2023年近世代数练习题题库

§1第一章基础知识

1.1鉴定题：

1.2设和所有是非空集合，那么。()

1.3AXB=BXA()

1.4只要是到一一映射，那么必有唯一逆映射。()

1.5假如Q是A到九一一映射，则e[0(a)]%()

1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。()

1.7设、、所有是非空集合，则到每个映射所有叫作二元运算。()

1.8在整数集Z上，定义“"：ab=ab(a,b£Z),则“”是Z一个二元运算。

()

1.9整数整除关系是2一个等价关系。()

1.10填空题：

1.11若八二{0,1},则AxA二<,

1.12设八二{1,2},B={a,b},则AXB=。

1.13设={1,2,3}B={a,b),WlJAxB=。

1.14设A二{1,2},则AxA=o

1.15设集合；，则有。

1.16假如是和间一一映射，是一个元，则。

1.17设八二11,a2,-a8},则A上不问样二元运算共有个。

1.18设A、B是集合，|A|=口3|=3,则共可定义个从A到B映射,

其中有个单射：有个满射，有个双射、

1.19设A是n元集，B是m元集，那么A到R映射共有个.

1.20设A={a,b,c},则A到A一一映射共有个.

1.21设A={a,b,c,d"},则A——变换共有个.

1.22集合元间关系〜叫做等价关系，假如〜适合下列三个条件：

1.23设4={4b,c},那么A所有不同样等价关系个数为

1.24设〜是集合元间一个等价关系，它决定一个分类：是两个等价类。

则O

1.25设集合有一个分类，其中和是两个类，假如，那么

1.26设A={1,2,3,4,5,6),规定A等价关系〜以下：a〜b2a-b,

那么A所有不同样等价类是。

1.27设M是实数域R上全体对称矩阵集合，〜是M上协议关系，则由〜绐出M

所有不同样等价类个数是。

1.28在数域F上所有n阶方阵集合M(F)中，规定等价关系A~B秩(A);

秩(B),则这个等价关系决定等价类有个。

1.29设MIOO(F)是数域F上所有100阶方阵集合，在M100(F)中规定等价关系

〜以下：A~B秩(2=秩出)，则这个等价关系所决定等价类共有个。

1.30若{有理数域上所有3级方阵},定义秩。)=秩(B),则

由”〜，拟定等价类有个。

1.31证实题：

1.32设是集合A到B一个映射，对于，规定关系：.证实：八”

是A一个等价关系.

1.33在复数集C中规定关系：.证实：”是C一个等价关系.

1.34在n阶矩阵集合中规定关系.证实：'是一个等价关系.

设“~”是集合A一个关系，且满足：(1)对任意，有；(2)对任意，若就有.

证实：是A一个等价关系.

设G是一个群，在G中规定关系“~”：存在于，使得.证实：是G一个等价

关系.

第二章群论

鉴定题：

§2.1群定义.

设非空集合G相关一个乘法运算满足以下四条：

(A)G对于这个乘法运算所有是封闭：

(B)(a,b,cG,所有有(ab)c=a(bc)成立；

(0存在G,使得(aG,所有有ea二a成立：

(D)(aG,所有存在aC,使得aa=e成立。

则G相关这个乘法运算组成一个群。()

设非空集合G相关一个乘法运算满足以下四条：

A)G对于这个乘法运算是封闭；

B)a,b,cG,所有有(ab)c=a(bc)成立；

C)存在。G,使得aG,所有有ae=a成立；

D)aG,所有存在aG,使得aa二e成立。

则G相关这个乘法运算组成一个群。()

1.1设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,假如(DG对乘法运算

是封闭(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律，则G组成群。()

1.2设G是一个有限丰空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法，假如(D.G对乘法运

算是封闭；(2).乘法适合给合律和消去律，则G对所给乘法组成一个群。()

1.3实数集R相关数乘法成群。()

1.4若G是一个n阶群,aG,|a|表达a阶,则|a|。()

1.5若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

设Q为有理数集，在Q上定义二元运算""，ab=a+b+ab()组成一个群。()

§2.2变换群、置换群、循环群

个子群。（）

1.30若H是群G一个非空有限子集，且a,bH所有有abH成立，则H是G

一个子群。（）

1.31循环群子群也是循环群。（）

1.32假如群子群是循环群，那么也是循环群。（）

1.33一个阶是11群只有两个子群。（）

1.34有限群G中每个元素〃阶所有整除群G阶。（）

1.35设G是一个n阶群，m|n,则G中一定有m阶子群存在。（）

1.36若G是60阶群，则G有14阶子群。（）

1.37设G是60阶群，则G有40阶子群。（）

1.38阶为100群一定含25阶元。（）

1.39阶为100群一定含25阶子群。（）

1.40阶为81群G中，一定具有3阶元。（）

1.41设H是群G一个非空子集，则。（）

1.42设H是群G一个非空子集，则。（）

1.43群G子群H是不变子群充要条件为VgeG,V〃£”;g口”。

()

1.44群一个子群元素个数和每一个左陪集个数相等.（）

1.45指数为2子群不是不变子群。（）

1.46若NH.HG,则NG。（）

1.47若N是群G不变子群,N是群N不变子群，则N是G不变子群。（）

1.48设HWG,KWG,则HKWG。()

若NN,HG那么NHG。()

§2.4商群、群同态定理,

1.49群之间同态关系是等价关系。（）

1.50循环群商群是循环群。()

1.51设f:是群到群同态满射，ae,则a和f(a)阶相同。()

1.52设G是有限群，IKG,则。()

1.53若是群G到同态满射，N是G一个不变子群，则(N)是不变子

群，且。()

1.54设f是群G到群同态映射，HG,贝Jf(H)。()

1.55设f是群G到群同态映射，HSG则f(H)<°()

1.56若是群G到一个同态满射,N是G一个不变子群,则(N)是不变子群,且二

1.57若是群G到同态满射,是一个不变子群，()表达N原象,则()是G不变子群,

且邕。()

2设G和所有是群,N=(),则NG,且。()

2.1填空题:

2.2在群G中，a,bGG,a2=e,a-Iba=b2,则|b|=。

2.3在互换群G中，a,b£G,|a|=8,|b|=3,则|a-2b|

2.4设a是群G元,a阶为6,则a4阶为。

2.5设a是群G中一个8阶元,则a阶为_______。

2.6设G是互换群，a、bG,|a|=5,|b|=7,则|ab|=。

2.7群AG中有个1阶元。

2.8在S5中，4阶元个数为。

2.9在54中，3阶元个数为<,

2.10设为群，，若，则o

2.11设群G={e,al,a2,…，an-1),运算为乘法，e为G单位元，则aln

2.12若a,b是互换群G中5阶元和72阶元，则ab阶为。

2.13在整数加群Z中，<4>n<6>=。

2.1410阶互换群G所有子群个数是。

2.15阶数最小非互换群阶数是o一个有限非可换群最少具有

____________个元素.

2.16任意群G一定同构于G一个。

2.17n次对称群Sn阶是。

10221sA7父Q\

分解为互不相交循环之积是

(543961827)

_______O

2.19n阶有限群G一定置换群。

2.20每一个有限群所有和一个群同构。

2.21己知为上元素，贝IJ=o

2.22给出一个5-循环置换，那么o

2.23在4次史称群S4中，(134)2(312)-1=.

2.24在4次对称群S4中，(24)(231)=,(4321)-1=

,(132)阶为o

2.25在6次充■称群S中，(1235)(36)=。

2.26(2431)-，=。

2.27设群G元a阶是n,则ak阶是.

2.28设群中元素阶为,假如，那么和存在整除关系为。

2.29已知群中元素阶等于50,则阶等于。

2.30设为循环群，那么(1)若阶为无限，则同构于___________.

(2)若阶为n,则同构于o

2.31若群G是一个6阶循环群，则G和(模6剩下类同构)

同构。

2.32设=是循环群，则和模剩下类加群同构充要条件是

2.33整数加群(Z,+)两个生成元是—+1和T。

2.34整数加群Z有个生成元.

2.35整数加群(Z,+)生成元是。

2.36无限循环群G二(a)生成元为_a逆___________o

2.37无限循环群G中能作为G生成元元素共有个。

2.38若G=(a)是一个无限循环乘法群,则G另一个生成元是a逆元—。

2.39剩下类加群Z共有_4个元可作为它生成元。

2.4016阶循环群G中能作为G生成元元素个数为—8o

2.41模10<1379>剩下类加群(Z,+)中能作为2生成元元素有_________。

2.42设=是12阶循环群，则生成元是。

2.43设是一个阶群，其中是一个素数，是一个正整数，则真子群一切也许

阶数是O

2.44设G是p阶群，(p是素数)，则G生成元有个.

2.45剩下类加群Z12有个生成元.

2.46设H是群G非空子集,则H是G子群充要条件是。

2.47设6=(a)是6阶循环群，则G子群有。

2.48设群G是24阶群，G中元素a阶是6,则元素a2阶为

子群H=<a3>在G中指数是o

2.49设为群子群，则是群子群充足必需条件为。

2.50设是群子群，，则。

2.51在3次对称群S3中，H={(1),(12)}是S3一个子群，则H(23)=

2.52____在3次对称群S3中，H=((1),(23)),则S3对H右陪集分解式是

________O

2.53S,子群H={(4(123),(132)}一切右陪集。

2.54G=(a)是21阶群，H=.则[G:H]=。

2.55凯莱定理说：任一个子群所有同一个同构。

2.56凯莱定理内容是：任一个子群所有同一个________同构。

2.57设G是群,N是G非空子集,则NAG充要条件是。

2.586阶循环群有个子群.

2.59设G是由a生成30阶循环群,H=<a-5>,则G/H=°

2.60设G=(a)是10阶群，H=(a)，则=。

2.61设：A,，则。

2.6216阶循环群G中能作为G生成元元素个数为。

2.63设：A,，则=________。

2.64模10剩下类加群Z10生成元为。

2.65设a是群G中一个6阶元，则阶为。

2.66一个6阶非互换群G中非单位元阶一定是o

2.67剩下类加群(42，+)中能作为它生成元元素有。

2.68设G是群，a,b£G,|a|=12,则|bal0bT|=。

2.69设G是一个20阶互换群，aeG,|a|=2,则G/<a>g

2.70在整数加群Z中，，，则o

2.71在整数加群Z中，贝NG:H]=o

2.72在12阶循环群G中，G=<a>,H=<a2>,则=。

2.73在4次而称群S4中，S={(123)},则<S>=。

2.74在S5中，=(235)(13)(24),则=。

2.7521阶群G中，7阶子群个数为。

2.76设N,商群中单位元是。

2.77在Z24中，24,H=<[a]>,Z8,则[a]=。

2.78在整数加群Z中，H=<a>,则@=。

2.79设Gl,G2分别为m,n阶循环群，则G1〜G2充要条件是

2.80Z倒Z2所有同态映射是o

2.81在整数加群Z中，<12>+<18>+<10>=o

2.82在同构意义下，6阶群有种。

2.83设G是模4剩下类加群，那么Aut（G）=。

2.84设G是正有理数作成乘法群，a,a=（p,q为奇数，n为整数），令

a是G至IJ（Z,+）同态映射，则Ker=

2.85设G,H是两个阶互素有限群，则G到H同态映射f为

2.86在环R=4Z={4k|k£Z）中，（8）=。

2.87在整数加群Z中，S={22,32}则<S>=。

2.88__设群中元素阶为，假如，那么和存在整除关系为

_________O

2.89设是一个阶互换群，是一个（）阶元，则商群阶等于

2.90

7、一个非正方形长方形S对称群是{}»

13.平面上正方形对称群是o

72.设a,b是群G两个元素，满足aba二ba2b,a3=Lb7=l,则b二。

2.91证实题：

2.92令.证实,G对于矩阵一般乘法作在一个群.

2.93设G是整数集，规定运算：.证实：G对运算作成一个群.

2.94方程13一1=0在复数范围内三个根相关数乘法组成群.

2.95设证实：相关矩阵乘法组成群.

2.96全体可逆阶方阵集合（）相关矩阵乘法组成一个非互换群.这个群单位

元是单位矩阵，每个元素（即可逆矩阵）逆元是逆矩阵.

2.97设为实数集，，令，将所有这么变换组成一个集合，试证实：对于变换

一般乘法，作成一个群。

2.98证实:若群G每个元素所有满足方程，则G是一个Abel群(互换群).

2.99设G是一个群,证实:G是互换群充足必需条件是，对任意，所有有.

2.100证实：在群G中，和有相同阶.

2.101证实：在群G中，和有相同阶.

2.102证实：在n阶群G中每个元所有满足xn=e.

2.103设为群..证实：和b有相同阶.

2.104证实：在群G中,ab和ba有相同阶.

2.105设为群..证实：，，有相同阶.

2.106设为到同构映射，.证实：和有相同阶.

2.107设为群，，阶为，，.证实：.

2.108设，阶为，证实阶是，其中。

2.109证实：循环群是互换群.

2.110证实:有限群中阶数大于2元个数必是偶数.

2.111证实:任意偶数阶群必具有阶为2元素.

2.112设为素数.证实：中每一个非零元所有是生成元.

2.113设G是一个群，.若a阶是正整数n.证实：对.

2.114设G是一个互换群，m是固定正整数.令.证实：H是G一个子群.

2.115假定和是一个群G两个元，并且，又假定阶是，阶是,，证实:

阶是。

2.116设是群G子群.证实：也是G一个子群.

2.117设G是一个群，令.证实：C是G一个子群.

2.118设G是一个群,S是G一个非空子集.令.证实：C(S)是G一个子群.

2.119若群G阶是素数p,则G是一个循环群,试证之.

2.120证实:循环群子群也是循环群.

2.121若群G和群同态，且G是循环群,证实：也是循环群.

2.122证实:阶为群(p是素数)一定包具有一个阶为p子群.

2.123设H,K是群G不变子群,证实:HK也是G不变子群。

2.124设H,K是群G不变子群，且.证实：，所有有.

2.125设H,K是群G不变子群,证实：也是G不变子群。

2.126设H是群G子群,N是G不变子群。证实:HN是G子群.

2.127设G是一个n阶有限群.证实:G每一个元素所有满足方程.

2.128设G是一个群，是G中心,证实:C是G一个不变子群.

2.129设C是群G中心，即.且商群是循环群.证实:G互换群.

2.130若G是循环群,H是G一个子群.证实：也是循环群.

2.131设G是一个群，令.证实：是G到G同构映射充足必需条件是：G是一

个互换群.

2.132设H是群G子群，令NG(H)={x|x(G,xH=Hx),证实NG(H)是G子群.

2.133设G是群，令C;{x|x(G,(y(G,xy;yx},证实C是G正规子群。

2.134设G=(a)是一无限循环群，证实G生成元只有两个。

2.135设G是互换群，证实G中一切有限阶元素组成集合T是G一个子群，且

除单位元之外不具有限阶元素。

2.136取定群G元u,在G中定义新“。"：aob=aub.a.bG.证实(G,

o)是群.

2.137证实循环群子群也是循环群。

2.138设p是一个素数，证实2P阶群G中一定有一个p阶子群N。

2.139若G是一个群,。是G单位元,G中任何元所有是方程解，证实G是一个

互换群。

2.140若G是一个循环群,N是G一个子群,证实也是一个循环群.

2.141证实阶是素数群一定是循环群。

2.142设G是一个43阶有限群,证实G子群只有单位元群及G自身。

2.143证实：群G为互换群为G到G一个同构映射。

2.144设G是一个1000阶互换群，a是G一个10()阶元，证实。

2.145设G是群，f:G-G,aa2,()证实£是群G自同态G是互换群。

2.146设G={(a,b)|a,b|R,}，在G上定义““：(a,b)证实

(G,)组成一个群。

2.147设G是有限互换群，f：GG,f(g)=gk(gG)证实

fAut(G)(k,|G|)=lo

2.148设G是100阶有限互换群，f:GG,f(g)=g49(gG),证实

fAut(G)o

2.149设A<G,B<G假如存在a,b^G,使得Aa=Bb,则A=B。

2.150设G是互换群，ni是固定整数，令11={2忆G,am=c},证实IIG。

2.151设HG,令CG(H)={g|gG,hH,gh=hg},证实CG(H)Go

2.152设G是非空有限集合，"”是G一个二元运算，“”适合结合律及

左、右消去律，证实：(G.)组成一个群，当G是无限集时呢？

2.153设G是阶互换群，HG,|H|=200,证实：是一个循环群。

2.154证实：无限循环群生成元个数只有两个。反之，一个循环群G生成元只有

两个，则G是否一定同构于Z?

2.155设G是一个循环群，|G|3,4,(；生成元个数为2,证实GZ。

2.156设G是有限群，HG,aG,证实存在最小正整数m,使amH,且m|。

2.157设G是奇阶群，则对任意gG,存在唯一元xG,使g=x2。

2.158证实：整数加群Z和偶数加群2Z同构。

2.159设HG,8是G一个固定元素，gHg-l={ghg-1|h11}(1)证实：gHg-

1Go(2)证实：H。

2.160设。=,G对复数加法组成群，H对矩阵加法也组成群，证实：G乩

2.161设H是群G非空子集，且H中元阶所有有限，证实：HG。

2.162设N«G,|G/N|=10,geG,|g|=12,证实：/右N。

2.163设G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,<a>A<b>={e}.正实：

abi=[m,n]（[m,n]是m,n最小公倍数）。

2.164设是一个n次置换，集合X二(1,2,3,…，n),在X中，规定关系

““为k~l，使r(k)=l.证实：是X上一个等价关系。

2.165设k{⑴，(12)(34),(13)(24),(14)(23)}证实：KS4。

2.166设G是群，HG,规定关系a~b证实：~是G一个等价关系,

且a所在等价类[a]=Hao

2.167证实：15阶群至多具有一个5阶子群。

2.168设HG,若H任意两个左陪集乘积仍是一个左陪集，证实HG。

2.169设NG,[G:N]=,证实：对，恒有。

2.170设NG,[G:N]=4,证实:存在MG,且[G:M]=2。

2.171设H,G,证实：ab|=6o

2.172设H(；,证实：11G假如由。

2.173设km,证实:=Zk。

2.174群G非平凡子群N称为G极小子群，假如不存在子群B使得，证实：整

数加群Z没有极小子群。

2.175假如是循环群，证实：G是互换群(其中C(G)是群G中心)。

2.176证实：6阶互换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。

2.177证实：在一个有单位元环R中，全体可逆元组成集合对R乘法组成一个

群。

2.178设H,K则对任意a,bG,则HaKb=或HaKb是HK一个右陪集，该

结果能否推广？

2.179设是群.证实:假如对任意，有，则是互换群.

2.180证实:在群C中，假如质)=«，则从L=

2.181设为加群.证实:任给，，有.

2.182证实：一人子群左陪集所有元素逆元素组成这个子群一个右陪集。

2.183设群子群在中指数为2.证实：，

2.184设为群，是子群.证实：中每个元素属于且属于一个左陪集.

2.185设是群，是子群，.则是子群.

2.186设是群，是非空子集.证实：中和中每个元素所有可互换元素全体

是子群.

2.187设.证实：是子群.

2.188设是互换群.是一个固定正整数.令，.证实：和所有是子群.

2.189证实：®J2,…Jr)=<1).

2.190设G是群,证实：G中心C={gWG|卬=xp,Vx€G}是G正规子群.

2.191设G是群,440,火4。,证实：MKda

2.192设是群，和分别是子群和正规子群.证实：（。是正规子群；（2）

是子群.

2.193设为中心.证实:假如是循环群，则是互换群.

2.194设为群,对任意，称为换位子，所有换位子生成子群叫做换位子

群，记作.证实：（1）是正规子群；（2）商群是互换群；（3）若，且为互换群，则

是子群.注:是由所有换位子也许乘积所组成集合.

2.195设和为群，为到同态映射.•证实：当且仅当对任意，有

2.196设和为群，为到同态映射.，.证实:

2.197设为到同态映射，.为子群.证实:

2.198设和分别为阶和阶循环群.证实：当且仅当

2.199设所有是群正规子群.证实:

2.200设群在集合上作用是传输.证实：假如是正规子群，则在作用下

每个轨道有同样多元素.

2.201设群作用在集合上，.证实：假如存在，使得，则.

2.202设为大于1正整数.令证实：相关剩下类乘法组成一个互换群.

2.203设群和群同态，是一个不变子群，是逆象，证实。

2.204证实：设是群，假如对任意，有，则是互换群。

2.205证实：任何方阵所有可唯一地表达成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之

和。

2.206设a、b是群G元素,a阶为2,b阶为3,且ab=ba,证实ab阶是6.

2.207,。那么H是一个子群。

2.208一个群G一个不空有限子集H作成G一个子群充足并且必需条件是：

2.209设是所有阶可逆矩阵相关矩阵乘法组成群.是所有行列式等于1

阶矩阵所组成集合.则是子群.

2.210群任何两个子群交集也是子群.

2.211设为子群.则在中左陪集个数和右陪集个数相同.

2.212有限群。任一元素阶所有是群C阶数因子.

2.213设。和为群，。是G和C伺构映射，则(1)假如6为C单位元，则Me)

为Q单位元;(2)任给a6为逆元，口=(&)尸.

2.214假如是互换群，则每个子群所有是正规子群.

2.215设，，则.

2.216群G任何两个正规子群交还是。正规子群.

2.217设和是群，是到同态映射.(I)假如是单位元，则是单位

元；(2)对于任意，是在中逆元.即

2.218设G和G是群,9是。到。满同态.假如归是G正规子群，则M印是G正

规子群.

2.219设是循环群,G和同态，证实是循环群。

2.220设G是群，a《G,令CG(a)={x|x^G,xa=ax},证实：CG(a)WG

2.221设G~,H={x|xGG,f(x)G)o证实：II/Kcrf且

2.222设G是群，u是G一个固定元，定义“o"：aob=au2b(a,bGG),

证实(G,o)组成一个群.

2.223设G是群，HWG。令NG(H)={x|x0G,xH=Hx).CG(H)=UI

xGG,hGH,hx=xh}.证实：(1)NG(IDWG(2)CG(H)ANG(H)

2.224设G和是两个群，f:G~,K=Kerf,W，令H={x|x£

G,f(x)e},证实：HWG且H/K0.

2.225设和是一个群两个元且，又设阶，阶，并且，证实：

阶。

2.226设为实数集，，令，将所有这么变换组成一个集合，试证实：

对于变换一•般乘法，作成一个群。

2.227设6==(有理数域上所有n阶可逆矩阵),H={A|A£G,|A|=1}证实：1【是

G不变子群.

2.228整环Z中单位有。

2.229环及所有零因子是。

2.230若是一个有单位元互换环，是一个抱负，那么是一个域当且仅当是

2.231整数环Z也负有个.

2.232整数环Z商域是.

2.233除环抱负共有个。

2.234剩下类环Zs零因子个数等于.

2.235在整数环Z中，由{2,3}生成抱负是.

2.236剩下类环Z7可逆元有个.

2.237设Z11是整数模11剩下类环，则ZH特性是.

2.238剩下类环乙是域=n是__________.

2.239设Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整数模7剩下类环，在Z7[x]中，(5x-

4)(3x+2)=________.

2.240在整数环中，=;

2.241剩下类环Z6子环S={[0],[2],[4]}，则S单位元是.

2.242中所有可逆元是:.

2.243模8剩下类环乙子环有_________个.

2.244除环抱负共有个.

2.245剩下类环Z6子环S={[0],[2],[4]}，则S单位元是.

2.246在,i+3,兀2,e-3中,是有理数域Q上代数元.

2.247及+6在Q上极小多项式是.

2.248一个有单位元无零因子称为整环。

2.249设有限域阶为81,则特性。

2.250一个无零因子环特性指是o

2.251含〃2（〃为素数）个元域/特性是。

2.252设Z8是模8剩下类环，则Z8中零因子是______.

2.253剩下类环ZI5可逆元有个.

2.254设Z[x]是整系数多项式环，则Z[x]主抱负（x2）=.

2.255设Q是有理数域，则Q=.

2.256在有理数域Q上极小多项式是________.

2.257若是有单位元环由生成主抱负，那么中元素可以表达为—o

2.258若是一个有单位元互换环，是一个抱负，那么是一个域当且仅当

是O

2.259若域一个扩域叫做一个代数扩域，假如o

2.260模12剩下类环Zi2可逆元是______。

2.261实数域R上n阶矩阵环M”（R）抱负是。

2.262设R=3Z={3k|k£Z},1=（3）,那么R/I=______«

2.263若在多项式环Z[x]中，a£Z,假如（a,x）是Z[x]一个主抱负，那么

a=

2.264设0扬=b+力则后D=.

Z[iV.

2.265商环/U+')特性是。

Z[x]/

2.266商环/(一&%)特性是o

2.267在整数环Z中，包含(12)极大抱负是o

2.268在整数环Z中，包含(30)素抱负是.

2.269在模30剩下类环Z30中，包含([15])极大抱负是.

2.270在整数环Z中，1=(3),尸⑸，则IJ生成元是。

2.271Z.所有商环是.

2.272模12剩卜类环Zi2零因子是。

2.273在模m剩下类环Z中，Z={[x]|[x]eZm,[x]W[o]}若Z对Zm乘

法组成一个群，则m.

2.274在整数环Z中，aGZ,a|,(a)是Z素抱负，则a

2.275模8剩下类环(28，+,・)中相关乘法所有可逆元个数为。

2.276设(p)和：q)是环(Z,+)主抱负，其中p,q是不同样质数，则

(p)(q)=。

2.277模12剩下类环(Z,+,)中相关乘法运算所有可逆元是__________o

2.278设N是环R非空子集,则N是R右抱负充要条件是________。

2.279环(4。,+,)相关乘法所有可逆元为。

2.280若R是互换环，aeR则主抱负(a)=。

2.281设、是模6剩下类环，在Z/x]中，([2]X2-[4])([3]X-[1])=

2.282若模n剩下类方是一个无零因子环,则n。

2.283若R=2Z是所有偶数对一般数加法和乘法组成环，则R商域为

2.284设Z,是模4剩下类环,则Zjx]中多项式/在Zi上有个根。

2.285设R为整环，a,b,GR,b|a,则（b）（a）.

2.286环（Z,+）是域，当且仅当n为数。

2.287设R是互换环，则主抱负（a）=。

2.288在整数环中，所有包含30极大抱负为o

2.289

2.290证实：模m剩下类环Zm每一个抱负所有是主抱负。

2.291设，（1）验证R是矩阵环Z2X2一个子环。（2）证实I是R一个

抱负。

2.292证实：模m剩下类环Zm每个子环所有是抱负.

2.293

2.294证实数域F={a+b|a,b£Q}自同构群是一个2阶循环群.

2.295在多项式环Z[x]中，证实：（1）（3,x）={3a04-alxd---Fanxn|aiE

Z）.（2）Z[x]/（3,x）含3个元素.

2.296在整数环Z中，a,bcZ,证实（a,b）是2极大抱负充要条件是a,b最大公

因数是一个素数。

2.297设，.（1）验证R对矩阵加法和乘法组成环。（2）证实I是R一个

抱负。

2.298在整数环Z中，p,q是不同样素数，证实（p）C（q）=（pq）,（p,q）;Z。

2.299若Q是有理数域,证实（x）是QLx]极大抱负。

2.300设证实iR,+,（）是整环（+,（是数加法和乘法）.

2.301设A是实数域R上一切三阶方阵相关方阵加法、乘法作成环。证实

N=，b、o。1%,4,q£R＞是A一个左抱负。

（仇0°）

2.302证实一个主抱负环I每一非零极大抱负所有是一个素元所生成。

2.303证实（3,x）是Z[x]一个极大抱负。

2.304证实环R两个抱负交集仍是R一个抱负。

2.305设I是一个主抱负环,a,beI,d是w是