2024大考卷压轴题（补充）

2024大考卷压轴题（补充）

目录

一.二元一次方程组的应用（共1小题）.............................................1

一元二次方程的应用（共1小题）...............................................2

三.分式方程的应用（共1小题）..................................................3

四.函数的图象（共1小题）......................................................4

五.一次函数的应用（共1小题）..................................................5

六.一次函数综合题（共1小题）..................................................6

七.二次函数的性质（共1小题）..................................................7

八.二次函数的应用（共5小题）..................................................8

九.二次函数综合题（共11小题）.................................................12

十.三角形综合题（共3小题）....................................................23

十一.菱形的判定与性质（共1小题）..............................................26

十二.四边形综合题（共16小题）.................................................27

十三.切线的性质（共1小题）....................................................43

十四.切线的判定与性质（共2小题）..............................................44

十五.圆的综合题（共6小题）....................................................46

十六.作图一复杂作图（共2小题）................................................52

十七.几何变换综合题（共1小题）................................................53

十八.相似形综合题（共3小题）..................................................54

十九.解直角三角形的应用（共1小题）............................................57

二十.解直角二角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）..............................58

二H-一.反比例函数综合题（共1小题）............................................59

二十二.列表法与树状图法（共1小题）............................................60

二十三.翻折变换（折叠问题）（共1小题）........................................61

一.二元一次方程组的应用（共1小题）

I.（2024龙华区二模）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落

在地上不得分.小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下:

投入壶内投入壶耳落在地上总分

小龙3支4支3支27分

小华3支3支4支24分

（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？

（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶

内几支箭？袋内

第1页共62页

二,一元二次方程的应用（共1小题）

2.（2024•深圳模拟）随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富.某店

有A、6两种熊猫玩偶，己知每个A款熊猫玩偶的售价是每个3款熊猫玩偶售价的:倍，顾客用150元

购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买8款熊猫玩偶的数量少1个.

（1）求每个6款熊猫玩偶的售价为多少元？

（2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶l（X）个，每个小款熊猫玩偶的利润为167E.为了尽快减少

库存，该店决定采取适当的降价措施.调查发现，每个4款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每

月可多售出20个.该店想每月销售4款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少

元？

第2页共62页

三,分式方程的应用(共1小题)

3.(2024•宝安区二模)骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要.某商店销售甲、乙两种不同型号的头

盔，己知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵1()元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用9()

元购买的乙种型号头盔数量相同.

(1)求甲、乙两种型号头盔的单价；

(2)某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，苦购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的右

为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？

第3页共62页

四,函数的图象（共1小题）

4.（2024•佛山二模）综合与实践

【发现问题】

当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响（/）

与赛车行驶速度Mkm/min）存在某种函数关系.以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据：

v（km/min）•••01234•••

/…03122748•••

（1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接.

【猜想验证】

（2）观察图象并猜测：/是I，的函数.请你据此求出/关于y的函数表达式，并验证所求表

达式的合理性.

【实际应用】

（3）2005年某车队搭载V10引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出372km/h的极速.利

用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？

第4页共62页

五,一次函数的应用（共1小题）

5.（2024•南山区二模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关.最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，

他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节口以示庆

贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望.小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙

两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟

花进货单价多9元.

（1）求甲、乙两种烟花的进货单价；

（2）小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量

的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费.

第5页共62页

六.一次函数综合题（共1小题）

6.（2024•佛山二模）综合探究

如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，0ABe。的顶点丛C在x轴上，A在），轴上，0A=0C=20B

=4,直线y=x+Z（-2W/W4）分别与x轴、y轴、线段4）、直线44交于点E,F,P,Q.

（I）当f=l时，求证：AP=DP.

（2）探究线段ARPQ之间的数量关系，并说明理由.

（3）在x轴上是否存在点M,使得NPMQ=90°,且以点M,P,。为顶点的三角形与AAOB相似,

若存在，请求出此时，的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图2

第6页共62页

七.二次函数的性质(共1小题)

7.(2024海珠区校级二模)已知：抛物线y=ax2+bx+c(a>0).

(1)若顶点坐标为(1,1),求〃和c的值(用含。的代数式表示)；

(2)当cVO时,求函数y=-2024|a/+/»+d-1的最大值；

(3)若不论用为任何实数，直线y=m(%-1)-苧与抛物线Ci有且只有一个公共点，求“，b，c,的

值；此时，若AW入建"1时，触物线的最小值为求&的值.

第7页共62页

八,二次函数的应用（共5小题）

8.（2024龙岗区二模）【项目式学习】

项目主题：安全用电，防患未然.

项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升.据悉，约80%的火灾都在充

电时发生.某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自

行车充电车棚的消防设备进行研究.

任务一：调查分析

（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在△AO8中，。4=08,喷射角/

AOB=60",地面有效保护直径AB为2百米，喷嘴。距离地面的高度。。为米：

任务二；模型构建

由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降

温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃.学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头.

（2）如图3,喷淋头喷洒的7K柱最外层的形状为抛物线.己知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示

意图为矩形O4BC,创新小组以点。为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面宜

角坐标系.他们查阅资料后，提议消防喷淋头”安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，

即。4=3米，AM=2米，水喷射到墙面。处，且米.

①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式：

②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径OE为米：

任务三：问题解决

（3）已知充电车棚宽度OC为7米，电动车电池的离地高度为0.2米.创新小组想在喷淋头M的同一

水平线A8上加装一个喷淋头M使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷

淋头M至少米.n

第8页共62页

9.（2024•深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务.

你知道羽毛球的比赛规则吗？

问题背景

如图1,在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界

素材1和前后边界.球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角

的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场.

球员在发球时.必须将球击过网并发到对方场地的对角后场

素材2边界之内.如果球落在边界之外，则发球方失分.在接发球

时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球.

如图2,若发球队员的击球点距离地面I米，网高1.55米，

对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与

素材3

击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛

物线的一部分图象.

问题解决

在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建），轴1.在平面直角坐标系中，发球人

条件

的击球点A的坐标为（0,1）.（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界）

第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足^（«

W0）,此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛请问此时的羽毛球是否出界？请

任务1

物线恰好关于球网对•称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网说明理由.

并落在对方前场.

第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y=+〃x+c,

请问此时的羽毛球过网了吗？请

任务2

如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时说明理由

球网与发球人的击球点的水平距离为2米.

第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足），=

急2+/”+c,如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距

128请问该球员至少要后退多少米才

任务3

离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时能接到球？请说明理力

对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上

伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米.（参考数据：6g=4624）

第9页共62页

10.（2024•光明区二模）2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单

价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出.由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后,

上涨到每个125元，此时每天可售出75个.

（I）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；

（2）市场调查发现：销售单价每降低I元，其销售量相应增加5个.那么销售单价应降低多少，才能

使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？

11.（2024南山区二模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元.规定每件售价不低于进

货价，经市场调查，每月的销售量件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x（元/件）606570

销售量y（件）140013OC1200

（I）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）

（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？

（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%,设这种衬衫每月的总利润为卬（元）,

那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

第10页共62页

12.(2024•顺德区一模)综合与实践.

主题：设计高速公路的隧道

情境素材

高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公

素材1

路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶.

据调杳，一般的大型货车宽2.4m,车货总高度从地面算

素材2起不超过4m.为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧

道的竖直距离不小于0.55m.

某高速公路准备修建一个单向双车道(两个车道的宽度

一样)的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构

素材3

成(如图).每条车道的宽为xm(其中3.5WK<3.75),

车道两端(M,N)与隧道两侧的距离均为1m.

问题解决

问题1(1)确定单向双车道隧道的宽度估计将要修建的隧道宽度(AAl)的合理范围.

已知要修建的隧道矩形部分AAi=9m,AB

问题2(2)设计隧道的抛物线部分

=2.95m.求抛物线的解析式.

第11页共62页

九,二次函数综合题（共11小题）

13.（2024•南山区二模）【定义】例如，如图1,过点A作ABl/i交/I于点9线段A8的长度称为点4

到人的垂直距离，过A作4C平行于），轴交人于点C,AC的长就是点A到h的竖直距离.

【探索】（1）当人与x轴平行时，AB=AC.

当人与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离48与点到直线的竖直距离AC存在•定

的数量关系，当直线4为y=g-Y+l时，AB=AC.

【应用】（2）如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为30。，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平

面），树高2〃?，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点。的距。4=2打，建立如图2所示

的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线y=-/+/>,且恰好经过小树的顶端点8,

最远处落在草坪的。处.

①6=.

②如图3,现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固

树，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】（3）如图4,原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，

圆弧与y轴相切于点O,若此时0C=4>后〃?，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，

请求出MN最高应为多少？

第12页共62页

14.（2024•罗湖区二模）综合与应用.

如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2

所示的平面直角坐标系X。），，运动员从点A（0,10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高

度），（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系.

（I）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度），的几组数据如表：

水平距离x（/〃）011.5

竖直高度），（/〃）10106.25

根据上述数据，求出），关于x的关系式；

（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离。。的长；

（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点8到水面的高度为火（m）,从到达到最高点B开始计时，

则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h=-5r+t

信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s才能完成极具难度的270c动作.

问题解决：

①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员中能否成功完成此动作？

②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为产--or+l（）

（aV0）,若选手在达到最高点后要顺利完成270c动作，则。的取值范围是.

第13页共62页

15.(2024•罗湖区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，已知A(2,0),C(L3百)，将

△OAC绕4c的中点旋转180°,点。落到点8的位置，抛物线y=Q/一经过点A,点。是抛

物线的顶点.

(I)求抛物线的解析式；

(2)判断点8是否在抛物线上；

(3)若点P是线段上的点，且NAPD=NO4B，求点尸的坐标；

(4)若点〃是工轴上的点，以。、4、。为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另

一个顶点在,，轴上，请直接写出点尸的坐标.

第14页共62页

16.(2024•宝安区二模)在平面更角坐标系中，有如下定义：若某图形VV上的所有点都在一个矩形的内部

或边界上(该矩形的一条边平行于x轴)，这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”.

例如：如图1,己知△44C,矩形AO〃工轴，点8在。七上，点。在£尸上，则矩形AQE*为

△A8C的美好矩形.

(1)如图2,矩形AACD是函数y=2x(-10W1)图象的美好矩形，求出矩形/WCO的面积；

⑵如图3,点4的坐标为(1,4),点4是函数y>0)图象上一点，且横坐标为加，若函数图

象在A,B之间的图形的美好矩形面积为9,求〃?的值；

(3)对于实数小当QWXWQ+VS时，函数y=-等/+以图象的美好矩形恰好是面积为3,且一边

在x轴上的正方形，请直接写出〃的值.

图I普图3备用图

第15页共62页

17.（2023•顺德区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线），=/—竽x+c与x轴交于两点A（1,

0）和点8（3,0）,与），轴交于点C,连接AC8c.点。是抛物线对称轴上一点，对称粕与x轴交于

点E,与直线8C交于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接80,当以点。，D,£为顶点的三角形与△Q4C相似时，求点。的坐标；

（3）当点。关于直线笈。的对称点G落在抛物线上时，直接写山点G的坐标.

备用图

第16页共62页

18.（2024•顺德区一模）综合运用

已知，抛物线产/+尿+2如至1所示，其对称轴是直线x=l.

（1）①写出〃与〃的数量关系

②证明：抛物线与直线），=-2r+2有两个交点;

（2）如图2,抛物线经过点（-1,-1）,将此抛物线记为Fi,把抛物线F1先向左平移2个单位长度,

再向上平移1个单位长度，得抛物线上.

①求抛物线F1与x轴的交点坐标;

②点尸为抛物线为上一动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线用于点Q，连接PQ，以点P为圆心、

PQ的长为半径作0P.当。户与x轴相切时，求点P的坐标.

第17页共62页

19.(2024东莞三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+法+4与x轴交于点8(2,0)和点。(-I,0),

D为第一象限的抛物线上一点.

(I)求抛物线的函数表达式：

(2)求△AQ/3面积的最大值；

(3)过点。作。垂足为点E,求线段QE长的取值范围；

(4)若点F为(0,2),G分别为线段4B上一点，且四边形4FGD是平行四边形，直接写出。的坐标.

第18页共62页

20.(2024东莞市模拟)如图，抛物线y=o?+6+5与x轴交于4,B两点,与y轴交于点C,AB=4.抛

物线的对称轴x=3与经过点A的直线)，=履・1交于点。，与x轴交于点E.

(1)求直线A。及抛物线的表达式：

(2)在抛物线上是否存在点M,使得△AQM是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M

的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以点“为圆心，画半径为2的圆，点尸为上一个动点，请求出尸C+2%的最小值・

备用图

笫19页共62页

21.(2024•中山市二模)如图，抛物线＞，=/+法+。与.1轴分别交于4,B两点(点4在点B的左侧)，与

y轴交于点C，且OB=OC=3OA.

(1)求该抛物线的函数表达式：

(2)如图1,点。是该抛物线的顶点，点P(〃］，〃)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接以九

BC,BP,当NPBA=2NCB。时，求机的值；

(3)如图2,NR4c的角平分线交了轴于点M,过M点的直线/与射线AB,4c分别于E，F,已知当

11

直线/绕点M旋转时，=+不为定值，请直接写出该定值.

AEAF

笫20页共62页

22.（2024•海珠区一模）已知一次函数），=履+1的图象经过点6（1,3）,与4轴相交于点。，与y轴相交

于点E,点C(2,0),记NDEO=a.

（1）求女的值；

（2）点A在直线丁=履+1上，且在点8的下方，以A8为直径的。尸与线段CQ有交点，求OF的面积

的取值范围.

（3）在（2）的条件下，将线段绕点4按逆时针旋转2a得到线段4B',再将线段AB'绕点"

按顺时针旋转2a得到线段8'A',再将线段B'4'绕点A'按逆时针旋转2a得到线段A'B",若

抛物线y=a1+/>+c•经过A,B,Af,B”四点，求该抛物线顶点的纵坐标的最大值与最小值的差.

第21页共62页

23.(2024•广州校级二模)已知抛物线y=o?+/u+c(。、b、c为常数，且4#0)

(1)已知抛物线的对称轴为直线x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1：2,求这两个交点

的坐标：

(2)已知对于抛物线上的任意一点(xo,和)，点(4・刈，”)也在此抛物线上，且16a2・8加+)=0,

若存在一点G(m,w)恰在该抛物线上，求”的取值范围；

1

(3)已知当x>-I时,)，随x的增大而增大，且抛物线与直线y=ax-^+c只有一个交点Q,若OD

>2迎恒成立，求c的取值范围.

第22页共62页

十.三角形综合题（共3小题）

24.（2024•宝安区二模）“海之跃”摩天轮是某地区的城市名片.滨城学校九年级（3）班的项目式学习团

队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度.

【素材一】如图1,“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上.拟测算的写字楼与摩天轮在

同一平面内.

【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）.

【素材三】若学生身高和转厢大小忽略不计，如图3,摩天纶的最高高度为128米，半径为6（）米，该

团队分成三组分别乘坐I号、4号和1（）号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使

用测角仪观测写字楼最高处。点，观测数据如表（观测误差忽略不计）.

1号轿厢测量情况4号轿厢测量情况10号轿厢测量情况

【任务一】初步探究，获取基础数据

（I）如图3,请连接40、80,则NAOB=°；

（2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置8点的高度.（结果保留根号）

【任务二】推理分析，估算实际高度

（3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度QM（结果用四舍五入法取整数，V2«1.41）

第23页共62页

25.（2024•南山区二模）在中，NAC8=90°,AC=8C,点。是直线AB上的一动点（不与点A,

8重合）连接C。，在C。的右侧以C。为斜边作等腰直角三角形CD£,点”是8。的中点，连接

【问题发现】

（1）如图（I）,当点D是A8的中点时，线段E"与4Q的数量关系是，EH与

AD的位置关系是.

【猜想论证】

（2）如图（2）,当点。在边A8上且不是4B的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅

就图（2）中的情况给出证明：若不成立，请说明理由.

【拓展应用】

（3）若AC=BC=2/,其他条件不变，连接AE、BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出AAOE

的面积.

第24页共62页

26.(2024•顺德区二模)综合应用

如图，等边三角形A8C的边长为小点。，E,尸分别是边A8,BC,CA上的动点，且满足AO=8E=

CF,连接。£，EF,DF.

(1)证明：△ADgABED；

(2)设AF的长为k,△7)£：尸的面积为y,求出y与x的函数表达式(用含。的式子表示);

(3)在(2)的条件下，当x=2时，y有最小值，画出)，与x的函数图象.

第25页共62页

十一.菱形的判定与性质(共1小题)

27.(2024•深圳模拟)如图，在等腰△A8C中，AB=BC,8。平分NA8C,过点A作AD〃8c交80的延

长线于。，连接CQ,过点。作。从L/3。交4c的延长线于E.

(1)判断四边形A8C。的形状，并说明理由；

(2)若。E=10,siWAO=恪，求四边形A8C。的面积•

笫26页共62页

十二.四边形综合题（共16小题）

28.（2024•深圳模拟）已知矩形A8CQ,点E、尸分别在AQ、。。边上运动，连接8F、CE,记BF、CE

交于点P.

AD3

（1）如图1,若一=-,CF=4,NAEP+NA8P=180°，求线段。£的长度；

AD5

BP2卜EP

（2）如图2,若/EBF=NDEC,—=求外：

AD3PC

第27页共62页

29.（2024•南山区二模）（1）【探究发现】

如图1,正方形ABCD两条对角线相交于点O,正方形AIBCI。与正方形ABC。的边长相等，在正方

形AIBICI。绕点。旋转过程中，边交边A3于点M,边。。交边8c于点N.则：

①线段AM,BN,之间满足的数量关系是.

②四边形OM8N与正方形ABCD的面积关系是5四边形OMBN=S正力形ABC。；

（2）【类比探究】

如图2,若将（I）中的''正方形人BCO”改为“含60°的菱形人8c。“，即N8iOOi=NDW=6（）°,

旦菱形OBiCiOi与菱形ABC7）的边长相等.当菱形OBICIOI绕点。旋转时，保持边0办交边48于点

M,边OD1交边BC于点N.

请猜想：

①线段8M,BN与AB之间的数量关系是：

②四边形OMBN与菱形ABCD的面积关系是SM.OMBN=SmCD：

请你证明其中的一个猜想.

（3）【拓展延伸】

如图3,把（2）中的条件“/8iO/）i=N/）A8=60°”改为“ND4B=/BiOOi=a"，其池条件不变,

则①^鬻"=；（用含。的式子表示）

C

屋四边形OMBN人7上一、

②F---------=____________________.（用含a的式子表不）

3菱形ABCD

第28页共62页

30.（2024•宝安区校级二模）（1）【问题探究】如图1,正方形A8C。中，点尸、G分别在边BC、CD±,

且AF_LBG于点户，求证：AF=BGx

（2）【知识迁移】如图2,矩形A3C。中，A4=4,BC=8,点£、3G、〃分别在边48、BC、CD、

上，且EG_L"7于点P.若EG•，产=48,求“产的长；

（3）【拓展应用】如图3,在菱形4BCO中，N/1BC=6O°,4B=9,点E在直线AB上，BE=6,AF

1.OE交直线BC于点F.请直接写出线段/C的长.

A

C

（图2）（图3）

第29页共62页

31.（2024•罗湖区二模）【问题提出】（1）如图1,在边长为6的等边△ABC中，点。在边BC上，CD=2,

连接4。，则△ACO的面积为；

【问题探究】

（2）如图2,已知在边长为6的正方形ABCO中，点石在边8c上，点尸在边CO上，且NE4〃=45°,

若EF=5,求AAE/的面积；

【问题解决】

（3）如图3是某市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在48=4米，AD=4^3米的矩形ABC。

区域内开挖一个△人£产的工作面，其中点E,尸分别在BC,CO边上（不与点8,C,。重合），JLZEAF

=60°,为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求的面积最小，那么是否存在面积最小的△?!£/?

若存在，请求出“面积的最小值；若不存在，请说明理由.

第30页共62页

32.（2024•盐田区二模）【项目式学习】

项目主题：车轮的形状

项目背景：在学习完圆的相关知识后，九年级某班同学通过小组合作方式开展项目式学习，深入探究车

轮制作成圆形的相关原理.

【合作探究】（1）探究A组：车轮做成圆形的优点是：车轮滚动过程中轴心到地面的距离始终保持不

变.另外圆形车轮在滚动过程中，最高点到地面的距离也是不变的.如图1,圆形车轮半径为4c〃?，其

车轮最高点到地面的距离始终为cm；

（2）探究B组：正方形车轮在滚动过程中轴心到地面的距离不断变化.如图2,正方形车轮的轴心为

O,若正方形的边长为6cm,车轮轴心。距离地面的最高点与最低点的高度差为cm；

（3）探究C组：如图3,有一个正三角形车轮，边长为金7”，车轮轴心为0（三边垂直平分线的交点），

车轮在地面上无滑动地滚动一周，求点。经过的路径长.

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定，即车轮的轴心是否在一条水平线上运动.

【拓展延伸】

如图4,分别以正三角形的三个顶点A,B,C为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形

成的曲线图形叫做“莱洛三角形”.“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的

物体也能够保持平衡，但其车轴中心。并不稳定.

（4）探究。组：使“莱洛三角形”以图4为初始位置沿水平方向向右滚动.在滚动过程中，其“最高

点”和“车轮釉心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和

“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为.

ABCD

第31页共62页

33.（2024•光明区二模）在四边形A8CQ中，点E为线段CQ上的动点（点E与点C不重合），连接BE,

线段BE的垂直平分线与AD,BC,8E分别相交于点F,G,H,连接F8,FE.

【探究发现】（1）如图1,若四边形A4C。为矩形，BFLEF,求证：4ABFq/XDFE；

【能力提升】（2）如图2,若四边形48C。为矩形，48=4,BC=6,Z\8G尸是等腰三角形，求EC的长；

【拓展应用】（3）如图3,若四边形ABC。为菱形，BELCD,肪的垂直平分线与A/）,BC,BE分别相交

于点F,G,H,连接/B,FE.若△BFE是等边三角形，求sinA的值.

AFDAFDAFD

BGCBGCBGC

图1图2图3

第32页共62页

34.（2024•顺德区二模）综合探究

几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径.解决几何综合探究问题，往往需要运用从

特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法.

【问题情境】分别以△ABC的两边AC和8C为边作正方形ACO石和品户G.连接。/，探究"与/万

之间的关系.

【初步感知】（1）如图1,若乙4CB=90°,直接写出48与。尸之间的关系；

【深入探究】（2）①在图2中，A8与。尸之间有怎样的关系？说明理由；

②改变点8的位置，画出异于前面两种情况的图形，判断A8与。尸之间的关系是否依然成立？

【拓展延伸】（3）如图3,连接AF,BD,过点。作CH_LAF,垂足为点H,CH的延长线交BD于点M.求

证：BM=DM.

第33页共62页

35.(2024•佛山一模)综合探究

如图，点&E是射线AQ上的一个动点，以A8为边在射线A。上方作正方形A8CQ,连接。E,作OE

的垂直平分线R7,垂足为“，尸G分别与直线4C,AD.DC交于点M,F,G,连接£G交直线8c于

点K.

(1)设AB=4,当E恰好是AB的中点时，求。尸的长;

(2)若。G=OE,猜想，G与AE的数量关系，并证明;

BE2一

(3)设AB长为x,Z\MKG的面积为y,若而=?求>与工的关系式・

备用图

第34页共62页

36.（2024•佛山一模）综合与实践

数学活动课匕同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等.

【动手操作】如图，已知菱形求作点后使得点七到三个顶点A,D,C的距离相等.小红同

学设计如下作图步骤；

①连接BD；

②分别以点4,。为圆心，大于，。的长为半径分别在AD的上方与下方作弧：人£）上方两弧交于点”，

下方两弧交于点N,作直线MN交BD于点E.

③连接AE,EC,MEA=ED=EC.

（1）根据小红同学设计的尺视作图步骤，在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹）.

【证明结论】

（2）证明：EA=ED=EC.

【拓展延伸】

（3）当NA8C=72°时，求△E8C与△E4O的面积比.