2023年中考数学压轴题及解析分类汇编

中考数学压轴题及解析分类汇编

2023年中考数学压轴题及解析分类汇编

2023中考数学压轴：相似三角形问题

2023中考数学压轴题函数相似三角形问题（一）

2023中考数学压轴题函数相似三角形问题（二）

2023中考数学压轴题函数相似三角形问题（三）

2023中考数学压轴；等腰三角形问题「7

2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题（一）

2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题（二）

2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题（三）

2023中考数学压轴：直角三角形问题一〉

2023中考数学压轴题函数直角三角形问题（一）

2023中考数学压轴题函数直角三角形问题（二）

2023中考数学压轴题函数直角三角形问题（三）

2023中考数学压轴：平行四边形问题’7

2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（一）

2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（二）

2023中考数学压轴题函数平行四边形问题（三）

2023中考数学压轴：梯形问题修

2023中考数学压轴题函数梯形问题（一）

2023中考数学压轴题函数梯形问题（二）

2023中考数学压轴题函数梯形问题（三）

2023中考数学压轴：面积问题合

2023中考数学压轴题函数面积问题（一）

2023中考数学压轴题函数面积问题（二）

2023中考数学压轴题函数面积问题（三）

2023中考数学压轴题:函数相似二角形问题（一）

例1、直线y=—1x+l分别交x轴、y轴于力、8两点，△NOB绕点。按逆时针方向

旋转90。后得到△COD,抛物线旷=。乂2+故+（:经过力、C、0三点.

（1）写出点A、B、C、。的坐标：

（2）求经过4、C、。三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；

（3）在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△CO。相似？假

设存在，请求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.

图1

思路点拨

1.图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角.

2.用待定系数法求抛物战的解析式，用配方法求顶点必标.

3.第(3)题判断NA8Q=90°是解题的前提.

4.△力BQ与△C。。相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的

位置关系分上下两种情形，点Q共有4个.

总分值解答

(1)4(3,0),8(0,1),C(0,3),。(一1,0).

(2)囚为抛物线y=ax2十bx十c经过A(3,0)、C(0,3)、D(~l,0)三点，所以

9。+38+c=0,a=-\

解得卜=2,

c=3,

a-b+c=0.c=3.

所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=—(x—1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).

(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+L直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD〃8G.

因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转常，所以48_LCD.因此A8J_8G,

即N4BQ=90°.

因为点Q在直线8G上，设点Q的坐标为(x,3x+l),那么BQ=十万幻？=土加丫.

RtACOD的两条直角边的比为1:3,如果RtAJlBQ与RtACOD相似，存在两种情况:

①当盛=3时，主幽=3.解得x=±3.所以Qj3,IO)，。2(-3,-8).

BAV10

②当丝时，主瞥=_L解得工=±\所以03(1,2)，。式一士0).

BA35/103333

图2图3

考点伸展

第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB_LBG；二

是BQ=4+(3幻2=±5/i0x.

我们换个思路解答第(3)题:

如图3,作GHJ_y轴，QN_Ly轴，垂足分别为H、N.

通过证明△力。8gZXBA/G,根据全等三角形的对应角相等，可以证明NABG=90°.

在RtZ\8G"中'sinZ1=—=»cosZ1=—•

x/10V10

①当柜=3时，BQ=3M.

BA

在Rt^8QN中，QN=8QsinNl=3，BN=BQcosNl=9.

当Q在8上方时，Q(3,10);当Q在B下方时，。式—3,-8).

②当丝=』时,BQ=」J访.同理得到Q(1,2)，24(--,0).

BA3333

例2、RtZsABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数)，=K(攵。0)在第一

x

象限内的图像与边交于点D(4,m),与48边交于点E(2,n),/XBOE的面积为2.

(1)求相与"的数量关系：

(2)当lanN4=，时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；

2

(3)设直线A8与y轴交于点F,点。在射线尸。上，在(2)的条件下，如果△A£O

与△£尸尸相似，求点尸的坐标.

图1

思路点拨

1.探求m与〃的数量关系，用m表示点8、D、E的坐标，是解题的突破口.

2.第(2)题留给第(3)题的隐含条件是加〃x轴.

3.如果△AE。与A/FP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况.

总分值斛答

k4"2=k

门)如图1,因为点D14,m)、E(2,加在反比例函数)，=一的图像上，所以《

x\2n-k.

整理，得〃=2m.

(2)如图2,过点E作E”_L8C,垂足为H.在Rtz\BEH中，tanZ5F/7=tanZ/l=-,

2

EH=2,所以2H=1.因此0(4,m),E[2,2m),8(4,2m+2).

△8DE的面积为2,所以，3O-E〃=L(m+l)x2=2.解得m=l.因此0(4,1),

22

E(2,2),8(4,3).

k

因为点D(4,1)在反比例函数)，=—的图像上，所以k=4.因此反比例函数的解析

x

4

式为

x

3=4火+〃，1

设直线4B的解析式为y=kx+8,代入8(4,3)、员2,2),得《解得人二一,

2=2k+b.2

b=\.

因此直线AB的函数解析式为y=1x+1.

图2图3图4

(3)如图3,因为直线)，=gx+l与y轴交于点F(0,1)，点。的坐标为(4,1),

所以FD〃x轴，NEFP=/EAO.因此△AE。与△EFP相似存在两种情况：

①如图3,当且二更时，—.解得叩=1.此时点P的坐标为(1,1).

AOFP2FP

pAFP7-v/sFP

②如图4,当巴=上二时，士=一,解得FP=5.此时点P的坐标为15,1).

AOEF2J5

考点伸展

此题的题设局部有条件在直角坐标系内的位置如图1所示〃，如果没有这个

条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：

1?

第(1)题的结论m与〃的数量关系不变.第(2)题反比例函数的解析式为y=-一，

x

直线48为)，=^；1-7.第(3)题即不再与x轴平行，AAE。与△EFP也不可能相似.

图5

2023中考数学压轴题函数相似二角形问题(二J

例3、如图1,梯形0/1BC,抛物线分别过点0(0,0)、4(2,0)、8(6,3).

(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

(2)将图1中梯形O/WC的上下底边所在的直线。.4、CB以相同的速度同时向上平移,

分别交抛物线于点Oi、4、Ci、Bi，得到如图2的梯形04&C1.设梯形Q4B1于的面积

为S,4、81的坐标分别为(xi，yi)、(X2，_V2).用含S的代数式表示X2—xi，并求出当S=36

时点41的坐标；

(3)在图1中，设点。的坐标为(1,3),动点户从点8出发，以每秒1个单位长度的

速度沿着线段8C运动，动点Q从点。出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、

Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间

为£,是否存在某一时刻b使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线力8、

抛物线的对称轴闱成的三角形相似？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由.

图1图2

感珞点披

1.第(2)题用含S为代数式表示X2—XI，我们反其道而行之，用Xl，X2表示S.再注

意平移过程中梯形的高保持不变，即九一％=3.通过代数变形就可以了.

2.第(3J题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准饰的

位置关系，因此此题的策略是先假设，再说理计算，后验证.

3.第(3)题的示意图，不变的关系是：直线48与x轴的夹角不变，直线718与抛物

线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与A8的交点G在x轴

的下方，或者假设交点G在x轴的上方.

总分值斛答

(1)抛物线的对称轴为直线X=l,解析式为>='/-,工，顶点为M[1,-1).

848

(2)梯形。出aC的面积S=2('1+工1”3-3(二+七)一6,由此得到

Xj+x2=-+2.由于％-凹=3,所以%—凹=」考一，工2—+!内=3.整理，得

38484

/、1/、172

+X-

（工2-%）-U21）-=3.因此得到9-%二;■

%+玉=14,x,=6,

当S=36时,解得《।:此时点儿的坐标为(6,3).

x2-x{=2.X-)—o.

(3)设直线力B与PQ交于点G,直线48与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴

交于点F,那么要探求相似的△G4F与ACQE,有一个公共角NG.

在aCEQ中，NGEQ是直线力8与抛物线对称轴的夹角，为定值.

在△GRF中，NG4F是直线48与x轴的夹角，也为定值，而且NGEQH/G4凡

因此只存在NGQE=/G4F的可能，△GQES/\GAF.这时NGAF=NGQE=NPQD.

由于tan/GA尸=?,tanZP0D=-^=—,所以？二上一.解得/二型.

4QP5-t45-t7

图3图4

例4、如图1,点力(-2,4)和点8(1,0)都在抛物线y="＞+2"a+〃上.

(1)求m、n；

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为“，点8的对应点为夕，假

设四边形力"B'B为菱形,求平移后抛物线的表达式：

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线4B'的交点为C,试在x轴上找一个点D,使

得以点B'、C、。为顶点的三角形与△ABC相似.

图1

思珞点拨

1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色.第(1)题用在待定系数法

中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用来求点B'的坐标、AC和B'C的长.

2.抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变.

3.探求比与CO相似，根据菱形的性质，ZBAC=ZCBrD,因此按照夹角

的两边对应成比例，分两种情况讨论.

总分值解答

(1)因为点4(-2,4］和点8(1,0)都在抛物线y=/nd+2"a+〃上，所以

4m-4m+n=4,初出4.

.解得m=一一，n=4.

m+2m+〃=0.3

(2)如图2.由点力(-2,4)和点3(1.0),可得＜E=S.因为四边形B'B为菱

形，所以力力’=B'B=AB=5.因为＞二一3工2-31+4=一：(工+1『+与，所以原抛

物线的对称轴x=-1向右平移5个单位后，对应的直线为x=4.

因此平移后的抛物线的解析式为y=-刍6-4)2+3.

33

图2

(3)由点力(-2,4)和点夕(6,0),可得A8'=4>/5.

RNR1C'7R1C_

如图2,由力M〃CN,可得2^=上上，即一二一.解得B'C=J^.所以

B'MB'A84x/5

AC=3后.根据菱形的性质，在△?1&：与△夕CD中，NBAC=NCB'D.

①如图3,当空=0£时，正，解得8'。=3.此时0。=3,点D的坐

ACB'D3石B'D

标为［3,0).

②如图4,当---=-----时，—产=—产-,解得8'。=一.此时。。=—，点。的

ACB'C3也小33

坐标为(上13，0).

3

图3图4

考点伸展

在此题情境下，我们还可以探求△夕CD与AABB'相似，其实这是有公共底角的两个

等腰三角形，容易想象，存在两种情况.

我们也可以讨论△)CD与ACBB'相似，这两个三角形有一组公共角NB,根据对应

边成比例，分两种情况计算.

2023中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)

例5、如图1,抛物线经过点力(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.

(1)求此抛物线的解析式：

(2)P是抛物线上的一个动点，过户作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以

A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设

不存在，请说明理由；

(3)在直线4c上方的抛物线是有一点D,使得的面积最大，求出点。的坐标.

图1

思珞点拨

1.抛物线与X轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.

2.数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.

3.按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.

4.把△DG4可以分割为共底的两个三角形，高的和等于。4

总分值斛答

(1)因为抛物线与x轴交于4(4,0)、B(1,0)两点，设抛物线的解析式为

y=a(x—l)(x—4),代入点C的坐标(0,-2),解得〃=-'.所以抛物线的解析式为

y=—^(x-l)(x-4)=~~x2+"|x-2.

(2)设点P的坐标为",一^(工一1)(五—4)).

2

①如图2,当点P在x轴上方时，l<x<4,PM=一一(x-l)(x-4),AM=4-x.

2

AMAn--U-1X-V-4)

如果」二」-二2,那么'-------------=2.解得x=5不合题意.

PMCO4-x

如果器=怒斗那么2：二)4解得x=2.

此时点P的坐标为(2,1).

②如图3,当点P在点人的右侧时，x>4,PM=-U-l)(x-4),AM=x-4.

2

—(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=5.此时点P的坐标为(5,-2).

x-4

1(X_1)(X_4)

解方程2-----------得x=2不合题意.

x-42

③如图4,当点P在点8的左侧时，xVl,PM=1(x-l)(x-4),AM=4-x.

^(x-l)(x-4)

解方程2-----------=2,得x=-3.此时点P的坐标为(-3,-14).

4-x

解方程2-----------=-,得x=0.此时点P与点。重合，不合题意.

4-x2

综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-2).

图2图3图4

(3)如图5,过点。作x轴的垂线交力C于£直线4c的解析式为y二耳入一2.

设点。的横坐标为m(l<相<4),那么点。的坐标为(〃2,-■!■〃/+9-2),点E的

22

11,511,

坐标为(加,一/2).所以£)£*=(——m~+-m-2)-(—m-2)=——m~+Im.

22222

因此Sgr=—(--m2+2m)x4=-m2+4m=-(m-2)2+4.

iw/ii2、27

当机=2时，△OS的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).

图5图6

考点伸展

第(3)题也可以这样解：

如图6,过。点构造矩形OAMN,那么△DC力的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△

CDN和△ADM的面积.

设点0的横坐标为(m,n)(1<m<4),那么

S=—(2n+2)x4——m(n+2)——〃(4-ni)=-m+2〃+4.

222

175,

由于〃=——m~+—w-2,所以S=T〃~+4]〃.

22

3

例6、如图1,A4BC中，AB=5,AC=3,cosA=—.。为射线加上的点(点。

10

不与点8重合)，作0E//8C交射线G4于点£.

(1)假设CE=x,BD=y,求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；

(2)当分别以线段BD,CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3)当点。在AB边上时，8c边上是否存在点凡使△A8C与相似？假设存在，

请求出线段8户的长；假设不存在，请说明理由.

图1备用图备用图

思路点拨

1.先解读背景图，是等腰三角形，那么第(3)题中符合条件的△!)£『也是等

腰三角形.

2.用含有x的式子表示8以DE、MN是解答第(2)题的先决条件，注意点E的位置

不同，DE、MN表示的形式分两种情况.

3.求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符

合题意.

4.第(3)题按照OE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我

们轻松解题.

总分值解答

ALJ3

(1)如图2,BHLAC,垂足为点H.在中，AB=5,cosA=——=—,

AB10

3I

所以4H=」=一AC.所以8H垂直平分AC,△力8c为等腰三角形，AB=CB=5.

22

AC0,S

因为0E〃8C,所以」=—,即2=』.于是得到了=一工，(X>0].

DBECyx3

(2)如图3,图4,因为0E〃8C,所以匹二空，—,即%J-.,

BCACBCAC53

竺iJ'S.因此。七=213二圆心距MV=3m.

5336

图2图3图4

在0M中，rw=—RD=—j=—x,在0N中.=—CE=—x.

22622

①当两圆外切时，*'+'工=结二二!.解得x=应或者x=-10.

62613

如图5,符合题意的解为x=U,此时。七=生二义=竺.

13313

②当两圆内切时，=

626

当xV6时，解得工=?，如图6,此时E在G1的延长线上，D£=5O-3)=15；

737

当x>6时，解得x=10,如图7,此时E在。的延长线上，DE=5(D=受

33

图5图6图7

(3)因为ZVIBC是等腰三角形，因此当△48C与△/)£尸相似时，△£)£1尸也是等腰三角

形.

如图8,当D、E、尸为ZVIBC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，

此时8r=2.5.根据对称性，当尸在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF=4.1.

125

如图9,当DE为等腰三角形DM的底边时，四边形DEC9是平行四边形，此时BF=—.

34

图8图9图10图11

考点伸展:第(3)题的情景是一道典型题，如图10,如图11,4H是△48C的高，D、E、F

为4ABC的三边的中点，那么四边形OE”尸是等腰梯形.

例7如图1,在直角坐标系X。中，设点4(0,£),点Qit,b).平移二次函数

)，=T/的图象，得到的抛物线尸满足两个条件：①顶点为Q：②与x轴相交于8、。两点

(\OB\<\OC\],连结4B.

(1)是否存在这样的抛物线凡使得|。42二1。@loq?请你作出判断，并说明理由:

3

(2)如果4Q〃BC,且tan乙48。=5，求抛物线?对应的二次函数的解析式.

思路点拨

1.数形结合思想，把|。1=|。同joq转化为L二打.引.

2.如果力Q〃g，那么以。儿何为邻边的矩形是正方形，数形结合得到Lb.

3.分类讨论tanNABO=1,按照小8、C的位置关系分为四种情况.A在y轴王半

轴时.，分为B、C在y轴同侧和两侧两种情况；4在y轴负半轴时，分为B、C在y轴同侧和

两侧两种情况.

总分值斛答

(1)因为平移)，=T.d的图象得到的抛物线尸的顶点为。(t,b),所以抛物线尸对

应的解析式为y=T(x7)2十从

因为抛物线与x轴有两个交点，因此f〃>0.

令y=0,得OB-聆,OC=f+聆.

以当6=2〃时，存在抛物线/使得|Q4『=|QB|・|OC|.

(2)因为力Q〃8C,所以亡=b,于是抛物线?为》=一"工一/)2+/.解得

X1=r-1,x2=/+1.

①当，>0时，由|OB|<|OC|,得

如图2,当，一1>0时，由tanNA8O=」=3=—L,解得1=3.此时二次函数

2\0B\t-\

的解析式为＞'=—3/+18X-24.

如图3,当，一1<0时，由tanN480=3=3=」一，解得，=3.此时二次

2\OB\-/+15

函数的解析式为y=-3/+史工+曳.

525125

图2图3

3

②如图4,如图5,当f<0时，由0<|OC],将一，代/,可得，=-三,，=一3.此

时二次函数的解析式为），=3X?+更x一也或）,=&丫2+18工+24.

525125

图4图5

考点伸展

第（2）题还可以这样分类讨论：

0A3

因为AQ[[BC,所以t=b,于是抛物线F为y=T（x—f）~+，.由tanNABO-——,

2

得OB=—OA.

3

2

①把8（§f,0）代入），=T（XT）2+/,得，=±3（如图2,图5）.

23

②把8（一一f,0）代入y=TQT）2+/,得，=±-（如图3,图4）.

35

2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题（一）

例1、如图1,正方形31仇；的边长为2,顶点4、C分别在X、y轴的正半轴上，M是

8C的中点.P（0,m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交48的延长线于点D.

（1）求点。的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APO是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、3三点的抛物线与x轴正半轴交于点&过点。作直线ME的垂线，

垂足为，（如图2）.当点P从。向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点，所经过

的路长（不必写解答过程）.

图1图2

思珞点救

1.用含m的代数式表示表示△4PD的三边长，为解等腰三角形做好准备.

2.探求△4P0是等腰三角形，分三种情况列方程求解.

3.猜想点H的运动轨迹是一个难题.不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt

△0〃M的斜边长0M是定值，以为直径的圆过点〃、C.

总分依解答

(1)因为PC//OB,所以勺=上"_=t=1.因此PM=DM,CP=BD=2-m.所以

BDDMMB

AD=4-m.于是得到点。的坐标为(2,4—m).

(2)在△APO中，AD2=(4-W)2,AP2=W2+4,PD2=(2PM)2=4+4(2-m)2.

①当/1P=40时，(4一机)2=〃/+4.解得川=2(如图3).

2

②当尸A=PD时，帆2+4=4+4Q一⑼2.解得加=±(如图4)或〃?=4(不合题意，

3

舍去).

③当D4=DP时，(4-〃7)2=4+4(2-〃Z)2.解得机=2(如图5)或加=2(不合题意，

3

舍去).

综上所述，当△力P。为等腰三角形时，m的值为2,士或2.

233

图3图4图5

[3)点H所经过的路径长为且乃.

4

考点伸展

第(2)题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：

①如图3,当4P=力。时垂直平分PD,那么△PCMs2\M84.所以江=蟠='.因

CMBA2

此PC=_L,,n=l,

22

②如图4,当必=P。时，P在4D的垂直平分线上.所以D4=2PO.因此4一"?=2切.解

第(2)题的思路是这样的：

如图6,在RtAOMM中，斜边。M为定值，因此以0M为直径的。G经过点，，也就是

说点”在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图7,P与。重合时，是点H运动

的起点，NCOH=45°,NCGH=90°.

图6图7

例2如图1,一次函数y=-x+7与正比例函数),=9工的图象交于点4且与x轴

3

交于点B.

(1)求点/1和点8的坐标;

(2)过点A作轴于点C,过点B作直线T〃y轴.动

点P从点。出发，以每秒1个单位长的速度，沿。一C一4

的路线向点4运动；同时直线/从点8出发，以相同速度

向左平移，在平移过程中，直线/交x轴于点R,交线段邮

或线段力。于点Q.当点P到达点力时，点P和直线，都

停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为C秒.

①当£为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积

为8?

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求t的值；假设不

存在，请说明理由.

图1

思路点拨

1.把图1复制假设干个，在每一个图形中解决一个问题.

2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上，P在C4上运动

时，高是定值4,最大面枳为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形4PQ,按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨

论三种情况.

总分值斛答

y=-x+l,

(1)解方程组4得所以点力的坐标是(3,4).

尸尸’y=4.

令y=[r+7=0，得x=7.所以点B的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P在0C上运动时，0WCV4.由S△八次S梯形CO/M-S4ACP~S/\POR=8>

得_L(3+7-，)x4-'x4x(4-f)_'x/(7-/)=8.整理，得/-&+12=0.解得C=2或±=6

222

[舍去).如图3,当P在CA上运动时，的最大面积为6.

因此，当t=2时，以4、P、R为顶点的三角形的面积为8.

图2图3图4

②我们先讨论P在0C上运动时的情形，0WCV4.

如图1,在△40B中，/B=45°,ZAOB>45°,。8=7,48=4及，所以。

AB.因此N0/B>N/08>NB.

如图4,点P由。向C运动的过程中，OP=BR=RQ,所以PQ〃x轴.

因此乙4QP=45°保持不变，NP4Q越来越大，所以只存在N/PQ=N4QP的情况.

此时点力在PQ的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以BR=1,t=l.

我们再来讨论P在。上运动时的情形，4WCV7.

a5590

在△APQ中，cosNA=g为定值，AP=7-t,AQ=OA-OQ=OA--OR=-t-y

如图5,当AP=42时，解方程7-.=3-型，得/=史.

338

如图6,当QP=Q4时，点Q在弘的垂直平分线上，4P=2(。/?一。P).解方程

7-r=2[(7-/)-(r-4)],得£=5.

-AQ

如7,当PA=PQ时，那么COS/A=2----因此AQ=24PcosNA.解方程

AP

520、3省226

—/---=2(7—/)x—»得：=----

33543

综上所述，t=l或生或5或超时，△4PQ是等腰三角形.

843

图5图6图7

考点伸展

当P在G4上，QP=Q4时，也可以用力。=2AQ-cosNA来求解.

2023中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)

例3如图1,在直角坐标平面内有点&6,0),8(0,8),仇一4,0),点M、N分另।.为线

段4c和射线48上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向力方向作匀速运动，点

N以5个单位长度/秒的速度自力向8方向作匀速运动，MN交OB于点P.

(1)求证：//7：汽尸为定值；

(2)假设ARNP与△MM4相似，求CM的长；

(3)假设△8NP是等腰三角形，求CM的长.

图1

思珞点拨

1.第(1)题求证MN：NP的值要根据点N的位置分两种情况.这个结论为后面的计

算提供了方便.

2.第(2)题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直

角二角形时才可能相似.

3.第(3)题探求等腰三角形，要两级(两层)分类，先按照点N的位置分类，再按

照顶角的顶点分类.注意当N在的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况.

4.探求等腰三角形BNP,N在48上时，是确定的，把夹N8的两边的长先表示出

来，再分类计算.

总分值斛答

(1)如图2,图3,作NQ_Lx轴，垂足为Q.设点M、N的运动时间为t秒.

在RtZ\4NQ中，AN=5t,NQ=4t,AQ=3t.

在图2中，QO=6-3t,MQ=10-53所以MN：NP=MQ：QO=5：3.

在图3中，QO=3亡-6,MQ=St~10,所以MN：〃P=MQ：QO=5：3.

(2)因为aEVP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一

个钝角三角形，要么是两个直角三角形.只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似.

如图4,△BNPs^MNA,在RtZWMN中，所以5r=3.解得

AM510-2/5

3060

t=—.此时CM=—.

图2图3图4

(3)如图5,图6,图7中，—,即"=2.所以0尸二9乙

QNMN由55

8

①当N在4B上时，在△BNP中，NB是确定的，BP=8--/,BN=10—5/.

5

8i()20

(I)如图5,当BP=BN时，解方程8—一r=10-5/,得/=一.止匕时CM=—.

51717

4\(RA45

(II)如图6,当NB=NP时，BE=一BN.解方程-8--7=一(1()-51),得，=巳.此

5215J54

时CM=—.

2

141、4，X、

(HI)当尸8=PN时，上BN=-BP.解方程一(z10-5。=-8—,得t的值为负数,

252515)

因此不存在PB=PN的情况.

②如图7,当点N在线段的延长线上时，NB是钝角，只存在8P=BN的可能，此

时&V=5，-10.解方程8-3=551(),得"型.此时CM=".

51111

图5图6图7

考点伸展

14

如图6,当N8=NP时，△NM/1是等腰三角形，—BN=—BP,这样计算简便一些.