)当点4,〃向右平移a(a>0)个单位后落在反比例函数的图象上时，(-2+a)・2«

=(l+ci)*V3»

解得:a=5,

k=^J~3(1+a)=GV3.

综上所述："的值为为2或6y.

（图2）

画)

2.(金华期末)定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形.

(1)已知在半等边四边形月8⑦中，AB=AD,/阴。=60°,NBCD=120。.

①如图1,若NB=ND,求证：BC=CD.

②如图2,连结〃；探索线段力。、BC、⑶之间的数量关系，并说明理由.

(2)如图3,已知乙附C=30°,jr=10+10V3,点。是射线4"上的一个动点，记/〃。

=a,点笈在直线力。的下方，若四边形/出或是半等边四边形，旦％=切.问：当点〃

在15°WaW45°的变化过程中运动时，点8也随之运动，请直接写出点8所经过的路径

长.

3

M

B

图1图2图3

【分析】（1）①如图1,连接劭，由等腰三角形的判定和性质可解决问题；

②如图2,连接劭，在〃'上截取）=能连接BE,通过证明点力，点8,点。，点〃四

点共圆，可得/1力=/4应=60°,由“SIS”可证△力应必△阪；可得力£=8，即可得

结论；

（2）过点。作4V于点E,过点见乍游于点F,利用41s证明/\比次/MS）,

可得BF=DE,则点方所经过的路径长与点〃所经过的路径长相等，分别求出々=15°时

和a=45“时力〃的长，即可求解.

【解答】证明：（1）①如图1,连接班，

'：AB=AD,

:./ABD=AADB,

*：ZABC=ZADC,

：.ACBD=^CDB,

：.BC=CD^

②AC=BC'CD,

理由如下：如图2,连接劭，在力。上截取出、="，连接BE,

4

图2

YAB=AD,,

•••△/加〃是等边三角形，

：.AB=AD=BD,/BAD=/ABD=ADB=6Q。,

'：4BAA4BCD=\8¥,

・•・点儿点/，，点。，点〃四点共圆，

：.ZACS=ZA/)B=60°,且BC=CE,

：.4BEC是等边三角形,

:・BC=BE=CE,/BEC=6Q°,

・•・/力仍=120°=NBCD,RBE=BC,AB=BD,

:AAB恒ADBCqSAS'

：.AE=Cl),

：.AC=AE^EC=CIhBC,

(2)点8所经过的路径长为10,理由如下：

*：CB=CD,四边形/出69是半等边四边形，

:・/BCD=60。,

过点。作血图/于点后过点步作即L"于点月如图:

•••乙历430°,

・•・/力"=60°=4BCD,

5

：.4ACE-4ACD=/BCD-/ACD,即/DCE=/BCF,

在△比尸和△腔中，

rZAEC=ZBFC

NDCE:NBCF，

lcD=CB

•••△比衿△〃四(44S),

:・BF=DE,

・••点〃所经过的路径长与点〃所经过的路径长相等,

在RtZ\4四中，"=■1力C=5+5«,

2

4E=4C・cosNMAC=(10+10^3)X近=5盯+15,

2

当a=15。时，NDCE=45°,

:・DE=CE=5+WQ,

A!)=AE-I)E=\O,

当a=45°时，过点〃作加_L4C于点〃，如图:

B

设DH=CH=x,则A/f=AC-677=10+10^3-x,

在RtZVl加中，

•••tanNJ%Q01=运

AH3

••.DHjWtan/MAC,

・・・才=返(10+10V3-^)

3

解得：x=10,即加10,

・"O=2掰=20,

综上可知：当点〃在15°WaW45°的变化过程中运动时，点〃在力"上移动的路径长为

20-10=10,

・••点〃所经过的路径长为10.

6

3.(丽水期中)小明在学习反比例函数后，为研究新函数yzJl2先将函数变形为y=l+],

XX

画图发现函数y上工的图象可以由函数yJ：的图象向上平移1个单位得到.

X

殳三的图象可以由反比例函数的图象经过

(1)根据小明的发现，请你写出函数ynyW

XX

怎样的平移得到;

(2)在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=l(第>0)的图象如图所示，请在此坐标

系中画出函数y至W(M>0)的图象;

X

(3)若直线y=-户A与函数y至3(x>0)的图象没有交点，求6的取值范围.

X

V

X

【分析】(1)先把函数y至卫化为y=l-1的形式，再根据函数图象平移的法则进行

XX

解答即可；

(2)根据平移的法则画出图象即可；

(3)求得直线，=-户力与函数y=^(x>0)的图象只有一个交点时的6的值，然后根

据平移的规律即可求得.

【解答】解：(1)由“上加下减”的原则可知，把反比例函数y=区的图象向下平移1

X

个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为尸1,即尸昱2L；

XX

(2)画出函数y至3(X>0)的图象如图所示：

7

-r

L

-I

-r

r—

"

I

ry=-x+b

（3）5整理得：V・6户5=0,

y=­

x

若直线尸-户〃与函数尸9（x>0）的图象只有一个交点，则4=（-b）2-4X1X5

x

=0,

:・b=2娓,

，若直线旷=-户6与函数y=立（4>0）的图象没有交点，则力<2代-1；

x

4.（金华期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻

边四边形”.

（1）概念理解：

如图1,在四边形40中，添加一个条件，使得四边形力顺是“等邻边四边形”，请写

出你添加的一个条件；

（2）概念延伸：

下列说法正确的是—（填入相应的序号）

①对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形：

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；

（3）问题探究：

如图2,小红画了一个Rt△力/乙其中/力比、=9（）°,.仍=4,BC=3,并将Rt△力伙7沿

的平分线叫/方向平移得到△力'夕6V，连接加'，小，小红要使平移后的四边形仍

A'是"等邻边四边形”应平移多少距离（即线段初的长）？

8

【分析】（1）根据定义添加一组邻边相等即可；

（2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边

相等，得出结论；

（3）由平移的性质易得做'=AA',Af/f//A/i,A1B'=*=4,H'C=BC=3、A1

C=AC=5,再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论.

【解答】解：（1）3BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD.

答案：AB=AD.

（2）①正确，理由为：

•••四边形的对角线互杵平分，

・•・这个四边形是平行匹边形，

•••四边形是“等邻边匹边形”，

・••这个四边形有一组邻边相等，

.・.这个“等邻边四边形”是菱形；

②不正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”也有可能是等

腰梯形；

③不正确，理由为：有两个内角为直角的“等邻边四边形"不是平行四边形时，该结论

不成立；

④正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等且有一个内知是直角可得到“该四边

形是矩形”；再“等邻边四边形”得到该矩形的组邻边相等，则可推知该矩形是菱形，

故④的说法正确.

故答案是：①④：

(3)VZA/iC=9()°,*=4,BC=3,

•・•将Kt△力回平移得到8C,

9

f

：JiB'=AA',AB'//Afi,A'H'=A/^=4tB'C=BC=3,A'C=47=5,

(/)如图1,当力力'=小时，BB'=AA'=AB=^

(//)如图2,当/14=A'C时，BB'=AA'=A'C=5：

(///)当力'C=BC=5时，

如图3,延长6VB,交AB于点、D,则6VB,工AB,

,・,班'平分4AB3

AAABB'=1N/18C=45°,

2

・•・/缈，D='Z.ABB'=45。

：.B'D=BD,

设4'l）=BI）=x,

贝g"3,I对=&*,

•・•在Rt△勿〃中，B/Clf=BC2

:.大+（户3）2=5、

解得：汨=①叵，必=土叵（不合题意，舍去），

22

:・BB'=®x=

2

（N）当勿=48=4时，如图4,与（IH）方法一同理可得：B4+Cff=BC2,

设8,D=BD=x,

则/+（A+3）2=42,

解得：x、=32叵X二3二岳（不合题意，均舍去），

22

...防，=V46-3A/2>

2

综上所述，要使平移后的四边形力比’4是“等邻边区边形”应平移4或5或3红画

2

byV46-3^2

10

C

A'

5.（南浴区期末）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形.

（1）尝试：如图1，在3X3的正方形网格图形中，已知点力、点8是两个格点，请你作

出一个等线四边形，要求力、4是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；

（2）推理：如图2,已知△/!如与△质均为等腰直角三角形，/A0D=/B0C=9Q：连

结力反CD,求证：四边形力时是等线四边形；

（3）拓展：如图3,已知四边形力〃口是等线四边形，对角线力乙〃〃交于点"若/AOD

=60°,AB=®BC=^3,AD=2.求切的长.

【分析】（1）以力、8为顶点作矩形即可（答案不唯一）：

（2）连结力。，BD,由△/1勿与△8%均为等腰直角三角形知勿=①，OC=OB,ZAOD=

ZBOC,再证△力的△仇乂得劭=〃；从而得证；

（3）分别以力〃、8c为底作等腰△月施、等腰△8）,顶点均为点日证△/!比冬△〃仍得

4BDE=4CAE,继而证△力口是等边三角形、△腔也是等边三角形，据此知EA=E!）=AD

=2,EB=EC=BC=V3.由AB二小知力P+应2=1氏即可得N4麽=90°,NDEC=150°.再

过点。作。0_龙于点E则尸=30°.从而得出CF」CE正，DF』，利用勾股

222

定理求解即可得出答案.

【解答】解：（1）如图1所示，矩形力哪即为所求.

11

金

eB

图1

（2）证明：

如图2,连结力乙BD.

•••△力切与△6%均为等腰直角三角形,

：.()A=()1),OC=()B,4A()[)=4B0C,

:./AOC=/BOD,

:.△AOC^XDOBCSASb

:・BD=AC,

・•・四边形49⑦是等线四边形.

（3）解：如图3,分别以力〃、/K为底作等腰△?!〃£、等腰△比笈顶点均为点足

图3

于是有，EA=ED.EC=EB,

•:AC=BD,

:.△AEC^XDEB(SSS)，

:・/BDE=/CAE,

・•・/力加/月勿=60°,

・•・△力朋是等边三角形.

同理，△仇石也是等边三角形.

12

：.EA=ED=AD=2,EB=EC=BC=V3.

•・,ABW7，

二初+初=质,

・•・/力座=90°,

・•・/瓦T=150°.

过点。作内小于交班'延长线于点月则/处=30°.

±2ZL,EF=®CE=3,

CF=2CE=222

则DF«

乙

由勾股定理得,

6.(金华校级期末)我们定义：如图1,在△14。中，把力“绕点力顺时针旋转a(0°<a

<180°)得到力把〃'绕点力逆时针旋转B得到〃'，连接当a+p=180°

时，我们称BC是△/切。的“旋补三角形"，AASC边BC上的中线力〃叫做△/归。

的“旋补中线”，点/叫做“旋补中心”.

特例感知：

(1)在图2,图3中，△月夕「是△力回的“旋补三角形”，49是△力比'的“旋补中线”.

①如图2,当△/a'为等边三角形时，”与比'的数量关系为极=BC：

②如图3,当/物C=9D°,4。=8时.，则力〃长为.

猜想论证：

(2)在图1中，当△/1阿为任意三角形时，猜想/1〃与欧的数量关系，并给予证明.

拓展应用

(3)如图4,在四边形/用/，ZC=90°,N〃=150’，仁12,CD=243,加=6.在

四边形内部是否存在点P,使△勿。是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并

求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由.

13

【分析】(1)①首先证明△力如'是含有30。是宜角三角形，可得I/HLB'即可解决

2

问题；

②首先证明△切口△*AC,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

(2)结论：AD=1.BC.如图1中，延长月。到也使得4>=〃队连接〃'机CM首先

2

证明四边形〃"面是平行四边形，再证明△以•△/1//'M即可解决问题；

(3)存在.如图4中，延长力〃交和的延长线于M作废LL力〃于区作线段比的垂直

平分线交BE千亿交欧于F,连接PA、PD、用,作△筋的中线PN.连接原交PC于0.想

办法证明为=W，PB=P3再证明N/1/沙•N8Q180。，即可：

【解答】解：(1)①如图2中，

♦••△儿弘是等边三角形，

：,Alf=HC=AC=AH,=AC,

•:DB'=DC,

J.ADVB'C,

TN物a60°,/BAC+/B'AC=180°,

AAB'AC=120°,

・•・/夕=zr=30°,

:"D=LS=LBC,

22

故答案为2.

2

②如图3中,

14

B'D

BC

图3

•・•/班C=90°,/BAONB'AC=180°,

・•・/夕AC=/胡。=90°,

'：AB=AB',AC=AC,

工△砌。丝△〃'AC,

：,BC=B'C,

♦:B'D=DC',

：.AD=^B'C=工8c=4,

22

故答案为4.

(2)结论：AD=^BC.

2

理由：如图1中，延长力〃到也使得力g%连接*机CM

图1

,:B'D=DC,AD=DM,

・•・四边形/CMB'是平行四边形，

：.AC=bnc,

•:/BAC+NB'AC=180°,/BAC+N48'JU180°,

:.NBAC=/MB'A,,：AB=AB',

・•・△加丝△月夕M

:,BC=AM,

2

15

(3)存在.

理由：如图4中，延长/〃交■的延长线于秋作.BELAO于E,作线段8。的垂直平分线

交BE于巴交BC于F,连接为、PD、PC,作△筋的中线〃M

连接DF交PC于0.

・•・/场。=30°,

在Rt/\ZO/中，'：(1)=2氏、/f)CM=90°,/MDC=R0°,

••・CQ2,〃JU4,Z.I/=60°,

在Rt△跖“中，•：NB2900,加U14,乙磔'=30°,

2

：,DE=EM-〃仁3,

V/1Z?=6,

：・AE=DE,,：BEYAD,

：,PA=PD,PB=PC,

在Rtaav7中，、：CD=2代CF=6,

：.tanZCDF=^/3,

：.4CDF=60°

月/-90°=4AEB,

：・4CBE=/CFD,

V/CBE=/PCF,

\ACFD=APCF,

VZ67^Z67F=90°,ZPCFyACPF=^,

：.4CPF=4CDF=6¥,

易证△AS&Z\0硬，

16

:,CD=PF,'：CD"PF,

，四边形少是矩形，

：・4CDP=9G,

:/ADP=/ADC・/CDP=6C,

・•・△力如是等边三角形，

A^APD=W,°：NBPF=/CPF=6T,

:・NBPC=12Q0,

:/APIR/BPg'BU3,

•••△勿。是△*8的''旋补三角形”，

在RlZ^/YW中，V4PDN=90°,PD=AD=6,〃V=V§,

22=

・•・PN=VDN+PDV（V3）2+62=V39-

（也可利用旋补中线长=1/，，求出力〃即可）

2

7.（金华校级期中）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直

角四边形.

（1）如图1,等腰直角四边形力比以AB=BC,N力比9=0°,

①若48=Q）=1,ABHCD,求对角线8〃的长.

②若ACLBD,求证：AD=CD,

（2）如图2,在矩形力比〃中，福=5,〃。=9,点U是对角线做上一点，旦BP=2PD,

过点户作直线分别交边AD,比于点£,E使四边形力用石是等腰直角四边形，求力E的长.

【分析】（1）①只要证明四边形月仇刀是正方形即可解决问题；

②只要证明即可解决问题；

（2）若EF1BC,则力肝分；BF丰EF,推出四边形力腿?表示等腰直角四边形，不符合条

件.若环与8。不垂直，①当然=/历时，如图2中，此时四边形/⑸喏是等腰直角四边

形，②当84/18时，如图3中，此时四边形力叱是等腰直角四边形，分别求解即可：

【解答】解：（1）①・：AB=CD=l,AB//CD,

17

・•・四边形I比‘〃是平行四边形，

•:AB=BC,

・•・四边形/切切是菱形，

VZ^C=90°,

.••四边形力"7?是正方形，

BD=AC=J仔+]2=^J~2.

②如图1中，连接力GBD.

•:AB=BC,ACLBD,

：,4ABi)=4CBD,

♦：BD=BD,

・•・△/历侬△两，

：.AD=CD.

(2)若EF1BC,则四边形力皮石是矩形，AE=BF=2BC=6,

3

•・38=5,

：.AE^AB

・••四边形H加7:.表示等腰直角四边形，不符合条件.

若EF与比不垂直，

①当力£=/心时，如图2中，此时四边形/山/方是等腰直角四边形,

：・AE=AB=5.

②当跖=月8时，如图3中，此时四边形月旌是等腰直角四边形,

：・BF=AB=5,

*：DE//BF.

:・DE：BF=PD：Pli=\x2,

:・DE=2.5,

・••力E=9・2.5=6.5,

综上所述，满足条件的的长为5或6.5.

18

8.（金华市金东区期中）有一组邻边相等，且另外两边也相等的四边形我们把它叫做筝形，

如图1,四边形力比〃中，AD=DC,AB=BC,那么四边形力CM叫做筝形.

（1）如图2,已知筝形的周长是18,那么/切=；

（2）在探索筝形的性质时，发现筝形有一组对角相等，如图1,筝形/仍⑦中，AD=DC,

AB=BC,那么N/I=NC,请证明这个结论；

（3）如图2,筝形/麻力中，AD=DC=M，NMC=90°,NZM8=105°,求筝形力比力

的面积.

【分析】（1）根据四边形周长为四边的和,相减得15的长;

（2）连接放，证明所在的两个三角形全等；

（3）筝形4"9的面积等于两个三角形面积的和，主要求NC的阳的长，并说明0B是AC

边上的高即可.

【解答】解：（1）如图2,•・,四边形445为筝形，

：,AB=BC,

•・•筝形/I仇，〃的周长是18,AD=O）=3,

19

."8=18-2X3=6,

2

故答案为:6；

(2)如图1,连接如，

•:AD=DC,AB=BC,BD=BD,

:.MAD哈XCDB,

AZJ=ZC

(3)如图2,

•・•/力ZT=90°,AD=CD=心

:-AC=VAD2-<D2=2，

•・•四边形ABCD为筝形,

：.4DA4ZDCB=\U5',

•••△4T是等腰直角三角形，

・・・/%。=/〃。=45°,

：,ZBAC=ZBCA=60°,

•••△4%是等边三角形，

VAD=CD,AB=BC,

・•・劭是力。的中垂线，

:me,

：,AO=CO={,

・,.tanN胡仁坨，

AO

.\^/7=lXtan60o=V§,

:.S茅彩丽=A/1Z>Cl^AC-()B=AX72XV2+—X2XV3=I+V3.

2222

20

D

图1

9.（金华校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若尸，。为某个四边形相邻的两个顶点，

且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点R0的''奇

美四边形”.图1为点化Q的“奇美四边形”的一个示意图.

设点力（1,2）,点8e,0）

【初步尝试】：（1）若6=3,在图2网格中画出点儿夕的一个“奇美四边形”，并记作：

“奇美四边形”月夕切：

【深入探究】：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形”/版⑦，满足AB//DC.求

证：“奇美四边形”力四是菱形；

②若点儿6的“奇美四边形”为矩形，求直线的函数解析式；

【拓展应用】：（3）已知点C（3,2）,在线段4c上存在点片平面内存在一点M使点M

N的“奇美四边形”为矩形，且点6到直线的距离始终为7何，请直接写出b的取值

范围

【分析】【初步尝试】：（1）根据“奇美四边形”的定义画出图形即可.

【深入探究1（2）①根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明.

②分两种求出求出点〃的坐标即可解决问题.

【拓展应用】：（3）求出点与力重合时，满足条件的点8的坐标，求出点N与。重合时,

满足条件的点〃坐标，观察图象即可判断.

【解答】【初步尝试】：（1）解：如图1中，四边形/因9即为所求（答案不唯一）.

21

,:AB=CD,AB//CD,

・•.四边形/俗⑦是平行四边形,

又YAC1BD,

・•・四边形月仇》是菱形.

②如图3中，解:

图3

•••四边形月比》是矩形,

22

又•：ACLBD,

・•・四边形力仇”是正方形，

・•・满足条件的点夕的坐标为（3,0）或（-1,0）,

V/f（1,2）,

・•・直线团的解析式为y=-户3或产=户1.

【拓展应用】：（3）：如图4中,

当点"与/I重合时，满足条件的点〃的坐标分别为：笈（・3,0）,氏（1,0）,氏（5,0）,

当点川与。重合时，满足条件的点8的坐标分别为：^（-1,0）,R,（3,0）,氏（7,0）,

观察图象可知满足条件的b的取值范围为-3工辰-1或1＜庆3或5W6W7.

10.（金华）背景：点/I在反比例函数y=K（左＞0）的图象上，/I反Lx轴于点8,轴

x

于点a分别在射线水；加上取点。，E,使得四边形力则为正方形.如图1,点力在第

一象限内，当月0=4时，小李测得。9=3.

探究：通过改变点力的位置，小李发现点〃，月的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李

解决下列问题.

（1）求立的值.

（2）设点4〃的横坐标分别为x,z,将z关于x的函数称为“Z函数如图2,小李

画出了x＞0时“Z函数”的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画xVO时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点（3,2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

23

【分析】（1）求出点力的坐标，利用待定系数法求出〃即可.

（2）①求出点力的坐标，再代入反比例函数的解析式即可.

②利用描点法画出图象，根据困数图象叫得结论（答案不唯一）.

③由题意可知直线的解析式为z=k咕2-3k,构建方程组，利用A=0,求出攵可得结论,

另外直线x=3也符合题意.

【解答】解：⑴・.・力。=4,CD=4

：.AI）=AC-CI）=\,

•・•四边形力或〃是正方形，

・・・48=1,

•・•力CLy轴，力员Lx轴，

:・/ACO=/COB=NOBA=9C,

・•・四边形"①是矩形，

：,OB=AC=4f

：,A（4,1）,

AA=4.

(2)①由题意，A(ASx-z),

(x-z)=4,

24

②图象如图所示.

性质1：x>0时，y随矛的增大而增大.

性质2：图象是中心对称图形.

⑤设直线的解析式为z=k/b,

把（3,2）代入得到,2=3代6,

b=2-3k,

・••直线的解析式为z=kx+2-3h

z=kx+2-3k

由14，消去z得到，（〃・1）/+（2-3女）广4=0,

当在W1时，当A=0时，（2-3A）2-4（A-1）X4=0,

解得仁里或2,

9

当衣=」&时，方程为-AA+4=0,解得M=E=6.

993

当々=2时，方程为>2-4户4=0,解得小=>2=2.

当〃=1时.方程的解为x=4,符合题意，

另外直线a=3,也符合题意，此时交点的横坐标为3,

综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.

11.（江北区期末）如图1,在矩形力比》中，点£是边48的中点，点G是平面上一点，若

在射线应1上存在一点总使得四边形及"。为菱形，我们称菱形必”是矩形力）》的“矩

菱形”.

（1）命题“正方形的‘矩菱形'也是正方形”是真命题；（填“真命题”或“假命

题”）

25

（2）如图2,矩形力成。为正方形，四边形切&;是其“矩菱形”，曲交〃C于点，，若俄

=V5＞求的长；

（3）假设他=〃，

AB

①若矩形/I次”始终存在“矩菱形”，求衣的取值范围.

②如图3,若/1Q2,点”为菱形切的中心点，连结£从CM.CG、BG,请用含有《的

图1图2图3

【分析】（1）根据“知菱形”定义，可得DE=DF,再利用正方形性质即可讦明R3DE

迫RtACDFQHL）,进而得出答案；

（2）如图2,连接加，设正方形力筋的边长为a,根据五阚=』S正方彩晒二1。必=至以

228

可求得同/=旦打,进而得出掰=工，利用勾股定理可得出答案；

44

（3）①如图3,设力8=6,则4?=/^,再由四边形的是其“矩菱形”，可得刎=财

=（庐il）凡再利用勾股定理得出C^=Dfi-CO=3-3）S,所以42-320,即

444

（代返）（A-返）＞0,故返；

222

②如图4,连接必DC,BM,过点6•作G/U48交其延长线于船过点"作M_L/加于M

交.CD\'Z,利用S五边形£im=S梯形A&KV-S4e©Sf的1fsz此,即可求得答案.

【解答】解：（1）命题“正方形的‘矩菱形'也是正方形”是真命题.理由如下：

•・•四边形以巩7是正方形切切的''矩菱形"，

・•・四边形Z7双7一定是菱形，

：,DE=DF,

•・•正方形ABCD,

：.AD=CD,/A=/ADC=NDCB=90",

：.NADE+NEDC=9Q°,NDCF=900=ZJ,

在Rt△板与RtZ\a»中，

26

<DE=DF,

<AD=CD?

：・RSM虑RSCOF(HL),

：・4ADE=4CDF,

:./CDF+/EDC=9Q°,UPZOT=90°,

・•・菱形加心是正