2024年统计与概率（教师卷）高一数学寒假衔接练习（人教B版 必修二册）

第05讲统计与概率

【易错点总结】

一、数据的收集与直观表示

1.总体、个体、样本与样本容量

考察问题涉及的对象全体是总体,总体中每个对象是个体，抽取的部分对象组成

总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是样本容曷.

2.普查与抽样调查

(1)普查：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称为全面调

查).

(2)抽样调查：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.

3.简单随机抽样

⑴定义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、

划类、排队等，完全随机地抽取个体.

(2)两种常用方法：抽签法，随机数表法.

4.分层抽样

一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠

的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样

的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).

5.数据的直观表示

(1)常见的统计图表有柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图、频

率分布直方图等.

(2)频率分布直方图

①作频率分布直方图的步骤

(i)找出最值，“算极差：即一组数据中最大值与最小值的差；

(ii)合理分组，确定区间：根据数据的多少，一般分5〜9组；

(iii)整理数据：

逐个检查原始数据，统计每个区间内数的个数(称为区间对应的频数)，并求出频

数与数据个数的比值(称为区间对应的频率)，各组均为左闭右开区间，最后一组

是闭区间；

(iv)作出有关图示：

根据上述整理后的数据，可以作出频率分布直方图，如图所示.频率分布直II的

频率

纵坐标是每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而旦每个矩形的面积等

于这一组数对应的频率,从而可知频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为

1.

②频率分布折线图

作图的方法都是：把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看狗，

折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义

的.

不难看出，虽然作频率分布直方图过程中，原有数据被“压缩”了，从这两种图

中也得不到所有原始数据.但是，由这两种图可以清楚地看出数据分布的总体态

势，而且也可以得出有关数字特征的大致情况.比如，估计出平均数、中位数、

百分位数、方差.当然，利用直方图估计出的这些数字特征与利用原始数据求出

的数字特征一般会有差异.

二、数据的数字特征

1.数据的数字特征

⑴最值

•组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情

况.

(2)平均数

①定义：如果给定的一组数是加，也，…，布,则这组数的平均数为三=，1土

X2-l------FxQ.

这一公式在数学中常简记为三=储方，

②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果为，X2,…，⑼的平均数为

x,且a,〃为常数，则axi+4ax2-\-b,,,,,3+8的平均数为〃于+〃.

(3)中位数

有奇数个数,且按照从小到大排列后为即，X2,…，利+1,则称勘土L为这组数的

中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为K,X2,…，及“,则

称*亍三为这组数的中位数.

(4)百分位数

①定义：一组数的〃％(p£(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至

少有〃％的数据不大于该值，且至少有(100—p)%的数据不小于该值.

②确定方法：设一组数按照从小到大排列后为;n,也，…，为“计算》•=〃〃％的值，

如果i不是整数，设i。为大于i的最小整数，取也为〃％分位数；如果，是整数，

取专里为〃％分位数.

(5)众数

一组数据中，出现次数埴多的数据称为这组数据的众数.

(6)极差、方差与标准差

①极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去量小值所得的差，描述了这组

数的离散程度.

②方差

定义：如果为，浆，…，初的平均数为x,则方差可用求和符号表示为/=忠9

二£)2=5金需一K

性质：如果4,力为某数，则OT1十)，OV2十。，…，十I的方差为。2业

③标准差

定义：方差的算术平方根称为标准差.一般用S表示,即样本数据加，X2,…，刈

的标准差为(X/—X)2.

性质：如果〃为常数，则ax2-\-by•••,的标准差为同s.

2.用样本的数字特征估计总体的数字特征

一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只

需直接算出样本对应的数字特征即可.

三、随机事件、评率与概率

1.事件的关系

定义表示法图示

一般地，如果事件A发生时，事

包含

件B一定发生，则称“A包含于记作4U8（或83A）

关系软

8”（或“3包含A”）

给定事件A,B,若事件A与3不

互斥若AAB=。，则A与

能同时发生,则称4与B互斥，

事件B互斥

记作48=。（或403=。）

给定样本空间Q与事件A,则由Q

对立若AnB=。，且AU5

中所有不属于4的样本点组成的

事件=0,则A与3对立

事件称为人的对立事件，记作A

2.事件的运算

定义表示法图示

给定事件A,B,由所有A中的样

并事件本点与B中的样本点组成的事件记作A+8（或AUB）

称为A与3的和（或并）

给定事件A，B,由A与8中的

交事件公龙样本点组成的事件称为A与记作世（或AC8）

B的积（或交）

3.用频率估计概率

一般地，如果在〃次重复进行的试验中，事件A发生的频率为其中，〃z是〃

次重复试验事件A发生的次数，则当〃很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）

的估计值为片

四、古典概型

1.古典概型

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有强幽（简称为有限

性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小

都相等（简称为等可能性）,则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概

型.

2.古典概型的概率公式

古典概型中，假设样本空间含有〃个样本点，如果事件C包含有〃2个样本点,

则p(o=M

3.概率的性质

性质1：对任意的事件A,都有OWP(A)<1；

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(0)=1,P(S=0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么=

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)：

性质5：如果那么尸(A)WP(6),由该性质可得，对于任意事件A,因为。

GAG。，所以0WP(4)Wl.

性质6：设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AU8)=P(A)+P(B)—

尸(AG3).

【考点剖析】

考点一：统计

:'1.某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班

的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的第80百分位

数为()

A.91B.92C.93D.93.5

【答案】D

【详解】数据从小到大为85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,而10x80%=8,

所以第80百分位数为9失3+丝94=93.5.

故选：D

2.北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会，南京

青奥会后，第三次举办的奥运赛事.之前，为助力冬奥，提高群众奥运法律知识水平和文明

素质，某市有关部门开展冬奥法律知识普及类线上答题，共计30个题U,每个题U2分满

分60分，现从参与线上答题的市民中随机抽取1000名，将他们的作答成绩分成6组，并绘

制了如图所示的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，可估计这次

线上答题成绩的平均数为()

A.33B.34C.35D.36

【答案】B

【详解】由题图，0.05x5+0.1x15+0.2x25+0.3x35+0.25x45+0.1x55=34.

故选：B

3.PM2.5是空气质量的•个重要指标，我国PM2.5标定采用世卫组织设定的最宽限值，即

PM2.5日均值在35〃g/〃『以下空气质量为一级，在35叫/加~75〃g//之间空气质量为二

级，在75〃g/"以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日PM2.5日均值（单位:

叱而）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）

A.这10天中有4天空气质量为一级B.这10天中PM2.5日均值最高的是11月5日

C.从5日到9日，PM2.5口均值逐渐降低D.这10天的PM2.5口均值的中位数是45

【答案】D

【详解】由图易知：第389,10天空气质量为一级，故A正确，II月5日PM2.5日均值为

82,显然最大,故B正确.从5日到9日,PM2.5日均值分别为:82,73,58,34,30,逐渐降到,

故C正确，中位数是4当5+一49=47,所以D不正确，故选D.

考点二：概率

|V）4.下列事件是必然事件的是（）

A.在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾

B.实数的绝对值不小于零

C.某彩票中奖的概率为;则买100（）0张这种彩票一定能中奖

I00000

D.连续两次抛掷一枚骰尸，两次都出现2点向上

【答案】B

【详解】因为在标准大气压下，水加热到io（yc才会沸腾，所以A不是必然事件;

因为实数的绝对值不小于零，所以B是必然事件；

因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，

100000

即C不是必然事件：

抛掷骰子，每一面出现都是随机的，所以D是随机事件.

故选:B.

5.由于夏季某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.2,现在用数据0,9表示

停电；用1、2、3、4、5、6、7、8表示当天不停电，（那么使用随机模拟方法得到以下30

个数据），

382179I45674068953901457623093

786344712867035382476310942943

那连续两天中恰好有一天停电的概率为（）

A.0.260B.0.300C.0.320D.0.333

【答案】B

【详解】连续两天中恰好有一天停电的情况有：

790689309303109429

共9种，

9

所以连续两天中恰好有一天停电的概率为m=0.3,

故选：B

6.挛生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个

素数P，使得〃+2是素数，素数对(p,p+2)称为李生素数.那么在不超过12的素数中任意

取出不同的两个，则能组成季生素数的概率为()

1132

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】B

【详解】不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个,

任意取出不同的两个素数有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3/1),(5,7),(5,11),(7,11)共

10对，

又素数对(P，〃+2)为李生素数，所以不超过12的素数组成的季生素数有：(3,5),(5,7)共2

对，

2I

所以能够组成李生索数的概率为P==

故选：B

考点三：统计与概率的应用

［、］7.已知％,々，当，…，Z与y，为，%满足y=24+3,，=1,2,3,…,〃,若内,42，巧，…，X”

的中位数为6,则%,乃，％…，”的中位数为()

A.6B.I2C.15D.24

【答案】C

【详解】解：记/为石，々，“3,…，%的中位数，%为加,2，%，…，％中对应的中位数

因为X-=2七+3,i=1,2,3,…,〃,Xm=6,

所以为%=2/+3=2X6+3=15

故选C.

8.七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公

元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的

正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平

行四边形.若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小丁另外3

个三角形面积之和的概率是()

【答案】D

【详解】如图所示，AADO，ABO,△GHO,ABEF,AMCV的面积分别为

=

^^ABO=-x4x4=4,S^GHO=S^BEF=-x-x4x4=1,S^MCF=-x—x4x4=2.

将ZMOO，ABO,△GO,△HEk,AMC尸分别记为H，邑，S3,54,S$,从这5

个三角形中任取出2个，则样本空间

10个样本点.

记»件加表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角

形面积之和“，则事件N包含的样本点为3，8)，(*工)，(52，工)，共3个，所以P(N)=^.

故选：D.

9.甲、乙两人参加“社会主义价值观''知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为:

3

和二，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()

4

A.-B.2-D.—

43712

【答案】D

93

【详解】设甲、乙获一等奖的概率分别是P(人)=：尸(用=；,不获一等奖的概率是

34

P(A_)=l-^?=-1,P(f-i)=l-^3-=-1,则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：

3344

一---13215

P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x-+-x-=—.

343412

故选：D

【基础过关】

一、单选题

1.下列说法正确的是O

A.某事件发生的频率为P(A)=L1

B.不可能事件的概率为()，必然事件的概率为1

C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件

D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的

【答案】B

【详解】解：对于A,事件发生的频率为OWP（A）R,故A错误；

对于B,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故B正确；

对于C,小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件,

大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，改C

错误；

对于D,概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关,

故D错误.

故选：B.

2.某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56,现采用随机数表法从该班抽取8名学

生参与问卷调查，已知随机数表中第2行和第3行的各数如下：

98293260573481320892156459720826

75908673519875817009162180897930

若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（）

A.08B.26C.51D.09

【答案】C

【详解】由题意可知抽取的学生的学号依次为32,34,08,15,26,51,09,16,

则抽取的第6名学生的学号是51.

故选：C.

3.一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记4=｛摸出黑球｝,

｛摸出红球｝,C=｛摸出白球｝,则事件及的概率分别为（）

【答案】A

【详解】P（A）=1P（B）=，P（C）=1.因为事件A,B,C两两互斥，则

236

P（AUB）=P（4）+P（B）=2.P（BkjC）=P（B）+P（C）=-.

62

故选：A.

4.饕餐纹是青铜器上常见的花纹之一，将青铜器中的饕餐纹的一部分画到方格纸上，如图

所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个

单位长度，且向右或向下挑是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餐纹的路

线到达点4的概率为（）

【答案】B

【详解】解：点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，所有的情况有（右,

右，右），（右，右，下），1右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，

下，右），（下，下，下）共8种，

“3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点町的情况有（下，下，右）共1种，

由古典概型的概率公式可知"

O

故选:B

5.下列命题正确的是（）

A.事件A、“满足WA）+P（8）=1,则A、"是对立事件

B.互斥事件一定是对立事件

C.若事件A、B、。两两互斥，则尸（A）+P（8）+P（C）=1

D.若Ac"为不可能事件，则P（AB）=P（A）+P（B）

【答案】D

【详解】对于A选项，例如，在编号为1、2、3、4、5的小球中任取一球，

定义事件A:所抽小球的编号不小于3,定义事件8:所推小球编号不小于4,

,、32

则f[P（A）+P（B）=-+-=l,A错；

55

对于B选项，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，B错；

X寸于C选项，若事件A、8、C两两互斥，则?（A）+P（B）+P（C）=P（ABC）＜1,C错;

对于D选项,若4cB为不可能事件,则尸（Al6）=尸（A）+P（B）-P（A「'8）=尸（A）+P（5）,

D对.

故选：D

6.甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率

都为:2，且前两局以2:0领先，则最后甲获胜的概率为（）

a16n81厂72n98

A.—B.---C.---D.---

25125125125

【答案】D

【详解】最后甲获胜含3种情况：①第三局甲胜，概率为（；

②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为当红三；

5525

4321R

③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为=X===.

555125

所以最后甲获胜的概率为：+卷+=.

故选：D

7.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4.连续抛掷这个正四面

体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字

为2或3“，事件8为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是()

A.P(4)=9B.事件4与事件4互斥

C.事件A与事件3相互独立D.P(4uR)=l

【答案】C

【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1,2,3,4四个基本事件，则

P(A)=：=；,A不正确；

事件8含有的基本事件有8个:(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),

其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时,事件A也发生,即事件4,B可以同时发生,B不正

确；

O1A1

抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，P(B)=-=-,P(AB)=—=-=P(A)P(B),

162164

即事件A与事件8相互独立，C正确：

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---=-,D不正确.

2244

故选：C

8.已知4和8是随机试验E中的两个随机事件，事件C=Au8,P(A)=；,P(8)=P©=；,

下列选项中正确的是O

A.A与B互斥B.A与C互斥

C.A与B相互独立D.A与C相互独立

【答案】C

211S

【详解】由题知，P(C)=>,因为尸(4)+28)=；；+；=:wP(AB)=P(C),故A错误；

3236

因为C=4U8,A发生时C一定发生，故B错误；

2II?I

因为P(A«)=-,所以P(A8)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---=-,

32336

乂P(A)P(B)=1X!=，，所以P(AB)=P(4)P(B),故C正确；

236

1121

因为C=AU3,所以打力。)=。(4)=二，由P(A)P(C)=；；x：=:，夕(AC)wP(A)P(C),故

2233

D错误.

故选：C

二、多选题

9.最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时

必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员

对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）

A.甲同学体温的极差为04c

B.乙同学体温的众数为36.4C,中位数与平均数相等

C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定

D.甲同学体温的第60百分位数为36.4C

【答案】ABC

【详解】观察折线图知，甲同学体温的极差为36.6-36.2=0.4℃,A正确；

乙同学体温从小到大排成一列：36.3℃,36.3C,36.4℃,36.4℃,36.4℃,36.5℃,365℃,

乙同学体温的众数为36.4'C,中位数为36.4C,平均数

x=1（36.3x2+36.4x3+36.5x2）=46.4℃,B正确；

乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为0.2C,也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲

同学的体温稳定，C正确：

将甲同学的体温从小到大排成一列:36.2℃,36.2℃,36.4℃,36.4C,36.5℃,36.5℃,366℃,

因7x60%=4.2,则甲同学体温的第60百分位数为36.5C,D不正确.

故选：ABC

10.某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对

这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评

结果转化为个人的素养指标x和y,制成下图，其中"”表示男同学，表示女同学.

若0<x<0.6,则认定该同学为“初级水平”；若0.6WXW0.8,则认定该同学为“中级水平”；

若0.8<工41,则认定该同学为“高级水平”.若），之1（）（）,则认定该同学为“具备一定艺术发展

潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质下列说法中，错误的有（）

A.50名参加测试的女同学中，指标0<x<0.6的有20人

B.从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为2

C.50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人

D.从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学中任选2名，则选出的

2名均为“高级水平''的概定为:

【答案】AC

【详解】由图知，在50名参加测试的女同学中，指标0<x<0.6的有15人，故A说法错误;

从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为尸=S15=X3，故B说法正

确；

由图知，参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有26人，

故C说法错误；

由图知，”不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学共有6人，其中“中级水

平''有3人，分别记为4，4,4,“高级水平”有3人，分别记为用，B2,B、,则任选2

名的样本空间

c=｛（A，4），（A，4），（A再）,（A居），（A，员），（4,4），（4,4），（4也），（4，名）,

（&,即,（《冬）,（冬4）,（综8）（%4）,（82，员）｝,共有15个样本点，设事件。表示“两人

均为高级水平“，则。=｛（£闯,（缘鸟）,（%生）｝,有3个样本点，所以P（C）=K=g,故

D说法正确.

故选：AC

三、填空题

II.一组5个数据中，前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个

数据是.

【答案】15

【详解】设5个数据为"c,乩e,因为前4个数据的平均数是20,

所以"+"=20,贝!〃+b+c+d=80①，

4

全部5个数据的平均数是19,

所以“+“+；+”+'=19,所以a+b+c+d+e=95②，

②一①得：e=15.

故答案为：15.

12.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，12。人有

疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是.

193

【答案】0.386##■

【详解】解：由题意可得没有明显疗效的人数为500-307=193,

所以没有明显疗效的频率为1徐93=0.386,

500

故答案为：0.386

四、解答题

13.柜子里有3双不同的鞋，如果从中随机取出2只，那么

⑴写出试验的样本空间.

⑵求事件。“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率.

【答案】

⑴C=｛（4M2），（a，4），（4,3，（q，cJ，（4，C2），（a2，4），（a2也》（a2，cJ,

（%,。2）,（"I也）,（4,G）.（乙,。2）,（阳Gb（"2'G）.（。,。2）｝

（2）?

【详解】（1）记第1双鞋左右脚编号为4,生，第2双鞋左右脚编号为白,打，第3双鞋左右脚

编号为de3，

则样本空间为

。=｛（4，生），（4舌卜（6也卜（4，。卜（4，。2），（生，4），3也），3，。），

（生，。2）,（4也》（4,C|）'（"l,C2bg2,cj'（匕2,。2b（。,。2）｝.

（2）由（1）知：rt（Q）=15,

。=｛（4，/?2）,（4，。2）,（出，4）,（%,。1），3,6）,02＜）｝,.,.〃（。）=6,

v7155

14.微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友.

⑴若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本,

已知小王”微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女

性多少人？

⑵某一天，小王的微信显示“您今天超越了75%的好友运动步数”，于是小王对120个好友

的步数做了统计，作出如下频率分布宜方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步

数.并估算小王这天的运动步数（结果精确到Q01）.

【答案】（1）12

（2）运动平均步数1.26万步，小王的运动步数约为1.36万步

【详解】（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，

48

选取30人的样本，则应选取女性30x==12人

120

（2）由（0.5+1.25+2.25+a+0.25）x0.2=1解得ci=0.75,

则运动平均步数，=0.9x0.1+1.1x0.25+1.3x0.45+1.5x0.15+1.7x0.05=1.26（万步）

运动步数在［。.81.2］的频率为0.35,在［0.8,1.4］的频率为0.8,

0.7-0.35

则75%位数位JF21.4］间，小王的运动步数为1.2+x0.2536（万步）

0.8-0.35

15.建三江一快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单

后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为

四个等级，各等级依次奖励3元、奖励()元、罚款3元、罚款6元，假定评定为等级

ARC的概率分别是335I,云3.

4832

(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；

(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为6元的概

率.

【答案】⑴白

O

⑵斗.

16

【详解】(1)设事件分别表示“被评为等级

由题意，事件两两互斥，

又不被罚款”，

317

所以尸(AuB)=P(A)+P(B)=-+-=-.

488

因此“不被罚款”的概率为：.

O

(2)若想要奖励之和为6元，则需要两个订单都评定为A级，设两单奖励之和为6元为事

件M,所以P(M)=3>4=J.

4416

【能力提升】

一、单选题

1.从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是()

A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有2个红球与恰有3个红球

【答案】D

【详解】从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，

在A中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

在B中，至少一个红球与都是白球是对立事件，故B错误；

在C中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；

在D中，恰有2个红球与恰有3个红球是互斥而不对立的事件，故D正确.

故选：D.

2.春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人

分别被随机分配到A、夕、C三个客运站中的个，则两人被分在同个客运站的概率为()

ABcD

-i-i-i-3

【答案】D

【详解】两人被随机分到三个客运站，一共有3x3=9种分法，其中，两人被分到同一个客

运站的分法有3种，所以所求概率为联

故选：D.

3.某省在新高考改革方案中规定；每位考生必选语文、数学、英语3科，再从物理、历史2

科中选1科，从化学、生物、地理、政治4科中选2科，干考生随机选择，最后他选择物理、

化学、地理这个组合的概率是（）

cD

A.l-n-i

【答案】c

【详解】在物理、历史任选一科只有两种选法；

而在化学、生物、地理、攻治中任选二科有六种选法;

甲考生随机选科的组合共有12种，即

物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政,

历化生，历化地，历化政，历生地，历生政，历地政.

满足要求的组合为：物化地共一种；

所以甲考生选择物理、化学、地理的概率为2=七.

故选：C.

4.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件A="取出的两

球同色”，事件取出的2球中至少有一个黄球”，事件C=”取出的2球至少有一个白球”,

事件。=”取出的2球不同色"，石=”取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（）

A.P（A+B）=P（A）+P（B）B.p（c）+p（r））=i

C.P{CJ/:)=ID.P(B)=P(C)

【答案】c

【详解】依题意，P(A)=与"=.,P(5)=l-5=±P(A)+P(B)=¥>1,而

C；15a515

P(A+B)<I,A不正确；

C23]1

P(C)=1--=?P(D)=1-P(A)=-,O"B不正确;

事件。是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件E是含有I个白球与没有白

球的两个互斥事件和，

事件CUK是必然事件，因此r（c£）=i,c正确；

43

因P（8）=—,P（C）=-,则P（8）wP（C）,即D不正确.

55

故选：C

5.抛掷一枚质地均匀的硬币〃次，记事件A="〃次中既有正面朝上又有反面朝上"，B="〃

次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）

A.当〃=2时，P（AcB）=；B.当〃=2时，事件A与事件8不独立

C.当〃=3时，P（AD8）=：D.当〃=3时，事件A与事件8不独立

8

【答案】D

【详解】当〃=2时，所有基本事件有：（正,正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，

且〃（A）=2,〃⑺=3,〃（Ac3）=2,P（A）=g,P（B）=|,P（A8）=；,

所以P（Ac8）=；,故A正确；

P（AB）¥P（A）P（B）,所以事件4与事件3不独立，故B正确；

当％=3时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），

（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），

（反，反，反），共8种，

n（AuB）=7,〃（A）=6,〃⑻=4,〃（4团=3,

7

所以P（4UB）=£,故C正确；

O

413

6A）=",P（B）=；，P（A8）=P（A）P（8）,所以事件A与事件〃独立，故D

错误.

故选：D.

二、填空题

6.一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽

取了30人，计算得这30人的平均身高为154cm,方差为30；从初二年级随机抽取了40人，

计算得这40人的平均身高为167cm,方差为20；从初三年级随机抽取了30人，计算得这

30人的平均身高为170cm,方差为10.依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高

的方差，则全校学生身高方差的估计值为.

【答案】64.4

【详解】初一学生的样本记为为，*2,…，/0,方差记为二，初二学生的样本记为H，X，…，

>'40»方差记为s）初三学生的样本记为4，z2,〜，方差记为

30x154+40x167+30x170

设样本的平均数为石，则3==164,

100

设样本的方差为

则一喘M洞之+£(，一时+为马时

■|=11=11=1

3030_

又2(乙7)=2七一3(反=(),

J=11=1

故£2(七7)6引=「-@•2卜；7)=0,

r-1i-l

同理工2(凹一,。一幼二0,卜，一z)(z—司=0,

t=l1=1

因此.=焉S(xr-^j2+E(^-^)2+E(x-y)2+E(y-^)2+E(2/_^)2+Z(^-^)2

IvUL/.iM1-1i-l/-Ii-l

=*x卜0x[30+(154—164)[+40x[20+(167—164)1+30x10+(170—164)[卜64.4.

故答案为:64.4.

7.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一"墩”难求.

甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙

2人中至少有I人购买到冰墩墩的概率为:，丙购买到冰墩墩的概率为：，则甲，乙、丙3

人中至少有I人购买到冰墩墩的概率为.

【答案】I

【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为所以甲乙2人均购买不到冰

墩墩的概率片=1-9；.

同理，丙购买不到冰墩墩的概率丹=1-：=：.

JJ

121

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率鸟=小鸟=彳乂£=£,于是甲乙丙3人中至少有

2

1人购买到冰墩墩的概率P=l-C=§.

故答案为：

三、解答题

8.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为“

由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为3:，若甲输了上一盘棋,

则下一盘棋甲赢的概率就变为g.已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢.

⑴求第四盘棋甲赢的概率；

⑵求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.

【答案】⑴弓11；⑵弓3.

1616

【详解】（1）记第四盘棋甲赢的事件为4它是第三盘琪甲赢和甲输的两个互斥事件4,4

的和,

339111